专题03 一元二次方程及其应用【知识串讲+八大考点】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版）

这是一份专题03 一元二次方程及其应用【知识串讲+八大考点】-2026年中考数学总复习重难考点强化训练（全国通用）(原卷版+解析版），文件包含专题03一元二次方程及其应用知识串讲+8大考点-全国通用原卷版docx、专题03一元二次方程及其应用知识串讲+8大考点-全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。

模块二
知识点一遍过
（一）一元二次方程
（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）
（二）解一元二次方程
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解；十字相乘法：
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
（三）根的判别式（△）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
（4）b2－4ac≥0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）
（四）根与系数的关系（韦达定理）
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.（结合完全平方公式的变形）
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
（五）一元二次方程实际应用
（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．
（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次）与双循环（两两之间相遇两次）
⑤传染问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
模块三
考点一遍过
考点1：一元二次方程——定义
典例1：下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x−2x=1B．x2−3x+1=0C．x2−2y+4=0D．x2+3=2x
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的指数最高是2的整式方程是一元二次方程”进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵x−2x=1不是整式方程，
∴不是一元二次方程，故不符合题意；
B、x2−3x+1=0是一元二次方程，故符合题意；
C、x2−2y+4=0含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、∵x2+3=2x不是整式方程，
∴不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
【变式1】若m−3xm−1−x−5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】−1
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知m−3≠0且m−1=2，由此即可求得m的值．
【详解】解：由题意可知，m−3≠0且m−1=2，
解m−1=2得m=3或m=−1，
∴m=−1，
故答案为：−1．
【变式2】若方程m+3xm2−7+m−1x−2=0是关于x的一元二次方程，则m= ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】此题考查了一元二次方程的定义：未知数的最高次数是二次的整式方程，且二次项系数不得为0，根据一元二次方程的定义得到m2−7=2且m+3≠0，求得m的值即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义，得m2−7=2且m+3≠0，
解得m=3，
故答案为：3
【变式3】关于x的方程m−2xm2−2+m−1x+6=0是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】−2
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】∵关于x的方程m−2xm2−2+m−1x+6=0是一元二次方程，
∴m−2≠0m2−2=2
解得m=−2，
故答案为：−2
【变式4】下列方程，是一元二次方程的是（ ）
A．2x2−5y=0B．3x+1x2=1C．7x2+6=3xD．3x+2=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a≠0．根据一元二次方程的定义，即可求解．
【详解】A、2x2−5y=0含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、3x+1x2=1不是整式方程，则不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、7x2+6=3x是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、3x+2=0是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C ．
【变式5】如果方程m−2xm2−3m+4+2x=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．1B．2C．1 和2D．都不对
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出m−2≠0，m2−3m+4=2，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵方程m−2xm2−3m+4+2x=0是关于x的一元二次方程，
∴m−2≠0，m2−3m+4=2，
解得：m=1，
故选：A．
考点2：一元二次方程—— 一般式
典例2：关于x的一元二次方程5x2+mx+7=0，二次项系数与一次项系数的比为1:2，则m=（ ）
A．10B．14C．2.5D．3.5
【答案】A
【知识点】由一元二次方程的定义求参数
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，先由一元二次方程5x2+mx+7=0得，二次项系数与一次项系数分别为5和m，再由二次项系数与一次项系数的比为1:2，列等式方程，即可求出m的值．
【详解】∵一元二次方程5x2+mx+7=0的二次项系数与一次项系数分别为5和m，
又∵二次项系数与一次项系数的比为1：2，
∴5:m=1:2，
∴m=10，
故选：A．
【变式1】将方程x−1x+3=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a= ，b= ，c= ．
【答案】 1 2 −15
【知识点】计算多项式乘多项式、由一元二次方程的定义求参数
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0a≠0，本题中首先根据多项式乘以多项式的法则把方程左边展开，然后再移项合并同类项，把一元二次方程化为一般形式，再确定各项系数．
【详解】解：x−1x+3=12，
整理得：x2+2x−3=12，
移项合并同类项得：x2+2x−15=0
∴ x−1x+3=12化为ax2+bx+c=0的形式后，a=1，b=2，c=−15．
故答案为： a=1，b=2，c=−15．
【变式2】若关于的一元二次方程2x2−m+1x=xx+1化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，则m的值为 ．
【答案】−1
【知识点】由一元二次方程的定义求参数
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：2x2−m+1x=xx+1，
2x2−m+1x−xx+1=0，
2x2−m+1x−x2−x=0，
x2−m+2x=0，
∵化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为−1，
∴−m+2=−1，
∴m=−1，
故答案为：−1．
【变式3】关于x的一元二次方程k−2x2−3x+k2+k−6=0的常数项为0，则k的值为 ．
【答案】−3
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念、解一元二次方程等知识，理解并掌握一元二次方程的相关概念是解题关键．根据一元二次方程的定义、常数项概念可得k−2≠0，k2+k−6=0，求解即可获得答案．
【详解】解：对于关于x的一元二次方程k−2x2−3x+k2+k−6=0，
则有k−2≠0，解得 k≠2，
又∵该方程的常数项为0，
∴k2+k−6=0，
解得k1=2，k2=−3，
综上所述，k的值为−3．
故答案为：−3．
【变式4】将一元二次方程4xx+2=25化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为4，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A．8、25B．8、−25C．8x、−25D．8x、25
【答案】B
【知识点】一元二次方程的一般形式
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．把原方程化为4x2+8x−25=0，即可得到一次项系数和常数项．
【详解】解：∵4xx+2=25，
∴4x2+8x−25=0，
其中二次项系数为4，则一次项系数和常数项分别是8、−25，
故选：B
【变式5】已知a−1x2+a2−1x+a=0是关于x的一元二次方程，若一次项系数为0，则a的值为（ ）
A．0B．−1C．1D．±1
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，由一次项系数为0，可以求出a的值，因为二次项系数不能为0，所以a不能为−1，应舍去．
【详解】解：∵一次项系数为0，
∴a2−1=0，
a+1a−1=0，
∴a+1=0，a−1=0，
解得a1=1，a2=−1．
∵a−1≠0，
∴a≠1．
故a=−1．
故选：B．
考点3：一元二次方程——解的应用
典例3：若关于x的一元二次方程m+3x2−x+m2−9=0的一个根为0，则m的值为（ ）
A．3B．−3C．±3D．13
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根，先根据一元二次方程的定义可知m+3≠0，再将一元二次方程的解代入计算求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程(m+3)x2−x+m2−9=0的一个根是0，
∴m2−9=0，且m+3≠0，
解得：m=3．
故选：A．
【变式1】若a是方程x2−x−1=0的一个根，则a3−a2−a+2024的值为 ．
【答案】2024
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到a2−a−1=0，进而得到a2=a+1，利用整体代入法，进行计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2−x−1=0的一个根，
∴a2−a−1=0，
∴a2=a+1，
∴a3−a2−a+2024
=a⋅a+1−a2−a+2024
=a2+a−a2−a+2024
=2024；
故答案为：2024
【变式2】设α，β是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则α3−2026α−β+1的值为 ．
【答案】2024
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到α2−α=2024,α2−2024=α， 再根据根与系数的关系得到α+β=1，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0 的两根，则x1+x2=−ba，x1·x2=ca 是解决此题的关键．
【详解】解：∵α是方程x2−x−2024=0 的实数根，
∴α2−α−2024=0,
∴α2−α=2024,α2−2024=α，
∵α,β是方程x2−x−2024=0的两个实数根，
∴α+β=1，
∴α3−2026α−β+1
=αα2−2024−2−β+1
=αα−2−β+1
=α2−2α−β+1
=α2−α−α−β+1
=2024−α+β+1
=2024−1+1
=2024，
故答案为：2024．
【变式3】已知m，n是方程x2−2022x+2023=0的两根，则m2−2023m+2024n2−2023n+2024= ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca，是解答本题的关键．根据根与系数的关系和方程的解得到m+n=2022，mn=2023，m2−2022m+2023=0，n2−2022n+2023=0，将原式化简得到1−m+n+mn，再代入求值即可．
【详解】解：∵m，n是方程x2−2022x+2023=0的两根，
∴m+n=2022，mn=2023，m2−2022m+2023=0，n2−2022n+2023=0，
m2−2023m+2024n2−2023n+2024
=m2−2022m+2023−m+1n2−2022n+2023−n+1
=0−m+10−n+1
=1−m1−n
=1−n−m+mn
=1−m+n+mn
=1−2022+2023
=2，
故答案为：2．
【变式4】已知一元二次方程x2−x−2=0的一个根为m，则2024−m2+m的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．把m代入方程求出m2−m−2=0，然后利用整体代入求值即可．
【详解】解：∵一元二次方程x2−x−2=0的一个根为m，
∴ m2−m−2=0，
∴ m2−m=2，
∴ 2024−m2+m=2024−m2−m=2024−2=2022，
故选：C．
【变式5】已知m是方程x2−2022x+1=0的一个根．则代数式3m2−6066m+2的值是（ ）
A．−3B．1C．5D．−1
【答案】D
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义解答即可．
根据一元二次方程的解的定义可得m2−2022m=−1，然后对3m2−6066m+2变形后，整体代入计算即可．
【详解】解：∵m是方程x2−2022x+1=0的一个根，
∴m2−2022m+1=0，即m2−2022m=−1，
∴3m2−6066m+2=3m2−2022m+2=3×−1+2=−1．
故选：D．
考点4：一元二次方程——解的估算
典例4：在估算一元二次方程x2+5x−4=0的根时，嘉淇列表如下：
则表示方程x2+5x−4=0的一个根的点落在（ ）
A．段①B．段②C．段③D．段④
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解的估算
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．
结合表中的数据，根据代数式x2+5x−4的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：由表可知，
当x=0.7时，x2+5x−4=−0.010，
∴方程x2+5x−4=0的一个根x的范围是0.7