高二数学月考卷01（新高考八省专用，测试范围：人教A版2019选必二和选必三第五章至第八章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教 A 版 2019 选必二和选必三第五章至第八章。
5．难度系数：0.75。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．将 6 本不同的书（包括 1 本物理书和 1 本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给
同一个人，则不同的分配种数是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【详解】第一步：把 1 本物理书和 1 本历史书分给两个人，1 人一本，有 种分配方法,
第二步：把剩下 4 本书平均的分给两个人，有 种分配方法,
所以共有 种分配方法，
故选:B.
2．若 ，则 （ ）
A．0.9 B．0.78 C．0.66 D．0.12
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ．
故选：B．
3．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件 ：两次的点数之和为偶数， ：两次的点数之积为奇数，
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：第一次的点数小于 ，则（ ）
A． B． C． 与 相互独立 D． 与 互斥
【答案】C
【详解】抛掷 2 次， 两次的点数之和为偶数，则两次点数都为奇数或偶数，
所以 ，
两次的点数之积为奇数，则两次点数都为奇数，
所以 ，
第一次的点数小于 的情况有 4 种，所以 ，
第一次的点数小于 且为奇数有 2 种情况，第二次为奇数的情况有 3 种，
同理第一次的点数小于 且为偶数有 2 种情况，第二次为偶数的情况有 3 种，
所以 ，所以 与 相互独立.故 正确；
事件 与事件 能同时发生，所以不互斥，故 错误.
故选： .
4．已知随机变量 的分布列如表
-1 0 1
P
若 ，则 （ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，即 ①，
， ，
又因为 ，所以 ②，
联立①，②，解得 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
2 / 15
故 ，解得 或 .
故选：B.
5．如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同
的涂法共有（ ）
A．400 种 B．460 种 C．480 种 D．496 种
【答案】C
【详解】完成此事可能使用 4 种颜色，也可能使用 3 种颜色，
当使用 4 种颜色时， 有 6 种涂法， 有 5 种涂法， 有 4 种涂法， 有 3 种涂法，
所以共有 种方法；
当使用 3 种颜色时， 和 涂一种颜色，共有 6 种涂法，
有 5 种涂法， 有 4 种涂法，
所以共有 种方法；
所以不同的涂法共有 种.
故选： .
6．天津市第四十七中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”“立
夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻．且“清明”和“惊蛰”两
块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A．265 B．320 C．480 D．960
【答案】D
【详解】将“立春”和“春分”两块展板看成一个整体，与“雨水”，“谷雨”，“立夏”三块展板进行全排列，再将“清
明”和“惊蛰”两块展板插空.
所以不同的放置方式种数为 .
故选：D.
7．二项式 的展开式中，常数项为（ ）
A．24 B．6 C． D．
【答案】D
3 / 15
【详解】依题意， 展开式中的通项公式为 ，
显然 无解，由 ，得 ，
所以所求常数项为 .
故选：D
8．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时，
，则方程 所有根之和为（）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【详解】由 ，得函数 的图象关于点 对称，
由 ，得 ，则函数 的图象关于直线 对称，
且有 ，则 ，于是 是以 4 为周期的周期函数，
又当 时， ，即函数 在 上单调递增，
又 ，根据对称性可知，函数 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
由 ，得 ，
则方程 的根即为函数 的图象与直线 交点的横坐标，
而直线 关于点 对称，即函数 的图象与直线 都关于点 对称，
在同一坐标系内作出函数 的图象与直线 ，如图所示.
观察图象可知，函数 的图象与直线 在 上有 6 个交点，
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由中心对称的性质知，函数 的图象与直线 在 上有 6 个交点，
因此函数 的图象与直线 的所有交点横坐标和为 ，
所以方程 所有根之和为 13．
故选：D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史
上一项重要研究成果．从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个 7 阶的杨辉三角，
则下列说法正确的是（ ）
A．第 2025 行共有 2025 个数
B．从第 0 行到第 10 行的所有数之和为 2047
C．第 21 行中，从左到右的第 3 个数是 210
D．第 3 斜列为： ，则该数列的前 项和为
【答案】BCD
【详解】对于 A：行数比每行的个数少 1，所以第 2025 行共有 2026 个数，所以 A 错误；
对于 B：可以得出每行的数字之和形成一个首项为 1，公比为 2 的等比数列，
所以 ，所以 B 正确；
对于 C：第 21 行的二项式系数为 且 ，
所以从左到右第三个数是 ，所以 C 正确；
对于 D：由公式 得：
，所以 D 正确.
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故选：BCD．
10．现对跑完某次 5 公里马拉松的 名参与者的完成时间 t（单位:分钟）进行统计，得到这 名参与
者的完成时间 t 近似服从正态分布 ，则（ ）
（参考数据:若 ，则
）
A．这跑完全程的 名参与者中大约有 683 人的完成时间在 内
B．这跑完全程的 名参与者中大约有 477 人的完成时间在 内
C．这跑完全程的 名参与者中大约有 954 人的完成时间在 内
D．这跑完全程的 名参与者中完成时间在 内与在 内的人数大致相等
【答案】ABD
【详解】根据时间 t 近似服从正态分布 ，可得：
，
所以跑完全程的 名参与者中完成时间在 内大约有： 人，故 A 正确；
由 可知， ，
所以跑完全程的 名参与者中完成时间在 内大约有： 人，故 B 正确；
由 ,
可知： ，
所以跑完全程的 名参与者中完成时间在 内大约有： 人，故 C 错误；
由正态分布的对称性可知： ，
所以跑完全程的 名参与者中完成时间在 内与在 内的人数大致相等，故 D 正确；
故选：ABD．
11．对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数， 是函数
的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学经探究发现：
任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数
，则下列说法正确的是（ ）
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A． 的极大值为
B． 有且仅有 2 个零点
C．点 是 的对称中心
D．
【答案】ACD
【详解】A 选项，由函数 ，
可得 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 单调递增，当 时， 取得极大值，
极大值为 ，所以 A 正确；
B 选项，由 A 知，当 时， 取得极小值，
极小值 ，且当 时， ，
当 时， ， ，
所以函数 有 3 个零点，所以 B 错误；
C 选项，由 ，可得 ，
令 ，可得 ，
又由 ，
所以点 是函数 的对称中心，所以 C 正确；
D 选项，因为 是函数 的对称中心，所以 ，
令 ，
可得 ，
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所以
，
所以 ，即 ，
所以 D 正确
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．二项式 的展开式的常数项是 .
【答案】
【详解】 的展开式的通项为
令 ，解得 ，
所以展开式的常数项 .
故答案为： .
13．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马
数字的表示法如表：
数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9
形式 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
其中“Ⅰ”需要 1 根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要 2 根火柴，若为 0，则用空位表示（如 123 表示为 ，405
表示为 ）．如果把 5 根火柴以适当的方式全部放入 的表格中，那么可以表示的不同的
三位数的个数为 ．
【答案】
【详解】用 5 根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
5 根火柴：表示数字 ，此时表示的数有 个（ ）；
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1 根火柴和 4 根火柴：1 根火柴可表示的数为 1；4 根火柴可表示的数为 7，和 0 一起，能表示的数共有
个；
2 根火柴和 3 根火柴：2 根火柴可表示的数为 2、5；3 根火柴可表示的数为 3、4、6、9，和 0 一起，能表示
的数有 个.
1 根火柴、1 根火柴和 3 根火柴：其中 1 根火柴可表示的数为 1，3 根火柴可表示的数为 3、4、6、9，
所以能表示的数有 个；
1 根火柴、2 根火柴和 2 根火柴：其中 1 根火柴可表示的数为 1，2 根火柴可表示的数为 2、5，
所以能表示的数有 个；
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故答案为： .
14．已知 恒成立，则正数 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由 ，可得 ．
令 ，易知 在 上单调递增，
由 ，可得 ，
故 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
所以 ，即 ，
故正数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）某校高二年级数学课外兴趣小组共有学生 15 人，其中一、二、三班分别为 4 人、5 人、6 人．
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(1)若安排这 3 个班级选择星期一到星期五中的 3 天打扫活动室，每个班级安排一次，要求周五必须打扫，
则不同的安排方案有多少种？
(2)若从这 15 人中选出 2 人担任正、副班长，要求这 2 人来自不同的班级，有多少种不同的选法？
【详解】（1）从星期一到星期四这 4 天中选择 2 天有 种选法，
再安排 3 个班级打扫卫生有 种不同的方案；
（2）从一、二班学生中各选 1 人，有 种不同的选法；
从一、三班学生中各选 1 人，有 种不同的选法；
从二、三班学生中各选 1 人，有 种不同的选法，
所以不同的选法共有： （种），
再安排他们的职位有 种不同的选法．
16．（15 分）某餐馆 2024 年 12 月份共有 800 个线上外卖订单，其中好评订单有 600 个，其余均为非好评订
单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在 2025 年 1 月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆 2025 年 1 月
份共有 2000 个线上外卖订单，其中好评订单有 1600 个，其余均为非好评订单.
(1)根据统计数据，完成下列 列联表，并判断是否有 的把握认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有
关联.
好评 非好评 合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
(2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取 8 个订单进行电话回访，再从
这 8 个订单中随机抽取 3 个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的 3 个订单中好评的订单个数为 ，
求 的分布列和数学期望.
(3)用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后的所有订单中随机抽取 100 个订单，记其中好评的订单个数
为 ，求当事件“ ”的概率最大时 的值.
附： ，其中 .
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0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【详解】（1） 列联表如下：
好评 非好评 合计
更换厨师前 600 200 800
更换厨师后 1600 400 2000
合计 2200 600 2800
根据列联表中数据，经计算得到 ，
所以可以认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联.
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的 8 个订单中，好评订单有 个，非好评有 2 个，
而从这 8 个订单中随机抽取 3 个，其中好评的订单个数 的可能值有 ，
则 ，
所以 的分布列为：
1 2 3
数学期望 .
（3）依题意，更换厨师后好评率为 ，
从更换厨师后所有订单中随机抽取 100 个订单，则 ，
于是 ，
由 ，
由 ，解得 ，而 ，则当 时， 单调递增；
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由 ，解得 ，则当 时， 单调递减，
所以使事件“ ”的概率最大时 的值为 80.
17．（15 分）2025 年春晚最火的节目无疑是机器人扭秧歌． 其中表演的机器人出自宇树科技， 宇树科技
是一家专注于高性能四足机器人研发和生产的中国科技公司． 该公司以其创新的四足机器人在全球范围内
广受关注，主要应用于教育、科研、娱乐和工业等领域，其中四大产品之一的机器人 Unitree A1 具备较强
的负载能里和环境适应性， 可用于巡检与监控、物流和运用、安防与救援． 现统计出机器人 Unitree A1
在某地区 2024 年 2 月到 6 月的销售量如下表所示：
月份 2 3 4 5 6
销量 42 53 66 109
用最小二乘法得到 Unitree A1 的销售量 关于月份 的回归直线方程为 ，且相关系数 ，
销量 的方差 ．
(1)求 的值(结果精确到 0.1)；
(2)求 的值，并根据（1）的结果计算 5 月销售量的残差．
附： 回归系数 ，相关系数 ．
【详解】（1）由表可得： ， ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 .
（2）由表可知： ，
由（1）可知回归直线方程为 ，且 ，
12 / 15
则 ，解得 ，
此时 ， ，可得 ，符合题意，
所以 ，
对于回归直线方程 ，令 ，可得 ，
所以 5 月销售量的残差 .
18．（17 分）《中华人民共和国爱国主义教育法》已于 2024 年 1 月 1 日起施行.该法以法治方式推动和保障
新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远.
某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中
华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分 100 分（95 分及以上为优秀），结果认知程度高的有 20
人，按年龄分成 5 组，其中第一组： ，第二组： ，第三组： ，第四组： ，第
五组： ，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计这 20 人的年龄的第 74 百分位数；
(2)在第四组和第五组中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在第四组中的人数为 X，求 X 的分布列和数学期望；
【详解】（1）由于 ； ，
所以这 20 人的年龄的第 74 百分位数为： .
（2）由频率分布直方图可知，第四组的人数为 人，第五组的人数为 人，
随机变量 X 的取值为 1，2，3，
有 ， ，
，
13 / 15
随机变量 X 的分布列为：
X 1 2 3
P
有 ；
19．（17 分）已知函数
(1)若函数 在 处取得极小值 ，求实数 a，b 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)已知 ，且函数 的极大值是 1，讨论函数 的零点个数．
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为函数 在 处取得极小值 ，
所以 ，解得 ，
此时 ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以当 时， 取到极小值，符合题意.
所以 .
（2） ，
令 ，则 或 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 ，当 或 时， ， 单调递增；
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当 时， ， 单调递减.
所以 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ；
当 ，当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 .
（3）由（2）可知，当 ， 的单调递增区间为 ， ；单调递减区间为 ，
当 时，函数 取到极大值，即 ，
所以 ，
当 时，函数 取到极小值，即 ，
当 即 时， 有 1 个零点；
当 即 时， 有 2 个零点；
当 即 时， 有 3 个零点.
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