高二数学月考卷（北师大版2019选修二全册：数列 导数）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版 2019 必修性必修第二册第一章和第二章。
5．难度系数：0.63。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知各项均为正数的等比数列 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】 ，
，
故选：C.
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． (a 为常数) B．
C． D．
【答案】B
【详解】A：因为 a 为常数，所以 ，故 A 错误；
B： ，故 B 正确；
C： ，故 C 错误；
D： ，故 D 错误.
故选：B
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3．记 为等差数列 的前 项和，公差 ，且 ，则 取得最小值时 为（ ）
A．2021 B．4039 C．2020 D．4040
【答案】C
【详解】因为公差 ，所以数列 单调递增，所以 ，又 ，
所以 ，所以数列 前 项全为负，从 开始为正，
所以前 项的和 为 的最小值，故 .
故选：C.
4．曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线 ，其曲率 （ 是
的导数， 是 的导数），曲率半径 是曲率 的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半
径.已知质点以恒定速率 沿曲率半径为 的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为 .若该质点以恒定速
率 沿形状满足 的光滑轨道运动，则其在点 处的向心加速度的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ，则 ， ，所以 ， ，
则曲线在点 处的曲率 ，曲率半径 ，
故曲线 在点 处的向心加速度的大小为 .
故选：B.
5．已知数列 为等比数列，公比为 2，且 .若 ，则正整数 的
值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】因为数列 为等比数列，公比为 2，且 ，所以 ，解得 ，
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故 ，因为
，解得 ，
故选：B.
6．已知函数 的大致图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】观察图象知， 是函数 的极小值点，求导得 ，
则 ，解得 ，当 时， ；当 时， ，
则 是函数 的极小值点， ， ，
不等式 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：B
7．设集合 的最大元素为 ，最小元素为 ，记 的特征值为 ，若集合中只有一个元素，规
定其特征值为 0．已知 是集合 的元素个数均不相同的非空真子集，且
，则 的最大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【详解】由题设 ， ， ，…， 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使 最大，则各集合中 （ ）尽量小，
可知集合 ， ， ，…， 的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
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不妨设 ，
可得 ，
可得 ，解得： 或 （舍去），
所以 的最大值为 16.
故选：B.
8．已知函数 是定义在 上的偶函数， 是 的导函数， ，若
在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因 为偶函数，则 ①，
对两边求导得， ②，
在 ③中，用 代替 得 ④，
由①②④可得， ⑤，
联立③⑤得， ，
则 化简为， ，
令 ，则 ，
则 得 ； 得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的最小值为 ，故 ，
则实数 的取值范围是 .
故选：A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
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9．已知数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A．数列 是等比数列
B．
C．
D．数列 的前 项和为
【答案】ACD
【详解】A 选项， ，
其中 ，所以 是公比为 2 的等比数列，A 正确；
C 选项，由 A 知， ，所以 ，C 正确；
B 选项，当 时， ，
当 时， ，
显然 满足 ，故 ，B 错误；
D 选项， ，故 ，
即 为公比为 的等比数列，且 ，
所以 的前 项和为 ，D 正确.
故选：ACD
10．设函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． 在区间 上单调递增 D． 为 的极小值点
【答案】BD
【详解】 的定义域为 ，故 为非奇非偶函数，故 A 错误，
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由于 ，且 ，故
当 时， ，此时 ，当 时， ，此时 ，
当 时， ，因此 ，B 正确，
对于 C, ，当 时， ，此时 ，因此
在 单调递减，故 C 错误，
对于 D， ，当 时， ，故 ，当
时， ，此时 ，因此 在 单调递减，在 单调递增，
为 的极小值点，D 正确，
故选：BD
11．已知函数 ，则（ ）
A．
B．对任意实数
C．
D．若直线 与函数 和 的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为
，则
【答案】ACD
【详解】对 A， ，故 A 正确；
对 B， ，而
，故 B 错误；
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对 C， ，故 C 正确；
对 D， ，令 ，得 ，
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
所以 在 处取得极小值 1，
当 时， ；当 时， .
恒成立，所以 在 上单调递增，
当 ；当 .
所以函数 的大致图象如图所示，
不妨设 ，由 为偶函数可得 ，
直线 与 和 的图象有三个交点，显然 ，
令 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．设数列 满足 ，且 ，则 ．
【答案】4
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【详解】由 以及 可得 ，
故 ，
故答案为：4
13．某分公司经销一产品，每件产品的成本为 5 元，且每件产品需向总公司交 2 元的管理费，预计每件产
品的售价为 元 时，一年的销售量为 万件，则每件产品售价为 元时，该分公司
一年的利润达到最大值.（结果精确到 1 元）
【答案】
【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价 的函数关系式为
，
所以 ，
令 ，即 ，解得 或 （舍），
当 时， ，此时 在 上单调递增，
当 时， ，此时 在 单调递减，
又因为结果精确到 1 元，且当 时， ，且当 时， ，
于是：当每件产品的售价为 9 元时，该分公司一年的利润最大.
故答案为：9.
14．在公比不为 1 的等比数列 中，若 ，且有 成立，则
.
【答案】10 或 4049
【详解】设等比数列 的公比为 ，且 ，
由 ，则 ，故 ，
又 ，
，
，即 ，
，又 ，
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，
，
化简整理得 ，即 ，
解得 或 ，均满足 .
故答案为： 或 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 平行.
(1)求 的值；
(2)求 的极值.
【详解】（1）由 ，可得 -----------------------------------------------------------1 分
又曲线 在点 处的切线与直线 平行，故 ，--------------------3 分
即 ，得 .----------------------------------------------------------------------------------------------5 分
（2）由（1）可知 ，且 .------------------------------------------------------6 分
令 ，可得 ，---------------------------------------------------------------------------------------7 分
由 ，可得 .由 ，得 .-----------------------------------------------------------9 分
故 在 上单调递减，在 上单调递增.------------------------------------------------11 分
可知当 时， 极小值为 ， 无极大值.------------------------------13 分
16．（15 分）已知等差数列 满足 是关于 的方程 的两个根.
(1)求 .
(2)求数列 的通项公式.
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
【详解】（1）数列 是等差数列，设公差为 ，
由根与系数关系得 ，-------------------------------------------------------------------------------2 分
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于是有 ，则 ，-----------------------------------------------------------------4 分
故 ，则 ；--------------------------------------------------------------------------------6 分
（2）由（1）知 ，故 ，-----------------------------------------------8 分
由根与系数关系知 ；------------------------------------------------------------------------10 分
（3）由（2）得 ，-----------------------------------------------12 分
所以
------------------------------------------------------------------------------------------------15 分
17．（15 分）已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)若 的最大值为 ，证明： ， .
【详解】（1）因为函数 的定义域为 ，且 ，------------------------2 分
由 可得 ，由 可得 ，-------------------------------------------------------------4 分
所以，函数 的增区间为 ，减区间为 .--------------------------------------------------------6 分
（2）由（1）知， ，解得 ，---------------------------------------------------7 分
要证 ，即证 ，即证 ，---------9 分
令 ，其中 ，则 ，---------------------------------------------------------------10 分
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 ，--------------------------------------------------------13 分
所以， ，即 ，---------------------------------------------------------------------------------14 分
所以， ， ，即 .-------------------------------------------------------------15 分
18．（17 分）设 为数列 的前 n 项和， 时， ，已知 ．
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(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)若不等式 对任意正整数 n 都成立，求实数 的最小值．
【详解】（1）当 时， ，即 ，--------1 分
则 ，而 ，则 ，----------------------------------------------3 分
于是 时， ，整理得 ，又 ，---------4 分
所以数列 是首项和公比都是 2 的等比数列.------------------------------------------------------5 分
（2）由（1）知，数列 是首项和公比都是 2 的等比数列，则 ，-------6 分
因此 ，-----------------------------------------------------------------------------------------------7 分
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ，---------------------------------9 分
所以数列 的通项公式 .---------------------------------------------------------------------------10 分
（3）由（2）知， ，
，-------------------------------------------------------------12 分
两式相减得， ，-----------------------14 分
则 ．不等式 ，------------------------------15 分
当 时， 为任意实数；当 时， 恒成立，而 ，因此 ，-----------------------16 分
所以实数 的取值范围是 ， 的最小值为 .---------------------------------------------------------------------17 分
19．（17 分）已知 是函数 定义域的子集，若 ， ， 成立，
则称 为 上的“ 函数”.
(1)判断 是否是 上的“ 函数”？请说明理由；
(2)证明：当 （ 是与 无关的实数）， 是 上的“ 函数”时， ；
(3)已知 是 上的“ 函数”，若存在这样的实数 ， ，当 时，
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，求 的最大值.
【详解】（1） 是 上的“ 函数”，理由如下：
， .
， ，----------------------------------------------------------------------------------------1 分
， -----------------------------------------------------2 分
在 恒成立，
是 上的“ 函数”.---------------------------------------------------------------------------3 分
（2） 是 上的“ 函数”，
在 上恒成立，---------------------5 分
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，且 .-------------------------------------6 分
又 ， ，即 .-------------------------------------------7 分
∵ 在 上单调递增，
∴ .-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分
（3） ， .
∵ 是 上的“ 函数”， -----------------------------------------------------------------------9 分
∴ 在 上恒成立，
即 在 上恒成立.--------------------------------------------------------------------------------10 分
当 时，对任意的 ，上式恒成立，符号题意；
当 时， 恒成立，
设 ， ，---------------------------------------------------------------------------------------11 分
则 ，所以函数 在 上单调递减，
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所以 ，即 ；
当 时， 恒成立，---------------------------------------------12 分
设 ， ，
则 ，所以函数 在 上单调递减，
所以 ，即 .
综上所述， .-------------------------------------------------------------------------------------13 分
∵ ，当 时， ，
∴ ，即 .
令 ， ，------------------------------------------------14 分
则由题意可知：存在 ，使得 在 上为增函数，
即存在 ，使得 ，即 对任意的 恒成立，
可得 对任意的 恒成立，------------------------------------------------------------------15 分
即 对任意的 恒成立.
而函数 在 上单调递增，所以 ，即 .------------------16 分
另一方面，当 ， 时， ， ，
可知 恒成立，满足题意，
所以实数 的最大值为 6.---------------------------------------------------------------------------------------------17 分
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