2025-2026学年高一数学下学期第一次月考01【全国通用，人教A版必修第二册第6~7章：平面向量+复数】

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考01【全国通用，人教A版必修第二册第6~7章：平面向量+复数】，共17页。试卷主要包含了测试范围，已知为所在平面内的一点，，则，已知复数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版必修第二册第六章平面向量及其应用~第七章复数。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，，则的坐标为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由向量减法的坐标运算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2．已知复数满足，则（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算以及模长公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
所以.
故选：A
3．已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可求得，进而可求得.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，为单位向量，所以，所以，
又因为，所以.
故选：B.
4．设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】根据计算得出角，因为利用正弦定理和余弦定理得到，从而判断三角形形状.
【详解】因为，所以，
则，因为，所以，
又，所以，
由，所以，，
所以为等腰直角三角形.
故选：D.
5．已知为所在平面内的一点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据图形的几何性质分解向量即可得解.
【详解】如图所示，
由题意得.
故选：C.
6．如图，某区域地面有四个5G基站，分别为，，，.已知，两个基站建在河的南岸，距离为，基站，在河的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先通过和分别用正弦定理求出、的长度，再在中用余弦定理求出的长度.
【详解】在中，，
由正弦定理，即，得 km.
在中，，，故，
由正弦定理，即，得 km.
在中，由余弦定理，
代入得，故 km.
故选：A
7．在中，已知，若向量在向量上的投影向量为，，则实数m的值为（ ）
A．B．5C．2D．
【答案】B
【分析】由题意可得，可得，利用同角的平方关系可求得，利用投影向量的定义可得，计算可求得.
【详解】由，可得，所以是直角三角形，且，
因为，所以，又，所以，
又因为向量在向量上的投影向量为，所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以，解得.
故选：B.
8．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解.
【详解】由得，
由正弦定理（为外接圆半径）得，，
因为，所以，
若，由余弦定理得，，所以为锐角，
则，即，由于，，则，
所以，矛盾.
故，即，所以，即，
又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号），
所以的最小值为4.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】BC
【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，假设，则使得，
因为不共线得且，则无解，
故，不共线可作为一组基底；
对于B，因为，所以，不能作为基底；
对于C，因为，所以，不能作为基底；
对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底.
故选:BC.
10．已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则为纯虚数
【答案】ACD
【分析】利用共轭复数的定义判断选项A；举反例即可判断选项B；由复数模的运算性质判断选项C；由复数的乘方运算即可判断选项D.
【详解】设，
对于A，由，则，
而，则，故A正确；
对于B，举例，满足，但，无法比较大小，故B错误；
对于C，由复数模的运算性质可知，，故C正确；
对于D，由，则，而，
可得，则，则为纯虚数，故D正确．
故选：ACD
11．在斜三角形中，，则（ ）
A．角B为钝角B．
C．若，则D．的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用诱导公式结合正弦函数的图象推得或，分析即得；对于B，根据两函数值的符号即可判断；对于C，利用正弦定理即可判断；对于D，将待求式中的角都用角的三角函数式表示，利用三角恒等变换、换元将其化成二次函数，结合二次函数的图象性质即得.
【详解】对于A，由可得，
因，则，则，或，
即或，
因为斜三角形，故，即角B为钝角，故A正确；
对于B，由A项已得角B为钝角，则，因，故，即B错误；
对于C，由正弦定理，，又，
代入解得，故C正确；
对于D，由上分析可得：，,
故
，设，
又,则，则，
则，且，
则，
故当时，的最大值为,故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知是虚数单位，则___________．
【答案】0
【分析】根据虚数单位的幂次的运算性质，分别计算、、、的值，再将它们相加.
【详解】根据虚数单位的幂次的运算性质得：
，
，
，
故
故答案为：.
13．中，为边的中线，，，，则中线的长为_________.
【答案】/
【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可.
【详解】

如图，以边,为邻边做平行四边形，
因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且，
在平行四边形中，，，
在中，由余弦定理得：
，
所以，，
故答案为：
14．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.
【详解】如图，取的中点，，
而，所以．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知向量，且.
(1)求向量；
(2)若，求向量的夹角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量平行和垂直的坐标表示，列出方程，求出参数，求出结果；
（2）根据向量加法的坐标表示，和向量夹角的余弦值的坐标表示，求出向量夹角的余弦值，根据同角三角函数关系，求出正弦值.
【详解】（1）因为，且，
所以，.
解得，
所以；
（2）设向量的夹角的大小为，.
由题意可得，，，
所以，得.
16．（15分）
已知复数与都是纯虚数．
(1)求；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得，从而得到，即可求出其模；
（2）由（1）可得，根据虚根成对原理得到也是方程的根，利用韦达定理计算可得.
【详解】（1）由题意可设，
则，
又为纯虚数，
则，解得，所以，则；
（2）由（1）可得，
故是关于的方程的一个根，
则也是关于的方程的一个根，
故，解得．
17．（15分）
在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【分析】（1）利用弦切互化和两角和的正弦可证；
（2）由余弦定理可得，求出后结合（1）中结果可求.
【详解】（1）因为
在中，由，有，
所以，所以．
（2）由已知，，化简得，
根据余弦定理，有，而为三角形内角，
所以．
由（1）知，所以，
故．
18．（17分）
我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系称为“广义坐标系”．如图1，分别为正方向上的单位向量．若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记．已知向量的“广义坐标”分别为．

(1)求的“广义坐标”；
(2)求向量与的夹角的余弦值；
(3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1），故，得到“广义坐标”为；
（2）计算出，，，故；
（3）平面直角坐标系中，，设，得到方程组，求出，故向量的“广义坐标”为.
【详解】（1）由题意得，
故，
故的“广义坐标”为；
（2）由题意得，，
故
，
，故，
，故，
所以向量与的夹角的余弦值为；
（3）在平面直角坐标系中，，
设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，
所以，
所以，解得，
故向量的“广义坐标”为.
19．（17分）
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若，求周长的取值范围；
(3)若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用正弦边角关系，结合诱导公式、二倍角正弦公式化简得，即可求角；
（2）法一：应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围；法二：应用正弦定理得三角形周长，再应用三角形内角性质及三角恒等变换得，最后应用正弦函数的性质求范围；
（3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围.
【详解】（1）由已知及正弦边角关系得，
因为，所以，而，
所以，，，
所以，，故，即；
（2）方法一：由余弦定理，得，即
因为，当且仅当时等号成立，
所以，即，，
由三角形三边关系知，所以，即，
所以周长的取值范围为；
方法二：由正弦定理，得，，
所以
，
因为，所以，即，即，，
所以周长的取值范围为；
（3）因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以，
设，，
在中，由正弦定理，
所以，即，，
所以
，
因为，为锐角三角形，所以，即，
所以，即，
则，
所以面积的取值范围为.