2025-2026学年高二数学下学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章）

这是一份2025-2026学年高二数学下学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章）试卷主要包含了测试范围等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
\【详解】选项A：，又，故，则A选项正确；
选项B：，又，故，则B选项正确；
选项C：，又，故，则C选项正确；
选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，
因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D
2．已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】选项A： ，，两边相等，A正确.
选项B：，两边相等，B正确.
选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确.
选项D：，取，
左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误.故选：
3．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为 B．
C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面
【答案】C
【详解】对A：，所以，故A错；
对B：因为，所以不成立，故B错误；
对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对D：令，，即，显然无解，
所以向量与向量不共面，故D错误.故选：C
4.对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．的展开式中共有6项.
B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同.
C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等.
D．的展开式中系数为有理数的项共有四项.
【答案】D
【详解】由，可知展开式共7项，故A错误；
展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误；
因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误；
展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确.故选：D
5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（ ）
A．450B．540C．630D．900
【答案】B
【详解】先将6人分成3组，即分为；或，共有种分组方法，
再把三组分配到3个不同项目，则有种不同的报名方法.故选：B
6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为平面的方程为，故其法向量为，
且直线的方程为，故其方向向量为，
设直线与平面所成角为，则，
可得，所以直线与平面所成角的余弦值为.故选：D.
7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（md）．若，（md），则值可以是（ ）
A．2026B．2025C．2024D．2023
【答案】C
【详解】
因能被整除，
故除以余数为，
所以除以余数为，
因为，所以，，，
又（md），所以值可以是. 故选：C.
8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，设直线为，，
联立与可得，则，则，
故，解得，
故，解得，故，
如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴，在平面内作的垂线为y轴，过点O作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

过作平面于，过作于，连接，
由于轴，且轴，，平面，故轴平面，
平面，故轴，则
由于在直角坐标系中，故，
因此在直角三角形中，，
因此在空间直角坐标系中，，故，故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
11．以下说法正确的是（ ）
A．若空间四点不共面，则与不共面
B．当三点不共线时，若，则四点共面
C．直线的方向向量为，平面的法向量为，当时，
D．若平面的法向量分别为，则与夹角的正弦值为
【答案】BCD
【详解】选项A：空间中任意两个向量均为共面向量，故A错误；
选项B：若，则共面，则四点共面；
选项C、当时，正确
选项D：设平面与的夹角为，则，故，故选：BCD
12．2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（ ）
A．每个景点都有人去的情况共有24种
B．有景点没人去的情况共有256种
C．恰有1个景点没人去的情况共有144种
D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种
【答案】ACD
【详解】对于A，每个景点都有人员选择去的情况数为，故A正确；
对于B，4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为，
结合A，则有景点没人去的情况数为，故B错误；
对于C，先将四个人分为3组，则有种情况，
故恰有1个景点没人去的情况数为，故C正确；
对于D，方法一：4人从“玄武湖”“明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共种情况，
若4人均选择同一个景点，情况为2种，故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为；
方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有种情况，
若平均分为两组，则有种情况，
故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确.故选：ACD.
11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：
①是与都垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．
如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．长方体的体积
【答案】BCD
【详解】选项A：向量同时与向量垂直，且向量三个向量构成右手系，
，，所以，故A不正确，
选项B：由，，
所以，故B选项正确，
选项C：因为，且与同向共线，
又，且与同向共线，
又因为与同向共线，所以，故C选项正确，
选项D：长方体的体积为：，
，故，所以D选项正确，故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______.
【答案】
【详解】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
二项式系数最大值出现在中间项，
当 为偶数时，最大项为第 项，因此有 ，解得 ，
展开式的通项公式为：
令 ，解得 ，代入通项，得系数为：
因此，展开式中 的系数为 .故答案为：
13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种.
【答案】18
【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：；
区域种不同的花，不同的种植方法有：；
由分类加法计数原理可得，共有18种方法.故答案为：18
14．如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论：
①直线与直线所成角的范围是；②四面体体积的最大值为；
③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为；
④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5．
其中所有正确结论的序号为___________．
【答案】②③④
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，如图所示：

则，，
设，则设，
对于①，因为所以，
所以与不可能垂直，所以直线与不可能垂直，
即直线与直线所成角的不可能为，故①错误；
对于②，因为三点在平面内，且四边形为矩形，
其中,，所以，
所以当点到平面的距离最大时，四面体体积的最大，
易知当点与点重合时，点到平面的距离最大，为，
此时，故②正确；
对于③，当且为中点时，则，，则，
设，则，
所以，又因为，所以与共线的单位向量，
所以点到直线的距离，
所以当时，取最小值，为，故③正确；
对于④，当且分别为中点时，
则，，所以，
设，则，
，所以，
又因为，由题意可得，
所以，所以的轨迹为一个平面，取中点连接，则，
所以，所以，
在所表示的平面中，取三个点，
则，设此平面的法向量为，
则，则有，取，则，
又因为，所以点到平面的距离，
设点关于此平面的射影点为，则，
又因为，所以①，
又因为的中点在平面内，所以②，
由①②可得，即，
所以当、、三点共线时，取最小值，为，
又因为，
所以此时，
即的最小值为5，故④正确.故答案为：②③④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
如下图所示，在平行六面体中，，，，
(1)求与的数量积；
(2)求在上的投影向量；
(3)求的长.
【详解】（1）由，即，则；（3分）
（2）由，则，
而，则在上的投影向量；（7分）
（3）由，则
，所以.（13分）
16．（15分）
某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛.
(1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？
【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种.（4分）
（2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种.（8分）
（3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，.
若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种；
若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种；
若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种.
所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种.（15分）
17．（15分）
已知，求解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【详解】（1）令，得①.（3分）
（2）令，得②，
由①②，得，
所以.（7分）
（3）因为，
的展开式通项为，
所以，
当为奇数时，；当为偶数时，.
所以.（11分）
（4），
两边分别求导，得，
令，得.（15分）
18．（17分）
如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面.
(1)证明：四点共面；
(2)设，且点均在球的球面上.
（i）求点到平面的距离；
（ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，
又因为，所以四边形是正方形，
所以，所以，所以四点共面.（4分）
（2）（i）因为，平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因为，所以平面，同理可得，平面，
因为平面，平面，所以，，
所以和都是直角三角形，所以的中点就是球心，（6分）
如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，则，
设平面的一个法向量，所以，令，所以，
所以，所以点到平面的距离为.（10分）
（ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小，
因为，所以球的半径，分别取中点，
则，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
由（i）知平面的一个法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为
.（17分）
19．（17分）
如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为.
(1)设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）；
(2)求三棱锥的表面积；
(3)求二面角的正切值.
【详解】（1）若截面平面，且面面，面面，
则，因为，所以，
同理可得，则连接即可，如图，作出截面.（4分）
（2）找的中点，连接，因为菱形的边长为2，
所以，则，同理可得，则是二面角的平面角，
因为二面角的余弦值为，所以，由题意得，
则由余弦定理得，解得（负根舍去），
由折叠性质得，则，则，同理可得，
由三角形面积公式得，，
，，
则三棱锥的表面积为.（10分）
（3）如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，设，
则，，，
因为，所以，解得，此时，
由题意得，由两点间距离公式得，
因为，所以，
联立方程组，解得，
得到，则，，
由题意得面的法向量为，设面的法向量为，
则，令，解得，，
可得，设二面角为，
得到，而，则，
由同角三角函数的基本关系得，解得，
故，即二面角的正切值为.（17分）