高一数学月考卷02（人教A版2019，测试范围：必修第二册第六章~第九章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：人教 A 版 2019 必修第二册第六章——第九章.
（第六章 平面向量及其应用、第七章 复数、第八章 立体几何初步、第九章统计）
5．难度系数：0．65．
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1． 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】 ，其在复平面内所对应的点的坐标为 ，位于
第四象限，故选 D.
2．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度．已知
某社区共有居民 480 人，其中老年人 200 人，中年人 200 人，青少年 80 人，若按年龄进行分层随机抽
样，共抽取 36 人作为代表，则中年人比青少年多（ ）
A．6 人 B．9 人 C．12 人 D．18 人
【答案】B
【解析】设中年人抽取 人，青少年抽取 人，由分层随机抽样可知 ，
解得 ，故中年人比青少年多 9 人，故选 B.
3．已知 ， 则“ ”是“ ”的 （ ）
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为 ， ，若 ，则 ，
即 ，解得 或 ，因为 是 的真子集，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.
4． 年 月 日 时至次日 时(次日的时间前加 表示)重庆的温度走势
下列说法错误的是（ ）
A． 月 日 时至 时重庆气温逐渐升高， 时到次日 时重庆气温逐渐降低
B． 月 日 时至次日 时重庆的最低气温为 ，最高气温为
C．根据图象，这一天 时所对应的温度为
D．根据图象，这一天 时所对应的温度为
【答案】C
【解析】A. 由图知： 月 日 时至 时重庆气温逐渐升高， 时到次日 时重庆气温逐渐降低，故
正确；
B. 由折线图知： 月 日 时至次日 时重庆的最低气温为 ，最高气温为 ，故正确；
C.根据图象，这一天 时所对应的温度约为 ，故错误；
D. 根据图象，这一天 时所对应的温度为 ，故正确，故选 C
5．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球
运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程
中，以力 作用于冰球，使冰球从点 移动到点 ，则 F 对冰球所做的功为（ ）
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A． B．18 C． D．12
【答案】D
【解析】因为 ， ，所以 ，又 ，
故力 对冰球所做的功为 ，故选 D.
6．在正四棱柱 中， ， 分别为侧棱 上一点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．14
【答案】A
【解析】如图所示：
，
将正四棱柱 （图 1）的侧面展开，得到展开图（图 2），
当 五点共线时， 取得最小值，
且最小值为 ，故选 A
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史．如图所示的某折扇扇面可视为一个圆台的
侧面展开图，该扇面的面积为 ，若该圆台上、下底面半径分别为 5，10，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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【解析】 ，圆台的侧面积为 ，母线长
圆台的高 则圆台上下底面面积为
故选 C.
8．已知 ，向量 ，且 的最小值为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】延长 至 ，使 ，则 ，
所以 共线，又 的最小值为 ，且 ，
所以 为等腰三角形，当且仅当 时 取得最小值，
则 ，所以 是等边三角形，取 的中点 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：C
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．现有一组样本量为 10 的样本数据如下：37，39，45，48，49，51，52，55，61，63，则（ ）
4 / 15
A．这组数据的平均数为 49 B．这组数据的标准差为 8
C．这组数据的第 20 百分位数为 42 D．这组数据的极差为 25
【答案】BC
【解析】平均数为 ，故 A 错误；
方差为 ， ，故 B 正确；
，则第 20 百分位数为 ，故 C 正确；
极差为 ，故 D 错误，故选 BC
10．已知复数 ， ， 为 的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． 为实数 B．
C．若 ，则 D．
【答案】ABD
【解析】对于 A，设复数 ，则 ，
则 ，为实数，故 A 正确；
对于 B， ， ，则 ，故 B 正确；
对于 C，若 ，不妨取 ，则 不成立，故 C 错误；
对于 D， ，则
，
，则
，
则 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11．如图所示，在正方体 中，给出以下判断，其中正确的有（ ）
5 / 15
A． 平面 B． 平面
C． 与 是异面直线 D． 平面
【答案】ACD
【解析】对于 A，因为 为正方体，所以 平面 ，所以 A 正确；
对于 B，因为 平面 ，
所以 与平面 也有交点，所以 B 错误；
对于 C，因为 与 相交，所以 与 异面，所以 C 正确；
对于 D，因为 平面 ， 平面 ，
所以 且 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
同理 ，所以 平面 ，所以 D 正确.
故选：ACD．
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知 的斜二测直观图如图所示，则 的面积为 .
【答案】2
【解析】由题意， 的斜二测直观图的面积 ，
所以 的面积 .
13．南水北调中线工程源头位于丹江口水库，重点解决河南，河北，北京，天津的水资源短缺问题．如图
6 / 15
所示，B，E，F 为山的两侧处于同一水平线上的三点，在山顶 A 处测得点 B，E，F 的俯角分别为 60°，
75°，45°，计划沿直线 BF 开通引水隧洞，现已测得 ，则隧洞 BE 的长度为 ．
参考数据： ．
【答案】
【解析】在 中，由图可知 ， ，
由正弦定理可得： ，又因为 ，解得 ，
在 中，由图有 ， ，
则由正弦定理可得： ，
解得 .
14．三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质 1： 的
面积 ；
性质 2：对于 内任意一点 P，有 ；
性质 3： 内存在唯一一点 P，使得 ．这个点 P 称为 的“勃罗卡
点”，角α称为 的“勃罗卡角”．
若 的三边长分别为 1，1， ，根据以上性质，可以计算出 的“勃罗卡角”的正切值为
．
【答案】
【解析】
因为 的三边长分别为 1，1， ，不妨设 ,如上图，
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由余弦定理得 ,得 ，
故 ,在 中, ,
用正弦定理得 ,得到 ，
在 中， ,
用正弦定理得 ,
得到 ，
用差角的正弦公式得： ，
得 ，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分 13 分）从某校随机抽取 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，
整理得到数据分组及频数分布和频率分布直方图：
分
组
(1)求频率分布直方图中的 、 的值；
(2)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 小时的频率；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 名学生该周课外阅读时间
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组
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
合
计
频
数
6 8 17 22 25 12 6 2 2 100
的平均数.
【解】（1）由频率分布直方图和表格中的数据可得 ，解得 ，
，解得 . …………………………4 分
（2）由频数分布表可知，从该校随机选取一名学生，
这名学生课外阅读时间少于 小时的频率为 . …………………………8 分
（3）由题意，样本中的 名学生的学生该周课外阅读时间的平均数为
（小时）………………13
分
16．（本小题满分 15 分）如图，在 中，已知 ， ， ， 是 的中点， 是
上的点，且 ， ， 相交于点 .设 ， ；
(1)若 ，试用向量 ， 表示 ， ；
(2)若 ，求 的面积.
【解】（1）由题意， 是 的中点，
则 ， …………………………2 分
因为 ，所以 ， …………………………4 分
则 .
所以， . …………………………5 分
（2）因为 ，所以 .
因为 ， ，
所以 ， …………………………7 分
又因为 ， …………………………9 分
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所以， ，解得 . …………………………11 分
所以， ，则 ， …………………………13 分
所以 . ………………………15 分
17．（本小题满分 15 分）记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 a，b，c，已知 ，
．
(1)求 ；
(2)求 的最大值．
【解】（1）因为 ，
所以 ． …………………………2 分
又 为锐角三角形，故 ，
则 ．
因为 ，所以 ． …………………………4 分
又 ，故 ． …………………………5 分
（2）由正弦定理得 ，
则 ， ． …………………………7 分
由（1）知 ，则 ．
所以 …………………………9 分
， …………………………11 分
因为 为锐角三角形，
所以 ，所以 ，
所以 ， …………………………13 分
所以当 时，即 时， 取得最大值 ．…………………………15 分
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18．（本小题满分 17 分）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支
柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图， 分
别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知 .
(1)求证： ；
(2)求点 到平面 的距离.
【解】（1）
连接 ，
因为底面为正八边形，所以 ， …………………………2 分
又正八棱柱侧棱 底面 ， 底面 ，
所以 ， …………………………4 分
平面 ，
所以 平面 ， …………………………6 分
又 平面 ，所以 . …………………………7 分
（2）连接 ，
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因为 ，
由正八边形 的性质可得 ， ，
为 到底面 的距离， ，
所以 ， …………………………9 分
由勾股定理可得， ，
又 ，所以 ， …………………………11 分
又 ，所以 ， …………………………12 分
因为 ，
所以 ，即 ， …………………………14 分
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，即 ，即 ，
解得 ，所以点 到平面 的距离为 . …………………………17 分
19．（本小题满分 17 分）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中
的三面角余弦定理，如图 1，由射线 PA，PB，PC 构成的三面角 P-ABC，记 ， ，
，二面角 A-PC-B 的大小为 ，则 ．
如图 2，四棱柱 中，底面 ABCD 为菱形， ， ， ，且
．
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(1)在图 2 中，用三面角余弦定理求 的值；
(2)在图 2 中，直线 与平面 ABCD 内任意一条直线的夹角为φ，证明： ；
(3)在图 2 中，过点 B 作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点 P，求 的值．
【解】（1）设 ，连接 ，
由菱形 可得 ，而 ，故 ， …………………………1 分
而 ，故 为等边三角形，故 ， …………………………2 分
因为 ， ， ，故 ，
所以 ，而 ，故 ， …………………………3 分
因为 ， 平面 ，故 平面 ， …………………………4 分
而 平面 ，故平面 平面 ，
故 的二面角的平面角为直角，而 ， …………………………5 分
…………………………7 分
（2）依题意可得 ，设平面 内任一条直线为 ，
若 过 点时，记 与 的夹角为 （ ），
由（1）及三面角公式可得 ， …………………………8 分
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因为 ，所以 ，
又 ，所以 ； …………………………9 分
若 不过 点时，过 点作 使得 ，
记 与 的夹角为 （ ），
则 ，因为 ，
所以 ， …………………………11 分
又 ，所以 ；
综上可得 . …………………………12 分
（3）连接 ， ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，……………………13 分
同理可证 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ， …………………………14 分
因为平面 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ，
又平面 平面 ，又平面 平面 ，
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所以 ，又 即 ， …………………………16 分
所以四边形 为平行四边形，所以 ，而 在 的延长线上，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 . …………………………17 分
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