高一数学月考卷（苏教版2019，必修第二册第9~14章）-2024-2025学年高中下学期第三次月考

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第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．214．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】（1）由题意，解得；（3分）
（2）由直方图知，前3组数的频率为
前4组数的频率为，
因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，
则，解得；（8分）
（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，
所以，
总方差为. （13分）
16．（15分）
【解析】（1）因为，则，
所以，又为纯虚数，
所以，解得；（4分）
（2），
所以；（9分）
（3）因为，
所以，（12分）
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．（15分）
17．（15分）
【解析】（1）因为，则，可得，
因为，，，
由平面向量数量积的定义可得，（3分）
所以，
. （5分）
（2）因为为的中点，则，
由平面向量数量积的定义可得，（7分）
所以，，
又因为、均为非零向量，故，即. （10分）
（3）因为点在线段上的一点，设，其中，
则，所以，，
又因为，且、不共线，
所以，，解得，此时，点为线段的中点. （15分）
18．（17分）
【解析】（1）延长到，使，连接，
因为为正方形，所以，，
所以与全等，所以，，
因为，所以，即，
所以与全等，所以，（3分）
所以，
所以，又，
所以；（5分）
（2）①因为，所以，
当点与点重合时，最小，，所以，
，
当点与点重合时，最大，，所以，（8分）
所以的取值范围为；（9分）
②设，由①知，
，，
，（10分）
设，
因为，所以，（12分）
又，
所以，（13分）
因为在上单调递增，
所以当时，最小，此时，即，（15分）
所以的最小值为，
因为在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，
所以当米时，安装智能照明装置的费用最低，最低费用为元.（17分）
19．（17分）
【解析】（1），，是等边三角形．
又，，即，．
，，由勾股定理得，．
又BC，面，，面．（4分）
（2）过等边三角形的外心作直线面，
设球心，连接OA，OB，过点作，交AB于．
设球的半径为R，，则，，解得，．（8分）
（3）由（1）得，面，，
而在中，，得，，
由题意，所以，（10分）
所以，
设到面的距离为，则，（13分）
，，得．
在中，由余弦定理，得．（14分）
设CF与平面所成角为，
则，
，，． （17分）
1
2
3
4
5
6
7
8
D
A
D
C
D
C
B
B
9
10
11
ACD
BC
ACD