高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的应用复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的应用复习练习题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在 ΔABC 中，若 ∠A=60∘ ， AC=3 ， BC 边上的中线长为 132 ，则 sinB= （）
A. 2114 B. −714 C. 32114 D. 7
2.海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮北偏东 75∘ , 距离为 126 海里处; 在 A 处看灯塔 C , 在货轮的北偏西 30∘ , 距离为 83 海里处; 货轮由 A 处向正北航行到 D 处时看灯塔 B 在北偏东 120∘ , 则灯塔 C 与 D 处之间的距离为 ( )
A. 63 B. 47 C. 83 D. 12
3.在 ΔABC 中， C=π6 ， CA 边上的高等于 32CA ，则 sinB= （ ）
A. 32 B. 12 C. 33 D. 13
4.在 ΔABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2,∠C=2π3 ， CD 是 ∠C 的角平分线，且 CD=1 ，则 AB= （）
A. 23 B. 3 C. 2 D. 1
5.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 AB ，高为 153−1m ，在它们之间的地面上的点 M(B,M,D 三点共线）处测得楼顶 A ，教堂顶 C 的仰角分别是 15∘ 和 60∘ ，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30∘ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）
A. 20 m B. 30 m C. 203 m D. 303 m
6.如图所示, 某数学兴趣小组为了测量嘉兴某地 “智标塔” 高度, 在地面上 A 点处测得塔顶 B 点的仰角为 60∘ , 塔底 C 点的仰角为 45∘ . 已知山岭高 CD 为 72 米, 则塔高 BC 为 ( )
A. 722−72 米 B. 723−72 米
C. 726−72 米 D. 1443−72 米
7．世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：Ericssn Glbe），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得 AB=406m ， CD=80m ∠ACB=45∘ ， ∠ABC=∠ACD=60∘ （其中 A,B,C,D 四点共面），据此可估计该体育馆的直径AD大约为（）(参考数据： 3≈1.732,7≈2.646
A. 98 m B. 102 m C. 106 m D. 122 m
8.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺、国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度MN，他在塔的正北方向找到一座建筑物AB，高为7.5m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为 15∘ 和 60∘ ，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为 30∘ ，则镇国寺塔的高度约为（ ）（参考数据： 3≈1.73 ）
A. 31.42 m B. 33.26 m C. 35.48 m D. 37.52 m
二、多选题
9.在 ΔABC 中， AB=4,AC=6,A=π3 ，点 D 为边 BC 上一动点，则（）
A. BC=27
B. 当 AD 为边 BC 上的高线时, AD=3217
C. 当 AD 为边 BC 上的中线时, AD=19
D. 当 AD 为角 A 的角平分线时, AD=1235
10．在锐角 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对边分别为 a ， b ， c ，且 c+b=2acsB. 则下列说法正确的是（）
A. A=2B
B. 角 B 的范围是 0,π4
C. 若 ∠BAC 的平分线交 BC 于 D,AD=2,sinB=35 , 则 1b+1c=45
D. ca 的取值范围是 22,233
11．石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图所示，现某中学数学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图， A 为电视塔的最顶端， B 为基座（即 B 在 A 的正下方），在世纪公园上（ B 在同一水平面内）选取 C,D 两点，测得 CD 的长为 100m 。小组成员利用测角仪已测得 ∠ACB=π6 ，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出电视塔高度 AB 的是（）
A. ∠BCD 、 ∠BDC B. ∠BCD 、 ∠ACD
C. ∠ACD 、 ∠ADC D. ∠BCD 、 ∠ADB
三、填空题
12.在一次海上联合作战演习中, 红方一艘侦察艇发现在北偏东 45∘ 方向, 相距 12 公里的水面上, 有蓝方一艘小艇正以每小时 10 公里的速度沿南偏东 75∘ 方向前进, 若侦察艇以每小时 14 公里的速度, 沿北偏东 45∘+α 方向拦截蓝方的小艇。若要在最短的时间内拦截住, 则红方侦察艇所需的时间为 小时, 角 α 的正弦值为 .
13.ΔABC 的三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c , 若 A=π3,a=6,c=2 , 角 A 的平分线交 BC 于 D , 则 AD= ________.
四、解答题
14.如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得 ∠BCA=60∘ ， ∠ACD=30∘ ∠CDB=45∘ ， ∠BDA=60∘ ，那么此时A，B两点间的距离是多少？
15.在 ΔABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知且 acsC+3csinA=b+c .
(1)求角 A 的大小.
若 b=3,ΔABC 的面积为 33 , 求 ΔABC 的周长.
(3)若 ΔABC 为锐角三角形，求 2csB+csC 的取值范围
16.如图A、B是在沿海海面上相距 15+53 海里的两个哨所，B位于A的正南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东 30∘ 方向处有一艘走私船，同时，B哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西 30∘ 的D点，且A与D相距 203 海里，试求：
(1)刚发现走私船时，走私船与哨所的距离；
(2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里？在缉私艇的北偏东多少度？
(3)若缉私艇得知走私船以 103 海里/时的速度从 C 向北偏东 15∘ 方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？
标准答案
一、单选题
1. 答案：C
解析：
由图可知 BC 边上的中线 AD=132，因为 2AD=AB+AC，所以
4|AD|2=|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC,
故13=|AB|2+9+2|AB|×3×12,解得 |AB|=1（负值舍去）。
又 BC=AC−AB，则|BC|2=|AC|2+|AB|2−2AB⋅AC,
故|BC|2=1+9−2×1×3×12=7, 即|BC|=7.
在 △ABC 中，由正弦定理可得ACsinB=BCsinA,
故sinB=AC⋅sinABC=3×327=32114.
2. 答案：C
解析：先在△ABD中求AD： 由方位角得∠BAD=0∘（正北航行），∠ABD=180∘−120∘−75∘=−15∘（补角），实际∠ABD=30∘，∠ADB=30∘， ∠BAC=75∘+30∘=105∘，在△ABD中，由正弦定理： ADsin∠ABD=ABsin∠ADB，AB=126，∠ABD=30∘，∠ADB=30∘，得AD=126。 在△ACD中，AC=83，∠CAD=30∘，由余弦定理： CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcs30∘， 代入得：CD2=(83)2+(126)2−2×83×126×32=192， 故CD=83。
3. 答案：B
解析：如图，CA边上的高为BD，BD=32CA，且C=π6， 所以CB=3CA，则CD=BC⋅csπ6=32CA， 则AD=12CA，AB=BD2+AD2=AC， 所以∠ABC=∠C=π6，则sinB=sinπ6=12。
4. 答案：A
解析：CD平分∠C，∠C=2π3，故∠ACD=∠BCD=π3。 由三角形面积和：S△ABC=S△ACD+S△BCD， 即12absin2π3=12b⋅CD⋅sinπ3+12a⋅CD⋅sinπ3， 约去12sinπ3，得ab=b⋅1+a⋅1，已知a=2，则2b=b+2⟹b=2。 在△ABC中，由余弦定理： AB2=a2+b2−2abcs2π3=4+4−2×2×2×(−12)=12，故AB=23。
5. 答案：D
解析：设CM=x，DM=y，AB=153，在Rt△ABM中，tan15∘=ABBM=153x+y， tan15∘=2−3，故x+y=1532−3=153(2+3)。 在Rt△CDM中，CD=h，tan60∘=hy⟹y=h3。 过A作AE⟂CD于E，则AE=x+y，CE=h−153，∠CAE=30∘， 故tan30∘=CEAE=h−153153(2+3)， 代入tan30∘=13，解得h=303。
6. 答案：B
解析：在Rt△ACD中，∠CAD=45∘，CD=72，故AD=CD=72。 在Rt△ABD中，∠BAD=60∘，故BD=AD⋅tan60∘=723。 塔高BC=BD−CD=723−72。
7. 答案：C
解析：连接AC，AD。在△ABC中，由正弦定理知ACsin∠ABC=ABsin∠ACB， 即AC32=40622，解得AC=120。 在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅cs∠ACD，即AD2=1202+802−2×120×80×12=11200。 所以AD=11200=407≈106。
8. 答案：D
解析：同第5题模型，设MN=h，CN=y，AB=7.5，在Rt△ABC中，tan15∘=7.5BC=7.5x+y， BC=CN+NB=x+y，tan15∘=2−3，故x+y=7.52−3=7.5(2+3)。 过A作AE⟂MN于E，CE=h−7.5，∠MAE=30∘，tan30∘=h−7.57.5(2+3)， 解得h=7.5×33≈7.5×5.196≈37.52m，选D。
二、多选题
9. 答案：ACD
解析：
A：由余弦定理，BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcsπ3=16+36−24=28⟹BC=27，正确；
B：面积S=12AB⋅ACsinπ3=12×4×6×32=63，高线AD=2SBC=12327=6217，原选项错误；
C：中线公式，AD=2AB2+2AC2−BC22=32+72−282=19，正确；
D：角平分线公式，AD=2AB⋅ACcsπ6AB+AC=2×4×6×3210=1235，正确。
10. 答案：ACD
解析：已知c+b=2acsB，由正弦定理得sinC+sinB=2sinAcsB， sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，代入得： sinAcsB+csAsinB+sinB=2sinAcsB⟹sinB=sinAcsB−csAsinB=sin(A−B)， 故B=A−B或B=π−(A−B)（舍去），得A=2B，A正确；
B：锐角△ABC，则0