2026届高三数学二轮专题复习课件第1篇专题2第2讲

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专题二　三角函数及解三角形
第2讲　三角恒等变换与解三角形
三角恒等变换和利用正弦定理、余弦定理解三角形问题是高考的必考内容．1．三角恒等变换主要考查：①两角和与差的正弦、余弦、正切公式；②二倍角公式、半角公式的应用；③辅助角公式的应用．2．解三角形问题主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．
1．(2024·新课标全国Ⅰ卷) 已知cs(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cs(α－β)＝(　　)
【答案】A【解析】因为cs(α＋β)＝m，所以cs αcs β－sin αsin β＝m，而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cs αcs β，故cs αcs β－2cs αcs β＝m即cs αcs β＝－m，从而sin αsin β＝－2m，故cs(α－β)＝－3m.故选A．
方法三：结合射影定理(方法一改进)
方法四：和差化积(方法一改进)
A．45° B．60° C．120° D．135°【答案】　A
A．tan(α－β)＝1 B．tan(α＋β)＝1C．tan(α－β)＝－1 D．tan(α＋β)＝－1【答案】　C【解析】　由已知得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2(cs α－sin α)sin β，即sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1.故选C.
6．(2025·北京高考)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α＋β)＝sin(α－β)，cs(α＋β)≠cs(α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________.
【解析】　设CD＝2BD＝2m>0，则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·ADcs∠ADB＝m2＋4＋2m，在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·ADcs∠ADC＝4m2＋4－4m，
●核心知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β(2)sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcs α(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
【答案】　(1)D　(2)A　(3)A　(4)A
A．1 B．2 C．3 D．4【答案】　B
正弦定理、余弦定理的应用
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A；b2＝c2＋a2－2cacs B；c2＝a2＋b2－2abcs C变形：
●方法技巧利用正、余弦定理解三角形的解题方法：(1)涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化角，涉及边的平方式，一般用余弦定理．(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形．(4)解决实际问题时，首先要把实际问题转化为解三角形问题，再利用正余弦定理解决．
A．c＝3a B．c＝2a C．a＝2c D．a＝c【答案】　(1)C　(2)B　(3)D　(4)D
●跟踪训练3．(2025·枣庄校级二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c2＋9＝a2＋3c，则A＝(　　)
恒等变换与解三角形的综合问题
●方法技巧1．解三角形与向量的综合题时，一般通过向量的运算把向量问题转化为三角函数或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决．2．处理解三角形和数列问题，要充分利用三角形中的边角关系及正、余弦定理．
●典例研析3．(1)(2025·浙江模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，atan B＋atan A＝－2ctan A，则B＝(　　)
(2)(2025·咸阳三模)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，a＋b＝cs A＋csB，则该三角形的外接圆的面积为(　　)
【答案】　(1)B　(2)B　(3)A
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·昆明模拟)在△ABC中，已知AC＝5，AB＝3，BC＝7，AD是BC边上的中线，则AD＝(　　)
A．176 B．88 C．44 D．22【答案】　B
4．(2025·江西模拟)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)A．a＝72，b＝50，A＝135°B．a＝20，b＝40，A＝31°D．a＝8，b＝14，A＝30°【答案】　D
6．(2024·安徽模拟)已知△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，满足asin A＋c(sin A＋sin C)＝2sin B，若b＝2，则△ABC面积的最大值为(　　)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．(2025·江城区校级三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　)A．若B＞C，则b＞cB．sin(A＋C)＝sin BC．若b2＋c2＞a2，则△ABC是锐角三角形D．若b2＋c2＜a2，则△ABC是钝角三角形【答案】　ABD
11．(2025·四川模拟)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则(　　)A．△ABC的周长为12【答案】　ABD
【解析】　根据题意，连接AC，在△ADC中，AD＝1，DC＝2，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcs D＝1＋4－2×1×2cs D＝5－4cs D，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs B＝4＋9－2×2×3cs B＝13－12cs B，所以5－4cs D＝13
14．(2025·思明区校级模拟)锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，满足a2＝b(b＋c)，a＋b＝3，则△ABC的周长的取值范围为________.