2025-2026学年高一数学下学期第一次月考02【广东专用，人教A版必修第二册第6章：平面向量及其应用】

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考02【广东专用，人教A版必修第二册第6章：平面向量及其应用】，共15页。试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）必修第二册平面向量
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法正确的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→=±b→ B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量
2．平面向量a→=（3，﹣1），b→=（x，1），且a→−b→=（1，﹣2），则x＝（ ）
A．﹣1B．2C．5D．3
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB→=a→，AD→=b→，若AE→=23AC→，则DE→=（ ）
A．13a→−23b→B．23a→−13b→C．13a→+23b→D．23a→+13b→
4．在△ABC中，若AB＝1，AC＝5，BC＝32，则B＝（ ）
A．30°B．45°C．135°D．150°
5．已知向量a→=(−1，1)，b→=(x，−2)，若a→⊥(2a→−b→)，则|a→+b→|=（ ）
A．22B．5C．52D．8
6．菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，M为CD的中点，N为BC的中点，则AM→⋅AN→=（ ）
A．2+532B．4+532C．92D．132
7．在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB→=2AM→，AC→=4AN→，D在边BC上（不包含端点）．若AD→=xAM→+yAN→，则1x+2y的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．已知O为锐角△ABC的外心，|AB→|=3，|AC→|＝23，若AO→=xAB→+yAC→，且9x+12y＝8．记I1=OA→⋅OB→，I2=OB→⋅OC→，I3=OA→⋅OC→，则（ ）
A．I2＜I1＜I3B．I3＜I2＜I1C．I3＜I1＜I2D．I2＜I3＜I1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于向量a→，b→，下列命题中，正确的是（ ）
A．若|a→|＝|b→|，则a→=b→B．若a→=b→，则|a→|＝|b→|
C．若|a→|＝0，则a→=0→D．若a→=−b→，则a→∥b→
10．给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧AB上运动，若OC→=xOA→+yOB→(x，y∈R)，则x+y的取值可以是（ ）
A．1B．54C．2D．52
11．△ABC的周长为6，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB+sinC−sinA=12csinB，则（ ）
A．若a＝2，则bc＝4 B．2≤a＜3
C．A=π6 D．若△ABC的面积为32，则sinB+sinC=7310
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知两个非零向量a→，b→不共线，若OA→=2a→+b→，OB→=a→+tb→，OC→=−a→+3b→，且A，B，C三点共线，则t＝ ．
13．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若2AO→=AB→+AC→，且|AC→|=1，则向量BA→在向量BC→上的投影向量为 ．
14．若△ABC中，∠B=2π3，BC＞AB，点D满足AD→=2DC→且BD＝1，则AC的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知向量a→=（﹣3，4），b→=（2，3）．
（1）若(a→+2b→)∥(ka→−b→)，求实数k的值；
（2）若(a→−mb→)⊥b→，求实数m的值．
16．（15分）如图，在△ABC中，点O在BC上，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）若O是BC上靠近C的三等分点，用a→和b→表示AO→；
（2）若O是BC中点，设AM→=ma→，AN→=nb→，求1m+1n的值．
17．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2b，A＝120°．
（1）求csB的值；
（2）若a=47，求BC边上的高．
18．（17分）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∠BCD＝120°，P，Q分别为直线BC，CD上的动点．
（1）当P，Q为线段BC，CD上的中点，试用AB→和AD→来表示QP→；
（2）若BP→=14BC→，求|AP→|；
（3）若BP→=μBC→，DQ→=λDC→，λ＞0，μ＞0，G为△APQ的重心，若D，G，B在同一条直线上，求λμ的最大值．
19．（17分）设Ox，Oy是平面内夹角成θ（0°＜θ＜180°，θ≠90°）的两条数轴，e1→，e2→两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量OP→=xe1→+ye2→，则把有序数对（x，y）叫做向量OP→在此坐标系中的坐标，记OP→=(x，y)．已知OA→=(3，1)，OB→=(1，1)．
（1）若θ＝60°．
（ⅰ）求OA→⋅OB→．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若|OA→−tOB→|≥3对t∈R恒成立，求cs〈OA→，OB→〉的最大值．