2025-2026学年高一数学下学期第一次月考01（广东专用，范围：人教A版平面向量+复数）

这是一份2025-2026学年高一数学下学期第一次月考01（广东专用，范围：人教A版平面向量+复数），共15页。试卷主要包含了测试范围，已知向量，，且，则，在中，其面积为1，的最小值为，下列结论正确的是，若，均为复数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版必修第二册第六章~第七章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等B．物理学中的重力是向量
C．若，，则D．长度相等的两个向量必相等
【答案】B
【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案
【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误；
B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确；
C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误；
D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误.
故选：B
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数的除法及共轭复数即可求解.
【详解】因为，
所以，所以的虚部为.
故选:A.
3．已知平面内的非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可.
【详解】因为，且，
若，则，可得，
所以，即充分性成立；
若，例如，则，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：C.
4．如图，在中，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】在中，，
，
又，，，
，
，.
故选：D.
5．已知向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求向量的模长及模长的平方，再根据向量垂直的条件得到数量积为零，展开数量积表达式，代入已知模长计算，最后解方程求出向量的数量积.
【详解】因为，，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
即，
则，解得：，
又因为，
且 ，，，则
.
故选：B.
6．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（ ）
A．米B．米C．米D．米
【答案】D
【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果.
【详解】在中，，，米，
在中，由正弦定理可得，所以，
又因为，
所以，解得米，
在中，，米，
所以米，
故选：D.
7．在中，其面积为1，的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】设，根据条件得出，再利用余弦定理可得，再结合辅助角公式和三角函数的值域求解.
【详解】设，则由题意可知，，，
则，
由余弦定理可得，
，
则，
即，其中，
则，得，
当时，，得，则，，
故的最小值为.
故选：D
8．对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量的新定义结合向量的数量积运算、三角函数的取值范围即可得的取值集合.
【详解】依题意，，而，，则，，
于是，显然存在，，则，
因此，即，则，
显然，即，
从而，因此，
又存在，使得，即，解得，则，
所以的取值集合为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．为平面内一定点，如，则三点共线且
B．非零向量满足，则与的夹角为锐角
C．已知是与平行的单位向量，则
D．平面内与动点满足，则点的轨迹必过的内心
【答案】AD
【分析】根据 且 与 有公共点 可判断A；根据已知条件及向量的数量积公式求得，得出，验证的情况可判断B;求出与 平行的单位向量 判断C；根据三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，可判断点 的轨迹是否过 的内心.
【详解】选项 A ：已知 ，则 , ，则 ，即 ；
因为 与 有公共点 ，所以 A 、 B 、 C 三点共线，故 A 选项正确；
选项 B ：根据向量的数量积公式 ，
当 时，即 ，因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
当 时， 与 同向，此时夹角不是锐角，故 B 选项错误；
选项 C ：已知 ，根据向量模长公式 ，可得 ；
与 平行的单位向量 ，即 ，
所以 或 ，故 C 选项错误；
选项 D ：因为 是与 同向的单位向量， 是与 同向的单位向量，
根据向量加法的平行四边形法则，以 和 为邻边的平行四边形是菱形，
所以 平分 ，
已知 ，则 与 的角平分线共线，
又因为 为公共点，
所以点 的轨迹必过 的内心，故 D 选项正确.
故选：AD
10．若，均为复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】根据复数的乘法运算法则以及模长公式可判断B正确，取特殊值可验证AD错误，由复数定义计算可得C正确.
【详解】对于A，若，不妨取，
此时，但不成立，即A错误；
对于B， 设，其中，
因此，
，
因此，即可得B正确；
对于C，由可得，此时，
因为，所以可得，即C正确；
对于D，不妨取，满足，此时不成立，即D错误.
故选：AC
11．窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．的最大值为
D．若函数，则函数的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可.
【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为，
，以为原点，分别为轴，设，
则，解得，
，
对于A，因为 ，，所以，故A正确；
对于B，，
在方向上的投影向量为，故B错误；
对于C，设中点为，
，所以取最大即取最大，
由题知，当 在点或点处时，取最大，
此时，，
，
所以，故C正确；
对于D，设 ，，
所以当时，取的最小值，
根据题意，，所以在延长线上，
又，则，
所以，故D正确；
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为向量，，，
所以，，
因为与共线，
所以，解得．
故答案为：
13．已知向量与的夹角是，且 ，则向量在向量上的投影向量是
【答案】
【分析】先求出，再利用投影向量公式求解即可.
【详解】由题意，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
14．在中，，，若角B有两个解，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】法一：利用正弦定理得到，再根据有两个解，即可得到且，从而得到，即可求出的取值范围；法二：作出图形，结合图形可得出角有两个解时，满足的不等式，进而可求得的取值范围.
【详解】法一：由正弦定理，则，因为角有两个解，又，所以且，所以，
即，解得，即.
法二：在中，，，如下图所示：

若使得角有两个解，则，即.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数（是虚数单位），.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
【详解】（1），
若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得.
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0，
即 ，，解得，即.
16．（15分）已知向量，.
(1)求；
(2)已知，且，求向量与向量的夹角.
【详解】（1）由题知，，，
所以，
所以.
（2）由题知，，，
设向量与向量的夹角为，
所以，即，
解得，因为，所以
所以向量与向量的夹角为.
17．（15分）已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
【详解】（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
18．（17分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
得到，即，
又，，所以，
又因为，可得.
（2）因为，且，
所以由，可得，解得，
由题意，
两边平方，可得，
因为，所以，解得或（舍），
则的面积为.
（3）因为
，
由题知，，解得，
因为，
所以，可得，
可得，
所以．
19．（17分）如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.
(1)求证：；
(2)设，，，，求的值；
(3)如果是边长为的等边三角形，求的取值范围.
19．（17分）【详解】（1）证明：因，所以，又因为的中点，所以，所以.
（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.
（3）设，，，，由（1）（2）可知，，即.
因，，
所以
，
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以.
因此，
又因，所以，所以.