专题1.4 二次根式（举一反三复习讲义）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

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\l "_Tc9667" 【考点一 二次根式的相关概念】 PAGEREF _Tc9667 \h 2
\l "_Tc13705" 【题型1 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc13705 \h 2
\l "_Tc1520" 【题型2 与二次根式有关的开放性试题】 PAGEREF _Tc1520 \h 2
\l "_Tc4034" 【考点二 二次根式的性质与化简】 PAGEREF _Tc4034 \h 2
\l "_Tc21162" 【题型3 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc21162 \h 3
\l "_Tc13444" 【题型4 二次根式与数轴】 PAGEREF _Tc13444 \h 3
\l "_Tc27695" 【考点三 二次根式的运算】 PAGEREF _Tc27695 \h 4
\l "_Tc22198" 【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】 PAGEREF _Tc22198 \h 6
\l "_Tc9983" 【题型6 最简二次根式与同类二次根式】 PAGEREF _Tc9983 \h 6
\l "_Tc31037" 【题型7 分母有理化】 PAGEREF _Tc31037 \h 7
\l "_Tc8487" 【题型8 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc8487 \h 7
\l "_Tc21930" 【题型9 估算二次根式的值】 PAGEREF _Tc21930 \h 8
\l "_Tc23239" 【题型10 二次根式的应用】 PAGEREF _Tc23239 \h 8
\l "_Tc11565" 【题型11 与二次根式有关的新定义问题】 PAGEREF _Tc11565 \h 10
\l "_Tc29625" 【题型12 与二次根式有关的规律探究问题】 PAGEREF _Tc29625 \h 10
【考点一 二次根式的相关概念】
知识点1 二次根式的概念
1. 定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”叫做二次根号，a叫做被开方数．
2. 拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“”；（2）被开方数必须是非负数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）．
知识点2 二次根式有无意义的条件
当a≥0时，二次根式a有意义；当a0B．a≥0，b≠0C．a>0，b>0D．a>0，b≠0
【题型2 与二次根式有关的开放性试题】
【例2】（2025·河南濮阳·一模）二次根式aa≥0，给a赋予一个实际意义为 ．
【变式2-1】（2025·河南·中考真题）请写出一个使5−x在实数范围内有意义的x的值： ．
【变式2-2】用一个x的值说明“x2=x”是错误的，则x的值可以是
【变式2-3】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m= ．
【考点二 二次根式的性质与化简】
知识点3 二次根式的性质
1.二次根式a具有双重非负性：被开方数a≥0，二次根式a≥0．
2.(a)2=a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如(5)2=5．
3.a2=a=a(a≥0)，−a(a0)．
2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即a÷b÷c=a÷b÷c(a≥0，b>0，c>0)．
3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即ma÷nb=(m÷n)∙a÷b．
知识点7 商的算术平方根
商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即ab=ab(a≥0，b>0)．
知识点8 最简二次根式
1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式．
2. 化为最简二次根式的步骤
（1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解；
（2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方；
（3）利用ab=ab(a≥0，b>0)，使被开方数中不含分母；
（4）分母有理化，化去分母中的根号；
（5）约分化简，整理成最简二次根式．
知识点9 二次根式的加减运算
二次根式的加减法的实质是合并同类二次根式，一般按如下步骤进行：
知识点10 二次根式的混合运算
1. 运算法则
与整式的混合运算顺序一样，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的．
2. 实数运算中的运算律及公式同样适用于二次根式的运算．
3. 二次根式混合运算的结果应写成最简二次根式或整式的形式．
【题型5 应用乘法公式求二次根式的值】
【例5】若28n是整数，则正整数n的最小值为 ．
【变式5-1】（2025·江苏淮安·中考真题）计算：12×13= ．
【变式5-2】（2024·河北邢台·模拟预测）计算：2024÷2024×12024的值为（ ）
A．2024B．1012C．1D．2024
【变式5-3】（2024·河北衡水·一模）设M=1ab−ab⋅ab，其中a=−3，b=−2，则M的值为（ ）
A．2B．−2C．1D．−1
【题型6 最简二次根式与同类二次根式】
【例6】（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式8−3k与8能合并，则k的值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式6-1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．5B．12C．12D．π
【变式6-2】（2025·上海奉贤·三模）下列与2a是同类二次根式的是（ ）
A．2B．2a2C．2a3D．a
【变式6-3】如果最简二次根式b−a3b和2b−a+2是同类二次根式，那么a，b的值为（ ）
A．a=1，b=−2B．a=−1，b=1C．a=2，b=0D．a=0，b=2
【题型7 分母有理化】
【例7】（24-25八年级上·上海·期末）二次根式x−2的有理化因式可以是 ．
【变式7-1】分母有理化：223+2＝ ．
【变式7-2】阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如(5+3)(5−3)=−4，(3+2)(3−2)=1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理数因式，于是，二次根式除法可以这样解：如13=1⋅33⋅3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
（1）比较大小：16−2 15−3（用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（2）计算：23+3+253+35+275+57+⋯+29997+9799；
（3）设实数x，y满足x+x2+2019y+y2+2019=2019，求x+y+2019的值．
【变式7-3】二次根式中有这样一些相铺相成的“对子”：6×6=6,2+32−3=1，5+25−2=3，它们的积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式．于是，二次根式的除法可以这样解：例如2+32−3=2+32+32−32+3=7+43，13=1×33×3=33，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去叫做分母有理化．分母有理化除了可以进行运算，还有其它一些用处．
(1)计算：12−3−63；
(2)比较：12025−2024与12024−2023的大小；
(3)化简：13+1+15+3+17+5+⋯+121+19．
【题型8 二次根式的混合运算】
【例8】（2025·甘肃天水·模拟预测）计算：12−612+3×6；
【变式8-1】（2025·甘肃·中考真题）计算：12−6×12．
【变式8-2】（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：x=23−1，y=23+1，求下列各式的值．
(1)1x+1y；
(2)x2+y2−xy．
【变式8-3】（2025·湖南湘潭·模拟预测）已知m,n是方程x2+3x+1=0的两根
(1)求m+5−165−m⋅2m−103−m−2m的值
(2)求m3n+n3m的值．
【题型9 估算二次根式的值】
【例9】估算33+1×3的结果（ ）
A．在7和8之间B．在8和9之间C．在9和10之间D．在10和11之间
【变式9-1】（2025·山东烟台·中考真题）实数32的整数部分为 ．
【变式9-2】（2025·重庆·中考真题）若n为正整数，且满足n