高二数学月考卷（江苏专用，苏教版2019选择性必修第二册）：2024-2025学年高中下学期第三次月考

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版 2019 选择性必修第二册。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．如果直线 的方向向量是 ，直线 的方向向量是 ，那么（ ）
A． B． 与 相交 C． 与 异面 D．
【答案】D
【详解】因为 ，
故 ，所以 ，
故选：D
2．若随机变量 服从两点分布， ，则 为（ ）
A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65
【答案】B
【详解】由随机变量 服从两点分布，则 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
3．为了了解高中学生每天的课后学习时间和他们的数学成绩排名的关系，某实验小组做了调查，得到一些
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数据如下表，已知学习时间 （单位：小时）与成绩名次 （单位：名）满足线性回归方程
，则 的值为（ ）
附加： .
学习时间 0.5 1.0 2.0 2.5 4.0
成绩排名 20 14 10 8
A．19 B． C．20 D．
【答案】D
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以样本中心点为 ，
代入回归直线方程得 ，解得 .
故选：D.
4．已知 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，
所以 ，解得： .
所以奇数项的二项式系数和为 .
故选：A.
5．在正四棱锥 中， ， 为 的中点， .若 ，则 （ ）
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A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】由于 ，且 是正四棱锥，
故 ，且侧面均为等边三角形，
，故 ，则 ，
故选：C
6．从 4 名男生、3 名女生中选 2 人分别担任班长和副部长，要求选出的 2 人中至少有一名男生，则不同的
方法数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．36
【答案】D
【详解】由题意从 4 名男生、3 名女生中选 2 人分别担任班长和副部长的方法数有 ，
从 3 名女生中选 2 人分别担任班长和副部长的方法数有 ，
所以选出的 2 人中至少有一名男生方法数为 .
故选：D.
7．如图，已知平行四边形 ， ， 且 ，沿对角线 将 折起，当二面
角 的余弦值为 时，则 A 与 C 之间距离为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】已知平行四边形 ， ， 且 ，
， ，
平面 与平面 所成角的余弦值为 ，
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， ，
，
，
则 ，即 与 之间距离为 ，
故选：C．
8． 世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率 、召回率 、卡帕（ ）系数 是
衡量算法性能的重要指标 在对某型号扫雷机器人的测试中，记 表示事件“选择的位点实际有雷”， 表
示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率 ，召回率 ，卡帕系数 ，
其中 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由已知得： ，
根据 ，
所以有 ，
则上式又可化为：
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，
故选：A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知某一批产品的长度测试结果满足正态分布 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 越大，这一批产品的长度测试结果在 内的概率越大
B．这一批产品的长度测试结果大于 的概率为
C．这一批产品的长度测试结果在 内的概率和在 内的概率相等
D．这一批产品的长度测试结果大于 的概率与小于 的概率相等
【答案】BC
【详解】根据题意，因为某一批产品的长度测试结果满足正态分布 ，
所以这一批产品的长度测试结果的图象关于直线 对称，故 BC 正确；
而测试结果大于 的概率等于小于 的概率，故 D 错误；
越大，该结果的离散性越大，测试结果在 内的概率越小，故 A 错误.
故选：BC.
10．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】由 ，
得 ，因此 A 正确；
取 ，则 ，即 ，因此 B 不正确；
取 ，则 ，
即 ①，因此 C 正确；
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取 ，则 ，即 ②，
① ②得 ，因此 D 不正确；
故选：AC.
11．如图，菱形 的边长为 2， ，E 为边 的中点，将 沿 折起，折叠后点 A 的
对应点为 ，使得平面 平面 ，连接 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 B 到平面 的距离为 B． 与 所成角的余弦值为
C．三棱锥 的外接球的体积为 D．直线 与平面 所成角的正弦值为
【答案】AD
【详解】由题意易知 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 两两垂直，
以 为原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图：
则 ，
取 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的一个法平面 ，
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点 到平面 的距离 ，故 A 正确；
取 ，设直线 与 所成角大小为 ，
，故 B 错误；
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 ，故 D 正确；
连接 ，取线段 的中点为 ，过 作 平面 ，连接 ，如图：
易知点 为 的外心，可设点 为三棱锥 的外接球的球心，
由图易得 ，则球的半径 ，
所以球的体积 ，故 C 错误.故选：AD.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．某公司收集了某商品销售收入 （单位：万元）与相应的广告支出 （单位：万元）共 10 组数据
，绘制出散点图，如图，并利用线性回归模型进行拟合．若将图中 10 个点中去掉
点后再重新进行线性回归分析，则下列说法错误的是 ．
①决定系数 变小 ②残差平方和变小
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③相关系数 的值变小 ④自变量 与因变量 相关性变弱
【答案】①③④
【详解】从图中可以看出 点较其他点，偏离直线远，故去掉 点后，回归效果更好，
故决定系数 会变大，更接近于 1；残差平方和变小；
相关系数 的绝对值，即 会更接近于 1，由图可得 与 正相关，故 会更接近于 1，即相关系数 的值
变大，自变量 与因变量 相关性变强，故①，③，④错误，②正确．
故答案为：①③④．
13．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件 发生，该公司要赔偿 元.设在一年内 发生的
概率为 ，为使公司收益的期望值等于 的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 .
【答案】
【详解】设保险公司要求顾客交 元保险金，若 表示公司每年的收益额，则 是一个随机变量，
的取值范围为 ， ，
则 的分布列为
因此，公司每年收益的期望值 ，
为使公司收益的期望值等于 的百分之十，所以 ，解得 .
故答案为： .
14．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的 12 名工作人员到 A，B，C 三个镇开展环境保护的宣传工作，
每个镇至少派遣 3 人，因工作需要，张三，李四，王五 3 人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有
种．（结果用数字表示）
【答案】
【详解】先分类讨论人员分组情况：
当张三､李四､王五所在组恰有 3 人时，余下 9 人分成 2 组，有 210 种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有 4 人时，先从其他 9 人中选 1 人到这组，再将余下 8 人分成 2 组，有
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种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有 5 人时，先从其他 9 人中选 2 人到这组，余下 7 人分成 2 组，有
种方法；
当张三､李四､王五所在组恰有 6 人时，先从其他 9 人中选 3 人到这组，余下 6 人分成 2 组，有
种方法．
再将三组人员分配到三个镇：
因为这三组分配到三个地区有 种方法，所以安排方法总数为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）（1）求满足不等式 的正整数 的集合；
（2）用 0，1，2，3，4，5 这六个数字组成满足下列条件的四位数．
（i）能被 5 整除的无重复数字的四位数有多少个？
（ii）恰有三个重复数字的四位数有多少个.
【详解】（1）原不等式可化为： ， 2 分
即 ，
即 ，解得 ， 分
又因为 且 ，所以 ，
则不等式的解集为 ． 分
（2）（i） 个位为 0 时，能被 5 整除的无重复数字的四位数有 个，
当个位为 5 时，能被 5 整除的无重复数字的四位数有 个，
综上，能被 5 整除的无重复数字的四位数有 个； 9 分
（ii）重复数字为 0 时，满足条件的四位数有 个，
重复数字不为 0，但数中有 0 时，满足条件的四位数有 个，
重复数字不为 0，数中也无 0 时，满足条件的四位数有 个，
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综上，恰有三个重复数字的四位数共有 个. 13 分
16．（15 分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社
区在健身广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建
设绿色家园贡献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
(1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，
其中被调查的男性居民 30 人，女性居民 20 人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的 ，
女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 .根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结
果，完成下面 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志
愿者与性别有关？
性别
合计
男性 女性
喜欢担任
不喜欢担任
合计
附： ，
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)若某垃圾站的日垃圾分拣量 y（千克）与垃圾分类志愿者人数 x（人）之间具有较强的线性相关性，求
回归直线方程 ，并预测志愿者人数为 10 人时，该垃圾站的日垃圾分拣量.
数据统计如表：
志愿者人数 x（人） 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量 y（千克） 24 29 41 46 60
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参考数据 ，附： ，
【详解】（1）零假设 ：居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别无关根据题意，列出的 2×2 列联表如下：
性别
合计
男性 女性
喜欢担任 10 15 25
不喜欢担任 20 5 25
合计 30 20 50
3 分
则 ， 分
依据小概率值 的独立性检验， 不成立，
因此认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 0.005. 7 分
（2）由表中数据可知， ， ，
，
又 ， 分
则 ， ，
∴回归直线方程为 . 分
当 时， ，
所以当志愿者为 10 人时，垃圾分拣量大约为 93.4 千克. 15 分
17．（15 分）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸
照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了 500 张不同的人脸照片作为测试样本，
获得数据如下表（单位：张）：
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可以识别
识别结果真实性别 无法识别
男 女
男 180 15 5
女 20 275 5
该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)现从这 500 张人脸照片中随机抽取，
①若抽取一张，求识别结果正确的概率；
②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）
的概率；
(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为 50%）.
现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为 中随机抽取一张，分别用方案一、方案
二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为 ， ， ，试比较 ， ， 的大小.（假
设用频率估计概率，结论不要求证明）
【详解】（1）①若 表示抽到男性， 表示抽到女性， 表示识别为男性， 表示识别为女性，
由题设 ， ，所以 ， ， 2 分
又 ， ，所以 ， ， 5 分
所以抽取一张，求识别结果正确的概率 ； 7 分
②由 ， ，所以 ， ， 9 分
所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为
. 11 分
（2）程序将男生识别正确的频率为 ，识别为女生的频率为 ，无法识别的频率为 ，
程序将女生识别正确的频率为 ，识别为男生的频率为 ，无法识别的频率为 ，
12 / 15
由频率估计概率得
，
，
， 14 分
所以 . 分
18．（17 分）如图，直三棱柱 中， ， ， .
(1)当 时，证明：平面 平面 ；
(2)当 ，记平面 与平面 ，平面 ，平面 ，平面 所成的角分别为 ，
， ， ， ，求 的取值范围.
【详解】（1）设 ，
∵ 为直三棱柱，且 ，
当 时，此时 P 为 的中点，
∴在 中， ， ，则 ， 2 分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又∵ ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ， 分
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 .∵ 平面 ，
∴平面 平面 . 分
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
. 8 分
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设平面 的法向量 ，
则
令 ，则 ， 11 分
同理，平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
平面 的法向量 ，平面 的法向量 ，
∴ ，
同理 ， ， ， 14 分
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的取值范围为 . 分
19．（17 分）某地举行中学生科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，预赛为闯关比赛．规定：三
人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次，如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人
中只要有人闯关成功即视作预赛阶段比赛胜利，无需继续闯关，进入决赛．决赛设置了 3 个问题，每完
整答对 1 个问题，该队决赛成绩记 3 分，否则记 0 分，未进入决赛的参赛队决赛成绩记 0 分．已知华夏
队的甲，乙，丙三名选手在预赛闯关阶段以及决赛阶段每次完整答对 1 个问题的概率均为 p，q，r
，每次回答是独立的，Y 表示华夏队的决赛总成绩．
(1)若 ， ， ，依次派甲，乙，丙进行闯关，求该小组进入决赛的概率；
14 / 15
(2)预赛阶段，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出；
(3)决赛阶段，若只能选出一人参加比赛，当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加？
【详解】（1）依次派甲乙丙进行闯关时，设事件 A 表示“该小组进入决赛”，
则 ，
则该小组进入决赛的概率为 . 3 分
（2）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员的数目为 X，期望为 ，依次派丙乙甲进行闯关，设派出人
员数目的期望为 ，
X 1 2 3
P p
5 分
所以， ，
同理， ，
则 ， 分
因为 ，所以 ，即 ，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 10 分
（3）若甲，乙，丙三人分别参加决赛，决赛阶段答对的题目个数分别为 ， ， ，得分分别为 ，
， ，
则 ， ， ， 13 分
所以 ， ，
同理 ， ， 15 分
因为 ，所以 ，
所以决赛阶段应由乙选手参加． 分
15 / 15