高二数学月考卷（人教B版2019，范围：数列 导数）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A B B D D C A
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9 10 11
ABD AD ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．2
13．
14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【详解】（1）因为 ，则 ，
由已知条件得 ，解得 ，（2 分）
所以 ，
所以 ，则 ， ，（4 分）
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 .（6 分）
（2）由（1）知， ， ，由 可得 或 ，列表如下：
1 / 4
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
（10 分）
所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以，函数 在区间 上的极大值为 ，极小值为 ，
又因为 ， ，故函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
值域为 （13 分）
16．（15 分）
【详解】（1）由题意得 ，
由函数 在 及 处取得极值，得
解得 ，（5 分）
此时 ， ，
则 得 或 ； 得 ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则 和 分别为 的极大值点和极小值点.
故 .（10 分）
（2）由（1）可知， 在 处取得极大值，在 处取得极小值．
又 有三个不同的实根，所以
解得 ，所以实数 c 的取值范围是 ．（15 分）
17．（15 分）
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【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ，可得 ，即 ；
又因为 ，取 ，所以 ，即 ；
解得 ，故 的通项公式为 .（7 分）
（2）因为 ，
所以
.（15 分）
18．（17 分）
【详解】（1）由题意， ， ，
令 ， ，
当 时， .
所以数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，
即数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列.（8 分）
（2）由（1）可知： ，则 ，
所以
则 ，①
两边同乘 2 得： ，②
① ②得：
，
所以 .（17 分）
19．（17 分）
【详解】（1）由题设 ，显然 ，（2 分）
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若 ，则 ，故 ，则 在 R 上单调递减；（3 分）
若 ，则 时 ， 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；（6 分）
综上， 时 在 R 上单调递减；
时 在 上单调递减，在 上单调递增；（8 分）
（2）由（1）知， 时 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 ，（10 分）
要证 ，只需证 ，
所以，只需证 ，（12 分）
令 且 ，
则 ，
当 ， ， 在 上单调递减，
当 ， ， 在 上单调递增，
所以 ，而 ，（15 分）
所以 ，
故 得证.（17 分）
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