人教A版 (2019)必修 第一册集合的概念同步测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册集合的概念同步测试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若集合，则集合中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知集合A中只含1，a2两个元素，则实数a不能取（ ）
A．1B．-1C．-1和1D．0
3．设整数,集合.令集合 若和都在中,则下列选项正确的是
A．,B．,
C．,D．,
4．下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．参加杭州亚运会的全体乒乓球选手B．小于5的正整数
C．2023年高考数学难题D．所有无理数
5．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
6．下列各组对象可构成一个集合的是（ ）
A．与10非常接近的数B．本班视力差的女生
C．中国漂亮的工艺品D．我校学生中的女生
7．集合中的元素个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．设集合，集合且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（ ）
A．若m=1，则B．若，则≤n≤1
C．若，则D．若n=1，则
10．若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．6D．2
11．下列说法错误的是
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为
B．方程的解集为
C．集合与是同一个集合
D．若，则
12．若，则有（ ）
A．B．
C．D．函数的最大值为－2
三、填空题
13．已知集合，则集合中元素的个数是 .
14．对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下：
①当，奇偶性相同时，；
②当，奇偶性不同时，．
若集合，则的元素个数为 ．
15．已知集合，，若且，则 ．
16．用列举法表示集合＝
四、解答题
17．集合可化简为
以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由.
学生甲：由得或，故；
学生乙：问题转化为求直线与抛物线的交点，得到.
18．若集合具有以下性质：
①；
②若，则，且时，.
则称集合是“好集”.
(1)分别判断集合，有理数集是否是“好集”，直接写出结论；
(2)设集合是“好集”，求证：若，则；
(3)设集合是“好集”，求证：若，则；
19．已知集合中的元素都是正整数，对任意，定义.若存在正整数k，使得对任意，都有，则称集合S具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合S具有性质，求证：
①；
②.
参考答案：
1．C
【分析】根据条件，直接写出集合，即可得到结果.
【详解】由，即，
所以集合中的元素个数为5个，
故选：C.
2．C
【分析】根据集合中元素的互异性即可得答案.
【详解】由集合元素的互异性知，a2≠1，即.
故选：C
【点睛】本题考查元素的互异性，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
3．B
【详解】特殊值法,不妨令,,则,,故选B．
如果利用直接法:因为，，所以…①，…②，…③三个式子中恰有一个成立；…④，…⑤，…⑥三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时，于是，；第二种：①⑥成立，此时，于是，；第三种：②④成立，此时，于是，；第四种：③④成立，此时，于是，.综合上述四种情况，可得，.
【考点定位】新定义的集合问题
4．C
【分析】根据集合的意义，逐项判断即可.
【详解】对于A，参加杭州亚运会的全体乒乓球选手明确可知，可以构成集合；
对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合；
对于C，2023年高考数学难题模棱两可，给定一个2023年高考数学题不能判断其是否是难题，不能构成集合；
对于D，无理数明确可知，可以构成集合.
故选：C
5．D
【分析】由集合元素的互异性可得解.
【详解】根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.
故选：D.
6．D
【分析】根据集合的性质判断即可.
【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.
故选：D
7．B
【解析】表示出集合A中的元素，即可得出个数.
【详解】，
集合A中有2个元素.
故选：B.
【点睛】本题考查集合元素个数的求解，属于简单题.
8．C
【解析】对A中元素进行讨论，若满足且则此元素是B集合中的元素.
【详解】集合，集合，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得.
综上.
故选：C
【点睛】本题考查集合的含义与表示，属于基础题.
9．BC
【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可
【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.
∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；
同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： .
对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；
对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；
对于C: 若，有，解得：，故C正确；
对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解.
10．AC
【分析】由集合中元素的互异性列式即可求得结果.
【详解】由题意知，，解得且且，
故选：AC.
11．BCD
【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．
【详解】对于：因为等价于或，
如果，则点在第一象限，如果，则点在第三象限，
所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为，故正确；
对于：由于方程的解集等价于，解得，
故解集为，故错误；
对于C：集合表示的函数值的取值范围，是数集，
集合表示抛物线的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；
对于：因为，则，故错误，
故选：BCD．
12．BCD
【分析】根据实数的非负性，绝对值，偶次方都是非负数，得出，解方程组得a、b、c的值，对选项A、B、C逐一判断，利用二次函数求最值判D选项.
【详解】由，可得，
解得，
所以，故A错；
由，而，当，时，，
所以，故B对；
，故C对；
，当时，函数的最大值为－2，
故D对；
故选：BCD
13．5
【分析】分别给进行取值，可计算求得中元素，进而确定集合，得到结果.
【详解】当或或时，
当，或时，或 ，
当，或时，或 ，
当，或时，或 ，
综上所述：，共个元素
故答案为：
【点睛】本题考查集合中元素个数的求解问题，关键是能够读懂描述法所表示的集合的含义，进而根据要求求得集合.
14．
【分析】根据定义结合已知条件，对、分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解
【详解】因为，
当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素；
当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素；
当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素；
所以的元素共有个.
故答案为：
15．
【分析】直接根据确定可能的取值，由去掉不能取的值即可求解.
【详解】因为，，所以可能的取值为，
因为，，所以的值不能取，
所以，
故答案为：.
16．{﹣3，﹣6，6，3，2，1}
【分析】根据x∈N，且，列举求解.
【详解】因为x∈N，且：
当x＝0时，；
x＝1时，；
x＝3时，；
x＝4时，；
x＝5时，；
x＝8时，；
∴A＝{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．
故答案为：{﹣3，﹣6，6，3，2，1}．
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.
17．甲正确
【分析】先解方程组得解集，再根据集合代表元素得应为数集，不是点集，即可得出结果.
【详解】同学甲正确，同学乙错误.
由于集合的代表元素为，因此满足条件的元素只能为和；而不是实数对，，
故同学甲正确.
18．(1)B不是“好集”；是“好集”
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义，判断集合B和有理数集是否是“好集”；
（2）由，若，则，从而得出；
（3）任取，若或时，显然；且时，有，则，得，有，即.
【详解】（1）B不是“好集”, 理由是：
，，而，∴B不是“好集”；
是“好集”， 理由是：，；对任意，，有，
且时，，∴有理数集Q是“好集”.
（2）因为集合是“好集”，所以.
若，则，即.
所以，即.
（3）对任意一个“好集”，任取，
若或时，显然.
且时，由定义可知：.
所以，即.
所以.
由（2）可得：，即.
19．（1）集合具有性质，集合不具有性质；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】（1）根据定义，任意，都有，对集合A和B进行计算即可；
（2）不妨设，
（i）由得，，所以，再结合新定义即可得解，
（ii）由（i）可知，对任意，都有
，
所以，所以，因为对任意，，所以，所以，即，再利用反证法即可得解.
【详解】（1）集合具有性质，
集合不具有性质.
（2）证明：不妨设.
（i）由得.
对任意，有，
因为，
所以.
所以对任意，都有，所以.
又因为
，
所以.
（ii）由（i）可知，对任意，都有
，
所以，所以.
因为对任意，，所以，所以，
即，.
若，则当时，，矛盾.所以.
又因为是正整数，所以.
【点睛】本题考查了关于集合的新定义，考查了对新定义的理解和运算，考查了放缩法和反正法等数学方法，要求较高的计算能力和思维推理能力，属于较难题.