高二数学月考卷01（人教A版2019选必二导数 选必三全部内容）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．1587 13． 0 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）如表，，，，
，分
有的把握认为性别与对无人驾驶的支持态度有关联．分
（2）按分层抽样从60名男生中选10名，其中支持、中立、反对的人数分别为：6、3、1，
故从中选出3人态度各异的概率为；分
（3）由题可知从该校随机选一名学生得5分的概率为，易知，
设，根据结论一，知．分
再根据结论二，知．分
由条件知，
所以，解得，所以正整数的最小值为11．分
16．（15分）
【详解】（1）由题意可知抽取的10件产品中一等品有件，二等品有件，三等品有件，分
所以的可能取值为1，2，3，则
，
，
，分
所以的分布列如下表
所以分
（2）由题意得从这100件产品中取出1件是一等品的概率为，分
则由题意可知，分
所以分
17．（15分）
【详解】（1）的定义域为，分
∵在上单调递增，
∴在上恒成立，即在上恒成立，分
又，当且仅当时等号成立，
∴；分
（2）由题意，
∵有两个零点，易知有两个极值点，
∴为方程的两个不相等的实数根，
由韦达定理得，， 分
∵，∴，
又，
由对勾函数在的单调递减可知：，分
∴
，分
设（），
则，
∴在``上单调递减，分
又，``，
∴，
即的取值范围为分
18．（17分）
【详解】（1）当时，则，
可知的定义域为，且，分
令，解得；令，解得；
可知的单调递减区间是，单调递增区间是；分
所以函数的最小值为分
（2）由题意可知的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递减区间是，无单调递增区间；分
当时，令解得，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；分
综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是分
（3）当时，不等式恒成立，
即，整理可得，
原题意等价于对任意恒成立，分
令，
则，分
令，则，
所以在区间上单调递增，分
因为，，
所以在区间内存在唯一零点，分
即，所以，
当时，，即；
当时，，即；
可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；分
所以，
因为，则，即，
且为整数，则，所以整数的最大值是分
19．（17分）
【详解】（1）第0分钟时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.
设为第1分钟时，小奥在号房间，小锐在号房间的概率，
则，分
分
设第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为，则，
所以第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率为分
（2）证明：易知，且由（1）得.
当时，小奥在第分钟时位于0号房间包含2种情形：
①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为，分
②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为，
则由全概率公式，，分
进而，
结合，故是首项为，公比为的等比数列，
即，注意到当时也满足题意，
因此分
（3）小锐第分钟在0号房间包含3种情形：
①上一分钟小奥和小锐都在1号房间，小锐转移到0号房间的概率为，
②上一分钟小奥在0号房间，小锐在1号房间，小李转移到0号房间的概率为，
③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为.
故由全概率公式，，
即分
要证为等比数列，即证为等比数列，
而，
故，结合，
故为首项，公比为的等比数列，分
即，注意到时也满足题意，
因此分
故，
显然不是其最大值，设，分
①当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为0；
②当为偶数且时，，
当时，，故最大值为，
因此的最大值为，
即在第2分钟时，小锐在0号房间概率最大分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
C
A
C
A
D
B
9
10
11
ABD
AD
ACD
对无人驾驶的态度
支持
不支持
男
36
24
女
24
36
1
2
3