2025-2026学年高一数学下学期第一次月考01（天津专用，测试范围：人教A版平面向量+复数）

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考01（天津专用，测试范围：人教A版平面向量+复数），共17页。试卷主要包含了测试范围，已知向量 满足，，则的最大值为等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。
第一部分（选择题 共45分）
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法正确的是（ ）
A．长度一样的两个向量相等B．平行的两个向量为共线向量
C．零向量的大小为0且没有方向D．方向相反的两个向量互为相反向量
【答案】B
【分析】根据相等向量、共线向量（平行向量）、零向量、相反向量的定义逐项分析判断即可.
【详解】选项A：相等向量是指它们的长度相等且方向相同，故A错误；
选项B：平行向量与共线向量是同一概念，若两个非零向量方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量. 零向量与任一向量共线，故B正确；
选项C：长度为0的向量称为零向量，任何方向都可以作为零向量的方向，故C错误；
选项D：若两个向量的长度相等、方向相反，则称这两个向量互为相反向量，故D错误.
故选：B.
2．若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算法则，求出，即可得出结果.
【详解】由题意得，虚部是.
故选：C.
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案.
【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，

则.
故选：C.
4．若向量与垂直，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解.
【详解】，所以，所以，
所以.
故选：A
5．已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据得到，再根据投影向量的概念求解.
【详解】由，
所以.
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：A
6．在钝角中，内角的对边分别为，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理及，对题干式子进行化简得到，即，再利用余弦定理即可求出.
【详解】因为，
由正弦定理得，
又，
所以，
即，
因为为钝角三角形，则，
所以，
由正弦定理得，又，则，
又因为，由余弦定理得.
故选：A.
7．已知、、是平面上不共线的三个点，若，，则一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，推导出，即可得出结论.
【详解】因为
，
即，故，
所以为等腰三角形.
故选：B.
8．已知向量 满足，，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】设且，根据题意，得到四边形是边长为2的菱形，再作，得到点在以为圆心，半径为1的圆上，结合图形和圆的性质，即可求解.
【详解】如图所示，设向量，作向量，
因为，所以四边形是边长为2的菱形，且，
再作，则，
所以点在以为圆心，半径为1的圆上，
结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值，
所以取得最大值.
故选：C.
9．已知中，，，P是所在平面内的任意一点，且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题设可得，建立平面直角坐标系，根据，设出点P坐标，利用数量积的坐标运算结合三角恒等变换即可求解．
【详解】在中，由，可得，
根据，得，，
以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，则，
设为平面内满足的点，
则有，，
则，
由于P在单位圆上，可设，，
则，
故的取值范围为
故选:A
第二部分（非选择题 共105分）
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】应用向量数量积、模长的坐标运算，结合投影向量的定义求坐标即可.
【详解】由题设，
所以在方向上的投影向量的坐标为.
故答案为：
11．已知复数，，其中为虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解．
【详解】由复数三角形式乘法法则得到:.
故答案为：.
12．在中，，则 ；若的内切圆的半径为，则的周长为 ．
【答案】
【分析】由正弦定理即可求出；设的面积为，周长为，内切圆的半径为，根据可求出，再根据余弦定理得到，联立即可求出，即可求出周长.
【详解】由正弦定理得，
设的面积为，周长为，内切圆的半径为，
所以，则，则，
即，
由余弦定理得，
联立，解得，
所以的周长为.
故答案为：；.
13．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）.
【答案】389
【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得.
【详解】由题意可知，，
设，在中，，所以，
同理在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以.
故紫峰大厦主体的高度约为米.
故答案为：
14．如图所示，中为重心，过点，，，则 ．

【答案】3
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论；
【详解】设
根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案为：3
15．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为 ；若，则的最小值为 .
【答案】 /0.5 2
【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，则
，
所以，解得，
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：；.
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14分）
已知复数（是虚数单位），.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解；
（2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围.
【详解】（1），
若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得.
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0，
即 ，，解得，即.
17．（15分）
已知向量；
（1）求；
（2）若，求的值；
（3）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据条件，利用向量的坐标运算和模长的计算公式，即可求解；
（2）根据向量平行列方程，由此求得，即可求解；
（3）利用向量数量积的坐标运算及模长公式，先求出，，，再根据向量夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为，则，
则．
（2），
则，
因为，所以，
即，解得．
（3）由题知，
则，又，
所以，
又，，
所以．
18．（15分）
在中，角所对的边分别是．已知．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出．
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
19．（15分）
已知函数.
（1）求的最大值以及取得最大值时自变量构成的集合；
（2）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点在线段上，且平分，若，且，求的面积.
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）利用二倍角及和差角的正弦公式将原式变形为，分析出当时，取到最大值，再求出此时所对应的值即可；
（2）先由条件求出角，再利用正弦定理得到边的关系①，再根据三角形的面积公式得到关于的另一个方程②，通过①②两个方程求出的值，即可求出的面积.
【详解】（1）因为，
所以当时，取到最大值，
此时，解得.
所以取得最大值时，自变量构成的集合.
（2）
因为，可得.
因为，，可得，解得.
由题可知.
设，则，
由正弦定理得，，
即，，解得①.
又，即，
化简得②. 由①②解得，.
所以的面积为.
20．（16分）
在中，角的对边分别为．已知，，．
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得；
（3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.