2026届高三数学二轮专题复习课件第3篇第3讲

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第3讲　创新情境与数学文化
1．(2025·新高考全国Ⅰ卷)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如右图(风速的大小和向量的大小相同)，单位(m/s)，则真风为(　　)
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风【答案】　A
A．(0,0,0)∈Ω B．(－1,0,0)∈Ω C．(0,1,0)∈Ω D．(0,0，－1)∈Ω【答案】　C
A．存在f(x)是偶函数 B．存在f(x)在x＝2处取最大值 C．存在f(x)是严格增函数 D．存在f(x)在x＝－1处取到极小值【答案】　B
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
6．(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
【答案】　{q|q≥2}
【解析】　由题设有an＝a1qn－1，因为a1>0，q>1，故an＋1>an，故[an，an＋1]＝[a1qn－1，a1qn]，当n＝1时，x，y∈[a1，a2]，故x－y∈[a1－a2，a2－a1]，此时I1为闭区间，当n≥2时，不妨设x≥y，若x，y∈[a1，a2]，则x－y∈[0，a2－a1]，若y∈[a1，a2]，x∈[an，an＋1]，则x－y∈[an
●解法技巧1．创新型数学问题从形式上看很“新”，其提供的观察材料和需要思考的问题异于常规试题，需要考生具有灵活、创新的思维能力，善于进行发散性、求异性思考，寻找对材料内涵的解释和解决问题的办法．此类问题考查的内容都在考纲要求的范围之内，即使再新，也是在考生“力所能及”的范围内．只要拥有扎实的数学基础知识，以良好的心态坦然面对新情境，便可轻松破解！
2．数学文化题一般是从中华优秀传统文化中挖掘素材，将数学文化与高中数学知识有机结合，要求考生对试题所提供的数学文化信息材料进行整理和分析，在试题营造的数学文化氛围中，感受数学的思维方式，体验数学的理性精神．
(2)(2025·河南模拟)“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】　(1)D　(2)C
(2)由其身正，不令而行，可知身正可得令行一定成立，故“身正”是“令行”的充分条件；其身不正，虽令不从，可知令行一定有身正成立，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件．故选C.
A．[3,4) B．[3，＋∞) C．[2,4) D．[4，＋∞)
【答案】　(1)B　(2)A
●典例研析3．(1)(2025·山西模拟)汉诺塔是一个经典的数学益智游戏，它主要由三根柱子(通常标记为甲、乙、丙)和若干个大小不同的圆盘组成．游戏规则是把甲柱上的圆盘全部移到丙柱，一次移一个且大圆盘不能放在小圆盘上．记把n个圆盘从甲柱上全部移到丙柱的最少次数为an，根据游戏规则知an＋1＝2an＋1，若an＝127，则圆盘的个数n＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8
(2)(2025·保山校级模拟)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n－1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，…，则此数列的前35项和为(　　) A．994 B．995C．1 003 D．1 004
【答案】　(1)C　(2)B【解析】　(1)由题意可知a1＝1，由an＋1＝2an＋1⇒an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＋1＝2，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＋1＝2n，解得an＝2n－1，令2n－1＝127，解得n＝7.故选C.
●典例研析4．(1)(2025·城阳区校级一模)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙aC．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 D．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
【答案】　(1)B　(2)D【解析】　(1)∵a＝(m，n)，b＝(p，q)，a⊙b＝mq－np，若a与b共线，则有mq－np＝0，即a⊙b＝0，故A正确；由于a⊙b＝mq－np，∴b⊙a＝np－mq，∴a⊙b＝－(b⊙a)，故B不正确；由于(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故C正确；由于λ为实数，(λa)⊙b＝λmq－λnp，λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，∴(λa)⊙b＝λ(a⊙b)，故D正确．故选B.
●典例研析5．(1)(2025·大通县三模)如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB＝10，A1B1＝6，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的一半时，水的体积为74，则该方斗杯可盛水的总体积为(　　)
(2)(2025·丰台区校级模拟)艺术家埃舍尔的作品展示了数学之美，如图1是其作品《星空》中的一部分，由正方体和正八面体相互交叉形成的组合体，可抽象为图2所示的图形．若正八面体的棱长均为2，且相交处均为棱中点，则两个几何体相交后公共部分形成的几何体的体积是(　　)
【答案】　(1)D　(2)B
A．y＝x2 B．y＝－x2 C．y＝x3－3x D．y＝－x3＋3x
注：f″(x)表示f(x)的2阶导数，即为f′(x)的导数，f(n)(x)(n≥3)表示f(x)的n阶导数，即为f(n－1)(x)(n≥3)的导数．n！表示n的阶乘，即n！＝1×2×3×…×n.A．0.85 B．0.88 C．0.91 D．0.95
【答案】　(1)C　(2)C【解析】　(1)f′(x)＝ex－ex＋2(x－1)，知f′(1)＝0，令f′(x)＝0得ex＝(e－2)x＋2.由图知存在x0＜0，当x∈(－∞，x0)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(x0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
y＝x3－3x，y′＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，与f(x)一样，从左向右看先有极大值，再有极小值，符合题意．故选C.
●典例研析7．(1)(2025·武功县校级模拟)由诺贝尔自然科学奖的历史数据表明，交叉学科是自然科技领域的重要发展趋势之一，跨学科研究也成为推动科学进步的关键力量．如图是连续5年我国交叉学科的建设情况统计图，则下列关于这5年我国交叉学科建设情况的说法正确的是(　　)
A．交叉学科总数的第75百分位数为616B．交叉学科高校数的平均数为186.8C．交叉学科高校数的极差为78D．每年的交叉学科总数与交叉学科高校数的差值越来越小
(2)(2025·广东校级二模)马林·梅森(MarinMersenne,1588—1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p－1作了大量的计算、验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2p－1(其中p是素数)的素数，称为梅森素数．在不超过40的素数中，随机选取两个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是(　　)
【答案】　(1)C　(2)A
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了i2＝－1,17世纪法国数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用a＋bi(a、b∈R)表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程z2＋2z＋5＝0，则z＝(　　)A．－1＋2i B．－2－i C．－1±2i D．－2±i【答案】　(1)B　(2)C
●典例研析9．(1)《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为(　　)
A．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
(2)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
【答案】　(1)C　(2)D
【答案】　(1)D　(2)C
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·湖南模拟)在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】　B【解析】　根据题意，若甲的生肖不是马，则甲的生肖可以为其他“六畜”，如牛，则甲的生肖未必不属于六畜；反之，若甲的生肖不属于六畜，则甲的生肖一定不是马，所以“甲的生肖不是马”是“甲的生肖不属于六畜”的必要不充分条件．故选B.
2．(2025·南昌校级模拟)高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有(　　)A．16人 B．18人C．20人 D．24人【答案】　A【解析】　设集合A＝{高三1班读过《牡丹亭》的学生}，其元素个数记为card(A)；集合B＝{高三1班读过《醒世恒言》的学生}，其元素个数记为card(B)；则card(A)＝12，card(B)＝8，card(A∩B)＝4，则card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)＝12＋8－4＝16.故选A．
A．额 B．呃C．扼 D．轭【答案】　D【解析】　由共轭复数的定义可得．故选D.
5．(2025·随州三模)某大学共有12 000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1 000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(注同一组数据用该组区间的中点值作为代表)(　　)A．中位数为6B．众数为10C．平均数为6.88D．该校读书不低于8本的人数约为3 600人【答案】　C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·四川校级模拟)为弘扬中华优秀传统文化，树立正确的价值导向，落实立德树人的根本任务，某校组织全体高一年级学生进行古典诗词知识测试，从中随机抽取100名学生，记录他们的分数，整理得到频率分布直方图如图(各组区间除最后一组为闭区间外，其余各组均为左闭右开区间)，则以下说法正确的是(　　)
A．a＝0.025B．估计此次测试学生分数的众数为95C．估计此次测试学生分数的中位数为90D．估计此次测试学生分数的下四分位数为85【答案】　ABD【解析】　由10×(0.006＋0.009＋0.02＋0.032＋a＋0.008)＝1得a＝0.025，故A正确；因众数是最高矩形的底边中点的横坐标，故众数是95，故B正确；由于90左边的频率是0.35，中位数不可能为90，故C错误；由第25百分位数就是下四分位数，根据直方图，易知85左边的频率是0.25，故D正确．故选ABD.
10．欧拉公式exi＝cs x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，则(　　)
13．(2025·浦东新区模拟)浦东某学校有学生2 000人，为了加强学生的锻炼意识，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只能参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如表所示：
14．(2025·内乡县校级二模)对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆．则曲线x4＋y4－x2y2－x2－y2＝0的最小覆盖圆的半径为________.【答案】　2