2025-2026学年高一数学下学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版必修第二册第9~10章）

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版必修第二册第9~10章），共17页。试卷主要包含了测试范围，下列有关函数的已知，下列等式成立的是，关于平面向量，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第10章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】B
【详解】当时， ，解得或，即必要性不成立，故A错误；
当时，，故，所以，即充分性成立，故B正确；
当时，，解得，即必要性不成立，故C错误；
当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故D错误. 故选：B.
2．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，，，，
由题可知，，所以.故选：C.
3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，即，
则，即，因为，所以，
.故选：D
4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】已知单位向量、的夹角为，因此且
A选项：，，
，，故，A为真命题；
B选项：，B为真命题；
C选项：假设，则存在使，
整理得：，由于与不共线（夹角为），则且，
此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题；
D选项：所以，D为真命题.故选：C
5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，所以，又
所以，化简得，
可得，
解得（负值舍去），所以.故选：B.
6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，两边平方得，
又，，，
所以，令，则，
所以，所以，
所以，所以，解得，
所以的最大值为.故选：B.
7．（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【详解】
. 故选：B.
8．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（ ）
①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】由
，
所以的周期为，所以函数的周期为，故①错误，
，所以函数的一个对称中心为，故②正确，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，故③错误，
，
由在区间上是单调函数，所以,
又，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，
所以，
又，所以或，当时，，
当时，，所以的值为2或，故④正确，故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】因为，故A错误；因为，故B正确；
因为，故C正确；
因为
，故D正确. 故选：BCD
10．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，，对任意的非零实数和，则
B．若，，则向量，的夹角为钝角
C．若，，且和的夹角为，则
D．若点在同一平面内，且，则三点共线
【答案】ABD
【详解】对于A，因，则，故，即A正确；
对于B，由，且与不共线，
则向量，的夹角为钝角，故B正确；
对于C，因，
则，故C错误；
对于D，由，可得，
，即与共线，故三点共线，即D正确.故选：ABD.
11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．命题“”的否定是真命题
【答案】BCD
【详解】对于A，B：当时，，得，
则，又，故A错误，B正确；
对于C：当时，，故C正确；
对于D：假设，则有，则，
这显然不成立，所以假设不成立，所以命题“”是假命题，
从而命题“”的否定是真命题，故D正确.故选：BCD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________.
【答案】
【详解】由题意可得，又，，
所以，所以，所以，又，
所以.故答案为：.
13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分）
【答案】 /0.5 2
【详解】设，则
，所以，解得，
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：；.
14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由题可得，
当时，，又，，
函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为，
所以，得，所以实数的取值范围为.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知向量与的夹角，且．
(1)若与垂直，求。
(2)求与的夹角的余弦值。
【详解】（1）由已知，得，
由与垂直，则，则；（5分）
（2），
设与的夹角为，则，
与的夹角的余弦值为.（13分）
16．（15分）
设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线.
(1)求的值：
(2)若，
①求向量与的夹角的余弦值；
②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标.
【详解】（1）由已知得，
因为三点共线，所以，即；（4分）
（2）由已知得，
①；（9分）
②由平行四边形得，又，
所以解得，即.（15分）
17．（15分）
已知函数.
(1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分，
①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值.
【详解】（1）当时，，
所以函数的最小正周期为. （2分）
令，则.因为是增函数，
所以当，即时，单调递减.
所以函数的单调递减区间为；（6分）
（2），其中.
由，知当时，取得最值，
所以，所以.
所以.所以，所以.所以.
①，且.所以.
直线的方程为：，所以点到直线的距离为.
所以面积为.
因为，所以.所以面积的取值范围为；（15分）
②由，，最大值为2，最小值为-2.
令，则.所以点A的坐标为.
不妨令，则.由的周期性和对称性，令是函数图象上点右侧相邻的最低点.
则如图或位置时，面积最小，最小值为.（15分）

18．（17分）
（新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律：
据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？
根据以上信息，回答下列问题：
(1)解关于的方程：，其中；
(2)猜想的值，并证明你的猜想：
(3)证明：，其中.
【详解】（1）令，则，得到，
因，
原方程可化为，
由题意得，
可得，即，
则，或，
① 当时，解得，
因，当时，；当时，.
② 当时，此时被消去，不合题意.
综上可得，方程的解为或. （5分）
（2）猜想：，
先证明三倍角公式，
由题意得
，
则得（*），
证明：由诱导公式可得，
设，可得，则，可得，
将（*）代入可得，
整理得，
因为，所以，
可得，解得（负根舍去），即，
则，
故.（10分）
（3）设，
则，
由积化和差公式变形可得：
，
则
，
则，
因为，所以，此时，
故，即原命题得证.（17分）
19．（17分）
已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数．
(1)求常数的值；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围；
(3)求证：方程有且只有一个根，且．
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.
【详解】（1），
因为的最小正周期为，所以，解得；（4分）
（2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得，
再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，
当时，，则，
当，，则，
因为，使得成立，
当时，符合题意；
当时，由题意可得，
则，解得，所以；
当时，由题意可得，
则，解得，所以；
综上所述，．（10分）
（3）由题意设，其定义域为．
①当时，单调递增，且，，
故存在，使得；
②当时，由，所以，
而，所以在恒成立，即此时函数无零点.
综上，存在唯一的，使得，且．
由题意可知，，因，
要证成立，只需证（*），
令，则，
则（*）为，即证：，
又因，显然成立，故（*）成立，也即得证.（17分）