2026届高三数学二轮专题复习课件第1篇专题2第3讲

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专题二　三角函数及解三角形
第3讲　三角函数与解三角形
1．在高考解答题中，三角函数、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理的综合问题是必考题型．2．考查方式多以解三角形为主体，以三角恒等变换作为工具，计算三角形的基本量，也有可能将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题．
(1)求A的值；(2)求c的值；(3)求sin(A＋2B)的值．
(2)如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD，
5．(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B．(1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高．
9．(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；
【解析】　(1)证明：因为sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin Csin Acs B－sin Csin Bcs A＝sin Bsin Ccs A－sin Bsin Acs C，
故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，所以b＋c＝9，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.
三角函数图象与性质的综合问题
●方法技巧解决三角形中的最值问题或者范围问题一般是两种思路：一是利用正余弦定理的边角关系转化为三角函数，利用三角恒等变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再根据角的范围求得最值或范围；二是寻求边角关系，利用基本不等式求得最值或范围．
利用正弦定理、余弦定理解三角形
●方法技巧利用正弦定理、余弦定理求解三角形基本量的方法
提醒：平面几何图形中研究长度、角度、面积等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．
②因为2b＝a＋c，所以4b2＝a2＋c2＋2ac，由余弦定理可得a2＋c2－2accs B＝b2，可得4b2＝b2＋2accs B＋2ac，即2ac(1＋cs B)＝3b2＝3，
●跟踪训练2．(2025·河西区二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs C＋ccs A＝－3bcsB．(1)求cs B的值；①求sin A的值；②求sin(3A＋2B＋C)的值．
acs C＋ccs A＝－3bcs B，所以sin Acs C＋sin Ccs A＝－3sin Bcs B，即sin(A＋C)＝sin B＝－3sin Bcs B，
●方法技巧1．与解三角形有关的“结构不良”问题的特点及解题策略(1)特点：所给的可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．(2)解题策略：一般来说，所选择的条件并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，最好是能结合已知条件及其推出的结论恰当选择．2．三角形中求最值与范围问题的两种解法(1)利用基本不等式求得最大值或最小值．(2)将所求式子转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式子的范围．
提醒：解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围时，要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．
三角函数与解三角形的实际问题
●方法技巧三角函数背景下的数学建模问题，常以实际生活中的测量问题、航海问题、规划线路问题等为背景，考查利用数学模型解决实际问题的能力．求解实际问题中的解三角形问题，关键是对数据的采集与利用，将数据标注在相应平面图形中是准确将问题归类，建立解决问题的数学模型的有效措施．
(2)在(1)的条件下，求折线赛道AED的最长值(即AE＋ED最大)．(结果保留根号)
整理得5AD2－36AD－140＝0，解得AD＝10(km)(负值舍去)．所以服务通道AD的长为10千米．
(2)在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2＋ED2－2AE·ED·cs∠AED，
●跟踪训练4. (2025·杨浦区校级模拟)某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示)．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)(1)设∠BAC＝θ(弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数S(θ)；(2)试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．
【解析】　(1)由题意，AC＝100cs θ，直径AB为100米，
解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1．(2025·沧州二模)如图，点P(3，－4)是角α终边上一点．(1)求sin α，cs α，tan α；
(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，即7＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，因为a＋b＝5，所以7＝25－3ab，所以ab＝6，
(1)求A；(2)若△ABC外接圆的面积为2π，求△ABC面积的最大值．
5．(2025·普陀区校级三模)设函数f(x)＝a·(b＋c)，其中向量a＝(sin x，－cs x)，b＝(sin x，－3cs x)，c＝(－cs x，sin x)，x∈R.(1)求函数f(x)的最大值及相应x的值；(2)将函数f(x)的图象按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.
【解析】　(1)由于a＝(sin x，－cs x)，b＝(sin x，－3cs x)，c＝(－cs x，sin x)，所以f(x)＝sin x(sin x－cs x)＋cs x(3cs x－sin x)，＝sin2x＋3cs2x－sin 2x，
(2)设d＝(u，v)则平移后的函数为
7．(2025·河南模拟)如图是商丘永城市城市之星的宴会中心和玉玺酒店，它们以独特的造型吸引了大批游客，尤其是玉玺酒店外形酷似玉米，被居民们亲切的称为“永城玉米楼”．
【解析】　已知两楼底部B，D在水平地面上，且AB，CD均垂直于水平地面，若BD＝60 m，过M作MN⊥AB于N，如图所示：由题意可知四边形MDBN为矩形，在Rt△MBN中，∠NMB＝30°，MN＝BD＝60 m，
(1)证明：AB＝CD；(2)证明：sin α＝sin β；
【解析】　(1)证明：设OB＝x，则OD＝2－x.在△OAB中，由余弦定理得，
由(1)知AB＝CD，又AO＝CO，所以sin α＝sin β.(3)由(2)知sin α＝sin β，若α＝β，则△ABO≌△CDO，得BO＝DO，与已知矛盾，若α＋β＝π，