高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征表格教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征表格教学设计及反思，共6页。教案主要包含了情境导入，新知探究，新知运用，课堂小结，课后作业，教学反思，课堂板书等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
高二
学期
秋季
课题
7.3离散型随机变量数字特征（第2课时）
教科书
书 名：选择性必修三教材
出版社：人民教育出版社 .3月
教学目标
1.正确认知离散型随机变量均值.
2.理解并掌握离散型随机变量的方差,并解决实际问题.
教学内容
教学重点：
1.离散型随机变量方差的意义.
2.离散型随机变量方差的性质，应用.
教学难点：
1.对离散型随机变量均值意义的理解.
教学过程
温故知新
上节课，我们学习了随机变量的均值，均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时候两个随机变量的均值相同，其取值却存在较大的差异.如何研究这种差异呢？
二、情境导入
问题2 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表所示．
X
6
7
8
9
10
P
0.09
0.24
0.32
0.28
0.07
Y
6
7
8
9
10
P
0.07
0.22
0.38
0.30
0.03
思考：如何评价这两名同学的射击水平？
【师生活动】教师提出探究问题，引导学生分析.
师：能不能用我们上一节课学习的均值分析这一问题？同学们尝试一下.
学生运算求解，求出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的均值.
通过计算可得，，．
因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平．
追问1：平均水平相同，是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢？我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢？
评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．图7.3-2和图7.3-3分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定．
追问2：从图中你能发现什么？
发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
追问3：上面的结论我们是通过观察概率分布图直观得到的，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
【设计意图】通过具体的问题情境，让学生积极思考、参与互动，从而引入离散型随机变量的方差的概念，发展学生的逻辑推理、数学运算和数学抽象核心素养.通过问题1、问题2,为引入离散型随机变量的方差的概念作准备.
三、新知探究
设离散型随机变量X的分布列如表所示．
…
…
考虑所有可能取值与的偏差的平方，，……，．因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度．我们称
为随机变量的方差，并称为随机变量的标准差，记为．
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．
【设计意图】让学生经历离散型随机变量的方差概念的建构过程，进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、类比等合情推理的能力，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养.
现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
，；
，．
因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定．
在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化．
．
【设计意图】让学生利用方差和标准差的定义求解提出的问题，学以致用，提高学生的应用意识.
思考：方差的计算可以简化吗？
方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质．
四、新知运用
例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差．
解：随机变量的分布列为
．
因为
，．
所以
．
例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示．
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
收益
X/元
-1
0
2
收益
Y/元
0
1
2
概率
0.1
0.3
0.6
概率
0.3
0.4
0.3
（1）投资哪种股票的期望收益大？
（2）投资哪种股票的风险较高？
【师生活动】教师提问：你能用我们所学的知识分析、解决这一生活中的实际问题吗？
教师可以引导分析第(2)问，我们如何衡量投资风险的高低？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值．投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为
，．
因为，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
，．
因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B风险高．
在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小．
【设计意图】例6是综合利用均值和方差比较投资两种股票收益的问题，目的是使学生了解在实际问题中均值和方差的意义.在这个问题中，均值表示平均收益，方差表示风险(不确定性).在教学中，可以提供更多不同背景的实际问题，帮助学生了解均值、方差的意义.
探究：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？
离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即
而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即
一般地，可以证明下面的结论成立：
【设计意图】类比均值的性质，推导得出方差的性质.根据学生的情况，教师可以引导学生用方差的定义证明这一结论，提高学生的逻辑推理核心素养.
五、课堂小结
1.离散型随机变量取值的方差
并称为随机变量的标准差，记为σ（X） .
2.方差和标准差度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.

六、课后作业
1.基础题 教材70页练习第1、2、3题
2.提高 教材71页习题7.3第5题
七、教学反思
1．本节课在情境创设，问题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值．通比较射击成绩问题，引发学生思考，逐步引导学生，使学生理解为什么我们学习方差。
2．本节课在实际教学的过程之中，面对决策性问题，根据实际情况做出适合当下的判断.
八、课堂板书
§7.3.2 离散型随机变量的方差
一、新知导入 三、例题讲解
二、新知讲解 四、课堂练习
1.离散型随机变量的方差 五、课堂总结
2.方差在实际问题中运用 六、作业布置