2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02【天津专用，人教A版选择性必修第二册第5章导数~选择性必修第三册第6章计数原理】

这是一份2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷02【天津专用，人教A版选择性必修第二册第5章导数~选择性必修第三册第6章计数原理】，共11页。试卷主要包含了测试范围，已知函数正数满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第5章~选择性必修第三册第6章。
第一部分（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据初等函数的导数公式依次计算各选项即可判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B
2．若，则（ ）
A．2B．C．10D．
【答案】A
【详解】由求导得：，
则，解得，即，
所以.
故选：A
3．函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为，
当或时，，所以的单调增区间为，
故选：B.
4．学校食堂的一个窗口共卖3种菜，甲、乙、丙、丁、戊5名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】A
【详解】因为每名同学均有3个选择，且互不干扰，
所以选法的可能方式共有种.
故选：A.
5．甲、乙、丙三位教师指导六名学生a、b、c、d、e、f参加全国高中数学联赛，若每位教师至少指导一名学生，其中甲指导三名学生，则共有（ ）种分配方案
A．90B．120C．150D．240
【答案】B
【详解】第一步，从六名学生中选名，分配给甲指导，有种不同的方法，
第二步，将剩余名学生分成两组，分配给乙、丙指导，有种不同的方法，
根据分步乘法计数原理，不同的分配方案共有种.
故选：B.
6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种
A．72B．48C．360D．420
【答案】D
【详解】当使用颜色为3种时，如图AB区域同色，CD区域同色，则不同的着色方法有种；
当使用颜色为4种时，AB区域同色且CD区域不同色，或AB区域不同色且CD区域同色，
则不同的着色方法有种；
当使用颜色为5种时，各区域颜色均不相同，则不同的着色方法有种；
所以不同的着色方法共有种.
故选：D
7．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，
若在上单调递增，则在恒成立，
即，
令，其对称轴为，所以的最大值为，
故只需．即．
故选：D．
8．已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】令，则，
因为，则，所以，
则在区间上单调递减，
又，由，得到，所以，
解得，
故选：D.
9．已知函数正数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】当时，为减函数，所以，
所以在上为增函数，且，
当时，，
所以在上为增函数，且，
综上，函数在上单调递增，且，
所以由可得，
解得或（舍去），
所以的最小值为4.
故选：B.
第二部分（非选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为__________.
【答案】1
【详解】因为函数可导，且满足，
所以
，所以，
所以函数在处的导数为.
故答案为：
11．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．
【答案】
【详解】，则曲线在处的切线的斜率，
由切线垂直得：，即．
故答案为：
12．在的展开式中，的系数是______.
【答案】240
【详解】展开式的通项公式为：，
令，解得：，的系数为.
13．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，从中取出2个，则取出的球同色的所有可能的结果有________种；（用数字作答）若从中取出的球编号互不相同的概率为________；
【答案】12
【详解】由题知“取出的球同色”包含两种情况：取出2个红球或取出2个黑球，
所以有种结果；
从8个球（4红4黑）中任意取2个，总结果数为种，
其中，取出“编号相同的2个球”即（红1黑1）、（红2黑2）、（红3黑3）、（红4黑4），共4种，
所以编号互不相同的结果数：种，
所以若从中取出的球编号互不相同的概率为.
故答案为：12；.
14．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【详解】定义域为，，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为在区间上是单调减函数，所以，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
故答案为：.
15．已知在上不单调，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由于 ，可得 ，
可得函数 的极值点为：，.
由在上不单调，
可得或，
解得 .
故答案为：.
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）
(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；
(2)甲、乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒；
(3)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
(4)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
(5)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.
【答案】(1)60 (2)480 (3)180 (4)180 (5)210
【详解】（1）先安排甲、乙2人位置，再从出甲、乙之外的6人中选2人安排他们的位置，则方法数为
（2）先从甲、乙2人中选一人安排其位置，再从出甲、乙之外的6人中选3人安排他们的位置，则方法数为
（3）先把甲、乙2人看作一个元素，再从除甲、乙之外的6人中选2人和甲和乙这个整体来排序，则方法数为
（4）从除甲、乙之外的6人中选2人排序，再让甲和乙来插空，则方法数为
（5）第一步，从除甲、乙之外的6人中选2人
第二步，分甲跑第四棒和甲不跑第四棒
则方法数为.
17．已知函数
(1)求当时，函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)已知函数在上的最大值为13，求a的值.
【答案】(1)
(2)答案见详解
(3)
【详解】（1）若，则，且，
可得，且，即切点坐标为，切线斜率，
所以所求切线方程为，即.
（2）因为函数的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）因为，由（1）可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则函数在上的最大值为，解得.
18．已知函数.
(1)设是函数的极值点，求的值；
(2)当时，证明：，
(3)设，讨论函数的单调性.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1），
因为，得，经检验满足题意.
（2）当时，，
要证：，即证，
设，
所以在区间上单调递增
所以，即
（3）因为，
则，
当时，，令得，令得，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当且时，，令令得，令得，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若有两个正零点，且．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，求导得，所以，
又，所以切点为，
所以切线方程为，即；
（2）由，求导得，
若，，所以在上单调递增；
若，令，得，解得，
当 时，，则在 上单调递减；
当 时，，则在 上单调递增；
综上所述：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根，
由（2）知，且，所以，
解得，所以的取值范围．
（ii）由（i）得，所以，，
两边同时取自然对数，得，，
两式相减得，即，
要证，只需证明，
即，所以，
令，只需证明，构造函数，
求导得，所以函数在上单调递增，
于是，所以不等式成立，
于是原不等式成立．
20．已知函数.
(1)若，求的零点；
(2)若，讨论的单调性；
(3)若，为自然对数的底数，证明：.
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）若，则，得或（舍），所以.
所以的零点为.
（2）若，，函数的定义为，
所以，令，得或，
即或.
①时，即，
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
②当，即时，
当时，，；当时，，.
所以函数在是单调递减.
③当时，即，当时，，；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在是单调递减.；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）因，要证，
只需证，即，
令，，
因此只需证即可.
，
再令，则
因，所以，得，即，
所以在上单调递增，且，.
由零点存在性定理，存在唯一，使得，即.
所以在有唯一零点，且当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，.
所以对，都有成立.
所以，成立.