专题2.2 一元二次方程及其应用（举一反三复习讲义）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

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\l "_Tc23114" 【考点一 一元二次方程的定义及其解】 PAGEREF _Tc23114 \h 2
\l "_Tc4859" 【题型1 一元二次方程的概念】 PAGEREF _Tc4859 \h 3
\l "_Tc29982" 【题型2 一元二次方程一般式】 PAGEREF _Tc29982 \h 5
\l "_Tc517" 【题型3 由一元二次方程解的求值】 PAGEREF _Tc517 \h 6
\l "_Tc31119" 【题型4 一元二次方程解的估算】 PAGEREF _Tc31119 \h 8
\l "_Tc20387" 【考点二 解一元二次方程】 PAGEREF _Tc20387 \h 10
\l "_Tc4352" 【题型5 一元二次方程的一般解法】 PAGEREF _Tc4352 \h 12
\l "_Tc21777" 【题型6 配方法的应用】 PAGEREF _Tc21777 \h 15
\l "_Tc14229" 【题型7 换元法求一元二次方程】 PAGEREF _Tc14229 \h 19
\l "_Tc28241" 【考点三 一元二次方程的根的判别式】 PAGEREF _Tc28241 \h 22
\l "_Tc12276" 【题型8 利用根的判别式判断方程根的情况】 PAGEREF _Tc12276 \h 22
\l "_Tc30581" 【题型9 由方程根的情况求参数的取值范围】 PAGEREF _Tc30581 \h 24
\l "_Tc480" 【考点四 一元二次方程的根与系数的关系】 PAGEREF _Tc480 \h 26
\l "_Tc27979" 【题型10 利用根与系数的关系求代数式的值】 PAGEREF _Tc27979 \h 27
\l "_Tc17083" 【题型11 利用根与系数的关系构造方程】 PAGEREF _Tc17083 \h 29
\l "_Tc5189" 【考点五 一元二次方程的应用】 PAGEREF _Tc5189 \h 31
\l "_Tc8006" 【题型12 根据实际问题抽象出一元二次方程】 PAGEREF _Tc8006 \h 33
\l "_Tc24537" 【题型13 一元二次方程的应用】 PAGEREF _Tc24537 \h 35
【考点一 一元二次方程的定义及其解】
知识点1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次)的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2.
例如：1x2+x=2，x2+1，x2+y−3=0，x3−3x+8=0，(x−1)(x−2)=x2−1均不是一元二次方程.
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数;bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
2.（1）a≠0是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0；（2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当b=0时，得ax2+c=0(a≠0)；
（2)当c=0时，得ax2+bx=0(a≠0)；
（3)当b=0且c=0时,得ax2=0(a≠0).
知识点3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根.若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：ax12+bx1+c=0(a≠0)，ax22+bx2+c=0(a≠0).
【题型1 一元二次方程的概念】
【例1】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程(k+3)x|k+1|+3x−4=0是一元二次方程，那么k的值是（ ）
A．1B．−3C．2D．1或−3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x方程(k+3)x|k+1|+3x−4=0是一元二次方程，
∴k+1=2，且k+3≠0，
解得k=1，
故选：A．
【变式1-1】（2025·辽宁抚顺·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x−1x−3=0B．x2+2x=x2−1
C．ax2+bx+c=0D．1x2−x=2
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，据此分析各选项．
【详解】解：A、x−1x−3=0，展开得x2−4x+3=0，是一元二次方程；
B、x2+2x=x2−1化简得2x=−1，不是一元二次方程；
C、ax2+bx+c=0 ，若a=0，则方程不是二次方程，因此不一定是一元二次方程；
D、1x2−x=2不是整式方程，故不是一元二次方程．
故选：A．
【变式1-2】（2025·云南临沧·模拟预测）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0满足a−b+c=0，那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，写出这个一元二次方程为 ．
【答案】x2−1=0（答案唯一）．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解三元一次方程，理解“和谐”方程和“美好”方程的定义是解题关键．根据题意得到关于一元二次方程系数的方程组，求出系数之间的关系，再写出满足条件的方程即可．
【详解】解：由题意，∵一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0既是“和谐”方程又是“美好”方程，
∴a+b+c=0a−b+c=0，
∴b=0c=−a，
∴一元二次方程为ax2−a=0，
∵a≠0，
∴可取a=1，
∴这个一元二次方程为x2−1=0（答案唯一）．
故答案为：x2−1=0（答案唯一）．
【变式1-3】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2B．a