数学人教A版 (2019)函数的概念及其表示教案

这是一份数学人教A版 (2019)函数的概念及其表示教案，共5页。教案主要包含了创设情境，激发认知冲突，探究新知，分析实例共同要素，分析要素关系 概括函数概念，例题分析，理解函数要素，归纳小结，提炼升华等内容，欢迎下载使用。
函数的概念
课时教学目标
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，通过实例，归纳出函数的共性，进而抽象出函数的本质属性，及函数的三要素，体会引入抽象符号f的必要性，建立完整的函数概念，发展函数抽象素养.
2.能说出构成函数的要素，判断两个函数是否是相等函数，求简单函数的定义域，进一步理解函数符号f(x)及函数的概念.
3.能说出初高中函数定义的区别和联系.
教学重点与难点
教学重点：体会函数是描绘变量之间依赖关系的, 正确理解函数的概念.
教学难点：函数的概念及符号f(x)的理解.
教学过程设计
一、创设情境，激发认知冲突
在初中学习中，函数是如何定义的？依据初中函数的定义，请思考y=x2x与y=x是同一个函数吗？y=1是函数？
【设计意图】复习回顾初中函数的概念，同时体会到进一步研究函数概念的必要性.初中是运动变化的角度，用两个变量间的依赖关系来描述函数，对于“y=1是函数？”和“y=x2x与y=x是同一个函数吗？”学生没有任何经验，初中学习的是三类具体函数，很多学生对此无法下手.通过这些问题引发学生的认知冲突，引入研究对象.
二、探究新知，分析实例共同要素
情境1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程(单位：km)与运行时间：(单位:h)的关系可以表示为.
问题1.1：这个关系式是函数吗？为什么？
问题1.2：有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350km”，你认为这个说法正确吗?
问题1.3：列车运行时间t的取值范围如何表示？S的取值范围呢？S与t之间是如何对应的？
情境2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天， 至多不超过6天，如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资.
问题2.1：一个工人的工资(单位：元)是他工作天数的函数吗?为什么？
问题2.2：设某人的工作天数为，工资为(单位：元)，你如何表示一个工人每周的工资?
问题3.2：工作天数d的取值范围如何表示？w的取值范围呢？w与d之间是如何对应的？
情境 3：图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指(Air Quality Index,简称AQI)变化图.
问题3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数(AQD)的值？你认为这里的是的函数吗？
问题3.2：你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？
问题3.3：请仿照前面的方法，描述T与t之间的对应关系.
情境4：国际上常用恩格尔系数 ()反映出一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.

问题4.1：你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数是年份的函数吗?如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数?
问题4.2：如何知道该居民某一年的恩格尔系数？
问题4.3：请仿照前面的方法，描述r与y之间的对应关系.
【设计意图】分析四种情景的共同要素，完成抽象的第一步，感受不同情境中的变量及其对应关系.
三、分析要素关系 概括函数概念
问题5：根据上面的分析，进行归纳概括.
问题5.1：抛开实际背景，上述四个实例中的函数都有哪些共同特征？
问题5.2：由此能否概括出函数概念的本质特征？
问题5.3：尝试利用“集合语言”和“对应关系”给函数下定义.
预设：学生下定义出现困难时，（1）先用口头语言描述函数的三要素，再进行符号化表达；（2）回顾已学习的函数概念，体会定义的一般结构，如初中函数概念，先描述大背景条件，指明两个要素之间的对应关系，最后给出定义名称.
函数概念：
一般地，给定两个非空的实数集与，以及对应关系，如果对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，则称为为定义在集合上的一个函数，记作
其中，称为自变量，称为因变量，自变量取值的范围（即数集）叫做函数的定义域；所有函数值组成的集合称为函数的值域.
【设计意图】这个过程是数学抽象的符号阶段，学生经历了分类与识别、分析与建构、归纳与概括的过程.
问题5.4：今天学习的函数概念和初中函数概念的区别和联系是什么？
问题5.5：请分析函数y=x(10-x)的定义域、对应关系、值域.
问题5.6：再次思考引入中的问题.
【设计意图】利用新知识再次解释学生熟悉的三类函数，进一步理解函数的三要素.通过与初中函数概念的对比分析，让学生体会函数概念的两个抽象层次，初中函数的“变量-对应”说，与运动变化背景紧密相连，比较形象、直观、高中函数“集合-对应”说，抽象为两个实数集元素之间的对应关系，更聚焦函数的本质特征,拓展了函数的研究视野和应用的范围.
四、例题分析，理解函数要素
例1:判断下列各组函数是否为同一函数.
(1)f(x)=x2x,g(x)=x;
(2)f(x)=x4−1x2+1,g(x)=x2−1;
(3)f(x)=x2,g(x)=x.
问题6.1:归纳确定函数的要素是哪几项？
问题6.2：你喜欢用f(x)表示函数，还是喜欢用y表示函数？说明理由.
预设：
（1）y=ax2+bx+c （a≠0），一般还要标明a，b，c为常数，是为了突显自变量是x! 若f(x)=ax2+bx+c（a≠0）清楚明了的表达了谁是自变量！
（2）初中求当x=2时y的值？ 现在可以表示为f(2),简洁清晰。
说明：
1.f代表含义functin：
2.对应关系也可以用其他小写字母表示，例如g, h等.
【设计意图】进一步加深对函数定义的理解，理解并掌握判断两个函数相等的程序。认识函数概念的整体性，即定义域、值域、对应关系虽是函数的三个部分，但却是一个整体.加深学生对函数号的理解，从而突破难点.
五、归纳小结，提炼升华
请同学们回顾本节课的学习过程，并回答以下问题：
1.抽象函数概念的过程？
2.定义函数概念的方法？
3.高中函数概念的优势？
【设计意图】让学生养成归纳总结的习惯，梳理学习内容和学习过程，更加明确函数的抽象过程.
目标检测设计
1．求下列函数的定义域
（1）； （2）
2.设函数的值域为S,分别判断和3是否是S中的元素.