2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02（全国通用，范围：人教A版选择性必修第二册第4~5章数列+导数）

这是一份2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02（全国通用，范围：人教A版选择性必修第二册第4~5章数列+导数），共11页。试卷主要包含了测试范围，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
2．已知等差数列的前3项和为18，，则（ ）
A．18B．15C．14D．10
3．数列中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．
6．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（ ）个.
①连续操作五次后，共有64个正方形；
②第四次操作后所得正方形的边长为；
③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为；
④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列.
A．1B．2C．3D．4
7．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．在上单调递增，则
D．直线是曲线的切线
10．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．
C．当取得最大值时，D．
11．已知函数，，，则（ ）
A．当时，有且只有一个零点
B．当时，有两个零点
C．无论为何实数，都存在正数使得
D．当时，与零点个数相同
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，则 .
13．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ．
14．已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的最大值与最小值.
16．（15分）
已知数列满足，（）．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
17．（15分）
已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若，试讨论的单调性；
(3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由.
18．（17分）
在信息论中，熵(entrpy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）.
(1)若，求；
(2)若数列满足：，（）.
①求此时的信息熵；
②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
19．（17分）
设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是．
(1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围；
(2)在锐角三角形中，求最大值；
(3)已知正实数满足，求的最小值．