专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三专项训练）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

这是一份专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三专项训练）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版），文件包含专题21一次方程组及其应用举一反三专项训练解析版docx、专题21一次方程组及其应用举一反三专项训练试题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
目录
第一部分 题型专练TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc19154" 【考点一 等式的基本性质】 PAGEREF _Tc19154 \h 2
\l "_Tc31893" 【题型1 根据等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc31893 \h 2
\l "_Tc29542" 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 PAGEREF _Tc29542 \h 4
\l "_Tc20444" 【考点二 一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc20444 \h 6
\l "_Tc2093" 【题型3 解一元一次方程】 PAGEREF _Tc2093 \h 6
\l "_Tc1229" 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 PAGEREF _Tc1229 \h 8
\l "_Tc12833" 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 PAGEREF _Tc12833 \h 10
\l "_Tc17595" 【考点三 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc17595 \h 12
\l "_Tc28827" 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 PAGEREF _Tc28827 \h 12
\l "_Tc26530" 【题型7 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc26530 \h 14
\l "_Tc24969" 【考点四 二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc24969 \h 17
\l "_Tc10770" 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 PAGEREF _Tc10770 \h 17
\l "_Tc29739" 【题型9 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc29739 \h 19
\l "_Tc6004" 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 PAGEREF _Tc6004 \h 21
\l "_Tc8904" 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 PAGEREF _Tc8904 \h 23
\l "_Tc29552" 【题型12 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc29552 \h 26
\l "_Tc29436" 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc29436 \h 28
\l "_Tc889" 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc889 \h 28
\l "_Tc14738" 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc14738 \h 30
\l "_Tc25036" 【考点六 三元一次方程组】 PAGEREF _Tc25036 \h 34
\l "_Tc17920" 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 PAGEREF _Tc17920 \h 34
\l "_Tc3434" 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 PAGEREF _Tc3434 \h 35
第二部分 分层突破
A组 基础跟踪练
B组 培优提升练
【考点一 等式的基本性质】
【题型1 根据等式的性质判断正误】
1．（2025·安徽合肥·三模）若a，b，c为互不相等的实数，且45a+15c=b则下列结论正确的是（ ）
A．a−c=4(b−a)B．a−b=5(a−c)
C．a−b=4(b−c)D．a−c=5(a−b)
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵45a+15c=b，
∴4a+c=5b，
∴4a+c−5a=5b−5a，
∴c−a=5b−a
∴c−a×−1=5b−a×−1，
即a−c=5a−b，
故选：D．
2．（2025·贵州·一模）已知a，b，c为有理数，若a=b，则下列变形不正确的是（ ）
A．a+3=b+3B．3−a=3−bC．ac=bcD．ca=cb
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：A、∵a=b，
∴a+3=b+3，原选项变形正确，不符合题意；
B、∵a=b，
∴3−a=3−b，原选项变形正确，不符合题意；
C、∵a=b，
∴ac=bc，原选项变形正确，不符合题意；
D、∵a=b，
∴当a与b不为零时，ca=cb，原选项变形不正确，符合题意；
故选：D．
3．（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足a2+b2+c−3ab=0，则下列结论错误的是（ ）
A．ab>cB．若c=−ab，则ab+ba=4
C．若b=0，则c0，∴ab>c，原选项正确；
B、若c=−ab，由于a≠0，b≠0，
∵a2+b2+c−3ab=0，
∴a2+b2=4ab，
∴a2+b2ab=4，
∴ab+ba=4，原选项正确；
C、若b=0，∵a2+b2+c−3ab=0，
∴a2=−c>0，即c−2和x−3−2时， 即x>1时，有x−3=3x，
解得x=−32 (不合题意，舍去)，
当x−3−43B．k−23D．k−1，可得3k+13>−1，解不等式即可得到答案．
【详解】解：2x+y=k+2①x+5y=2k−1②
①+②得：3x+6y=3k+1，
∴x+2y=3k+13，
∵x+2y>−1，
∴3k+13>−1，
解得k>−43，
故选：A．
【题型11 二元一次方程组的同解问题】
41．已知关于x，y的方程组5x+y=3ax+by=4与x−2y=5bx+ay=1有相同的解，则a= ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键。
依据题意重新组成方程组求得x，y的值，再将x，y值代入得到关于a，b的方程组求解即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组5x+y=3ax+by=4与方程组x−2y=5bx+ay=1有相同的解，
∴5x+y=3x−2y=5，解得：x=1y=−2，
把x=1y=−2分别代入ax+by=4与bx+ay=1
得：a−2b=4b−2a=1，解得：a=−2b=−3；
故答案为：−2．
42．（2025·江苏扬州·模拟预测）已知关于x，y的方程组x−y=a3x+y=2b的解满足x=m−1y=3n+2，其中m，n都是实数，且m−n=5．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的个数为（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】A
【分析】本题考查了解含参二元一次方程组，先求出方程组的解为x=a+2b4y=2b−3a4，求出m、n的表达式，由m−n=5得出a、b等式，求出正整数解，即可求解；能熟练求解含参二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：解方程组x−y=a3x+y=2b得：
x=a+2b4y=2b−3a4，
∴a+2b4=m−12b−3a4=3n+2，
解得：m=a+2b+44n=2b−3a−812，
∵ m−n=5，
∴a+2b+44−2b−3a−812=5，
整理得：3a+2b=20，
∵ a，b均为正整数，
当a=2时，b=7，
n=2×7−3×2−812=0，
当a=4时，b=4，
n=2×4−3×4−812=−1，
当a=6时，b=1，
n=2×1−3×6−812=−2，
∴n的值为0、−1、−2，共3个；
故选：A．
43．（2025·北京·模拟预测）已知关于x,y的二元一次方程ax+by=c的解如表：
关于x,y的二元一次方程mx−ny=k的解如表：
则关于x,y的二元一次方程组ax−by=2cmx+ny=2k的解是（ ）
A．x=−6y=−8B．x=−6y=8C．x=−32y=−2D．x=−32y=2
【答案】A
【分析】本题主要考查了同解的二元一次方程组．将待求的方程组整理成与已知方程组的形式相同，即可得新的二元一次方程组，再求出解即可．
【详解】解：∵从两个表格中可知x=−3y=4，是关于x，y的二元一次方程ax+by=c和关于m，n的二元一次方程mx−ny=k的公共解，
将ax−by=2cmx+ny=2k整理为12ax−12by=c12mx+12ny=k，
∴12x=−3−12y=4，
解得：x=−6y=−8，
∴关于x,y的二元一次方程组ax−by=2cmx+ny=2k的解是x=−6y=−8，
故选：A．
44．（2025·湖南永州·模拟预测）如果方程组x+y=3x−y=1与方程组mx+ny=8mx−ny=4的解相同，则m+n2= ．
【答案】25
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组，先解方程组x+y=3x−y=1得x=2y=1，进而把x=2y=1代入方程组mx+ny=8mx−ny=4得到2m+n=82m−n=4，解方程组2m+n=82m−n=4求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：解方程组x+y=3x−y=1得x=2y=1，
∵方程组x+y=3x−y=1与方程组mx+ny=8mx−ny=4的解相同，
∴x=2y=1是方程组mx+ny=8mx−ny=4的解，
∴2m+n=82m−n=4，
解得m=3n=2，
∴m+n2=3+22=25，
故答案为：25．
【题型12 构造二元一次方程组求解】
45．（2025·福建泉州·模拟预测）若x为自然数，且x+36与x−16都是一个自然数的平方，则x的值为 ．
【答案】160
【分析】本题考查平方差公式，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．
通过设定平方数关系，利用平方差公式将问题转化为求解二元一次方程组，根据因数分解和奇偶性确定唯一解．
【详解】解：设x+36=a2，x−16=b2，其中a、b为自然数，则a2−b2=x+36−x−16=52．
由平方差公式，a2−b2=a+ba−b=52=2×26．
∵a、b为自然数，a+b和a−b同奇偶，且a+b>a−b，
∴解方程组a+b=26a−b=2，得a=14，b=12．
代入x+36=142=196，得x=196−36=160．
故答案为160．
46．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出2y个小球放入乙袋，再从乙袋中取出2x个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出2x+2y个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则3x−5y的值等于 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出2x=82y=4，再求出x,y的值，即可解答．
【详解】解：由题意可得：16−2y+2x+2y=28+2y−2x28+2y−2x=28−2y−2x+2x，
解得：2x=82y=4，
∴x=3,y=2，
∴3x−5y=3×3−5×2=−1，
故答案为：−1．
47．（2025·浙江温州·模拟预测）如表中的信息满足关于x,y的二元一次方程ax+by=5，则3a+b=
【答案】10
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
将表格中的两组数据代入二元一次方程ax+by=5中，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程求出a、b的值，即可得解．
【详解】解：将x=1y=2，x=2y=−1代入二元一次方程ax+by=5中，
得a+2b=5①2a−b=5②，
①+②，得3a+b=10，
故答案为：10．
48．（2025·江苏淮安·模拟预测）设a1，a2，⋯，a2024，a2025是从−2，0， 1这三个数取值的一组数，若a1+a2+⋯+a2024+a2025=950，a1+12+a2+12+...+a2024+12+a2025+12=5025，则a1，a2，⋯，a2024，a2025中为0的个数为 个．
【答案】1000
【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，解二元一次方程组，由题意结合完全平方公式得出a12+a22+a32+…+a20252=1100，设有x个1，n个0，y个1，则x+y=2002，根据a1+a2+⋯+a2024+a2025=950可得−2x+y=950，求得x=25y=1000，进而得出答案．
【详解】解：∵a1+12+a2+12+⋅⋅⋅+a2024+12+a2025+12=5052，
∴a12+a22+a32+…+a20252+2a1+a2+a3+…+a2025+2025=5025，
∵a1+a2+⋯+a2024+a2025=950，
∴a12+a22+a32+…+a20252=1100，
设有x个−2，n个0，y个1，
∴4x+y=1100①，
∵a1+a2+⋯+a2024+a2025=950
∴−2x+y=950②
联立①②并解得，x=25y=1000
∵2025−25+1000=1000，
∴ a1，a2，⋯，a2024，a2025中为0的个数为1000个，
故答案为：1000．
【考点五 二元一次方程（组）的应用】
【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】
49．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组：
．
【答案】x+y=1003x+13y=100
【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分13个；据此即可求解；
【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分13个；
∵有100个和尚，
∴x+y=100；
∵有100个馒头，
∴3x+13y=100；
故答案为：x+y=1003x+13y=100；
50．（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A．5x+2y=102x+2y=8B．5x+5y=102x+5y=8C．2x+5y=105x+2y=8D．5x+2y=102x+5y=8
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金x两，每头羊值金y两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：由“牛5头，羊2头，共值金10两”可得5x+2y=10，
由“牛2头，羊5头，共值金8两”可得2x+5y=8，
因此可列方程组5x+2y=102x+5y=8，
故选D．
51．（2025·湖北·模拟预测）某班学生参加运土劳动，一部分学生抬土，另一部分学生挑土，已知全班共用箩筐99个，扁担66根，求抬土、挑土的学生各有多少人？如果设抬土的同学x人，挑土的同学y人，则可得方程组（ ）
A．2x+y2=99x2+y=66B．2x+y=66x2+y=99
C．x2+y=66x2+2y=99D．x+2y=992x+y=66
【答案】C
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．
设抬土的同学x人，挑土的同学y人，由题意列出方程组x2+y=66x2+2y=99即可．．
【详解】解：设抬土的同学x人，挑土的同学y人，
由题意得：x2+y=66x2+2y=99，
故选：C．
52．（2025·宁夏银川·一模）如图，三个大小相同的长方形沿“横—竖—横”排列在一个长为5，宽为4的大长方形中，设每块小长方形的长为x cm，宽为y cm，可列方程组： ．
【答案】2x+y=5x+2y=4
【分析】本题考查根据图形中的数量关系列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
从图中可以看出，大长方形的长为两个小长方形的长和一个小长方形的宽组成，大长方形的宽为两个小长方形的宽和一个小长方形的长组成，列出方程组即可．
【详解】解：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，由题意得：
2x+y=5x+2y=4，
故答案为：
2x+y=5x+2y=4．
【题型14 二元一次方程（组）的应用】
53．（2025·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《算法统宗》中记载：“今有绫三尺，绢四尺，共价四钱八分；又绫七尺，绢二尺，共价六钱八分．问：绫、绢各价若干？”意思是：三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分，则绫、绢每尺各值多少？已知一钱等于十分，则每尺绢的价格是 分．
【答案】6
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，根据三尺绫和四尺绢共值四钱八分；七尺绫和二尺绢共值六钱八分；列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每尺绫的价格是x分，每尺绢的价格是y分，
根据题意得：3x+4y=487x+2y=68，
解得：x=8y=6，
即每尺绢的价格是6分，
故答案为：6．
54．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯需要64元；若购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯需要52元．
(1)求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)晶扬工厂决定购买以上两种型号的节能灯共50盏，总费用不超过360元，那么该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯？
【答案】(1)甲型6元，乙型8元
(2)20盏
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据购买4盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费64元；购买6盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费52元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯50−m盏，根据购买资金不超过360元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为x元、y元，
由题意，得
4x+5y=646x+2y=52，
解得x=6y=8，
答：1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价分别为6元和8元．
（2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买乙型节能灯50−m盏，
由题意，得
6m+850−m≤360
解得，m≥20，
答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯．
55．（2025·四川资阳·中考真题）某社团计划开展手工制作活动，制作需使用A，B两款材料包，购买3份A款材料包和2份B款材料包需84元，购买2份A款材料包和3份B款材料包需86元．
(1)问购买一份A款材料包和一份B款材料包各需多少元？
(2)该社团打算购买A，B两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买A款材料包多少份？
【答案】(1)购买一份A款材料包和一份B款材料包各需16元和18元
(2)至少购买A款材料包35份
【分析】（1）设购买一份A款材料包和一份B款材料包各是x元和y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）设购买A款材料包a份，根据题意列出不等式求解即可．
本题主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．
【详解】（1）解：设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需x元和y元，
则3x+2y=842x+3y=86，解得x=16y=18，
答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需16元和18元．
（2）解：设购买A款材料包a份，
16a+18(50−a)≤830，
解得a≥35，
∵a为整数，
∴a最小为35，
答：至少购买A款材料包35份．
56．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元
(2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有m个，购买的总费用是w元，根据题意，列出不等式求出m的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得：
5x=6y2y−x=40或x+y+30=1402y−x=40或x+y+30=1405x=6y，（三个方程组任选一个即可）
解得：x=60y=50；
答：每个篮球60元，每个足球50元．
（2）设蓝球有m个，则足球有10−m个
2m≥10−m，
解得：m≥103，
设购买的总费用是w元，
w=60m+5010−m=10m+500，
∵10>0，
∴w随着m的减小而减小；
∵m≥103且m为整数，
∴当m最小值为4时，w最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
【考点六 三元一次方程组】
【题型15 三元一次方程组的定义及其解】
57．（2025·广东梅州·模拟预测）已知方程组x+2y=42y+3z=63x+z=−2，则x+y+z的值是（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】C
【分析】本题考查了三元一次方程组，解题的关键是运用整体思想；通过将三个方程相加，从而直接求解．
【详解】解：x+2y=4①2y+3z=6②3x+z=−2③，
由①+②+③得4x+4y+4z=8，
∴x+y+z=2，
故选：C．
58．（2025·吉林长春·模拟预测）解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x−y+z=−1③，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．①+③，①×2−②B．①+③，③×2+②C．②−①，②−③D．①−②，①×2−③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去．
【详解】解：解三元一次方程组x+y+z=3①3x+2y+z=10②2x−y+z=−1③，
②−①得：2x+y=7
②−③得：x+3y=11
方程组变形为2x+y=7x+3y=11，刚好消去z，
故选：C．
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法．
59．由方程组x−2y+3z=02x−3y+4z=0可得，x∶y∶z是（ ）
A．1∶2∶1B．1∶（－2）∶（－1）C．1∶（－2）∶1D．1∶2∶（－1）
【答案】A
【分析】解方程组，用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．
【详解】解：x−2y+3z=0①2x−3y+4z=0②
由①得，x=2y−3z③
将③代入②可得，2(2y−3z)−3y+4z=0，解得y=2z，
将y=2z代入③得，x=2y−3z=z，
∴x∶y∶z=z:2z:z=1:2:1
故选：A
【点睛】此题考查了三元一次方程组的求解，以及比例的性质，解题的关键是掌握消元法求解三元一次方程组．
60．（2025·湖南邵阳·模拟预测）新定义：关于x的一元二次方程：mx−a2+b=0与nx−a2+b=0（m,n,a,b均为常数）称为“同类方程”．如2x+12−3=0与6x+12−3=0是“同类方程”．若关于x的一元二次方程：2x−12−1=0与a+6x2−b+8x+6=0是“同类方程”，那么a+b= ．
【答案】7
【分析】本题考查一元二次方程的解，解三元一次方程组，理解题中定义是解答的关键．
根据“同类方程”的定义和第一个方程，第二个方程a+6x2−b+8x+6=0应能表示为nx−12−1=0的形式，通过比较系数，可求解a和b，进而计算a+b．
【详解】解：根据题意，将第二个方程与nx−12−1展开式比较：nx−12−1=nx2−2nx+n−1，令其等于a+6x2−b+8x+6，
可得方程组：a+6=nb+8=2n6=n−1，解得n=7a=1b=6，
故a+b=1+6=7．
故答案为：7．
【题型16 三元一次方程组的实际应用】
61．（2025·湖北武汉·三模）现有1角、5角、1元硬币各25枚，从中取出36枚，共值24元，则1元硬币取 枚．
【答案】12或16或20
【分析】本题主要考查了三元一次方程组、方程组的解等知识点，结合题意判断x的取值范围是解题的关键．
设1角、5角、1元硬币各取x枚，y枚，z枚，然后根据题意列三元一次方程组，并结合题意可判断x必须是5的倍数且x4
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解得情况，求参数的取值范围．将两个二元一次方程相加，得到x+y的值，根据x+y>1，求出k的取值范围即可．
【详解】解：2x+y=2k−1①x+2y=−4②，
①+②得：3x+3y=2k−1−4，即：x+y=2k−53；
∵x+y>1，
∴2k−53>1，解得：k>4；
故答案为：k>4．
三、解答题
11．（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：
(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．
【答案】(1)习题1从第一步开始出现错误；习题2从第二步开始出现错误；
(2)见解析．
【分析】此题考查了解一元一次方程和解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和方法是关键．
（1）根据解方程的步骤进行判断即可；
（2）按照正确的步骤和方法解方程即可．
【详解】（1）解：习题1去分母时常数项没有乘以分母的最小公倍数，即从第一步开始出现错误；习题2常数项判断错误，即从第二步开始出现错误；
（2）2x+13−1=x+12
4x+2−6=3x+3…………第一步
4x−4=3x+3…第二步
4x−3x=7…………．第三步
x=7……………．第四步
x(x−4)=2(x−4)
整理，得x²−6x+8=0……………第一步
∵a=1，b=−6，c=8，…………第二步
∴b2−4ac=4>0，…第三步
∴方程有两个不相等的实数根，
则x=6±42×1=3±1
即x1=4，x2=2⋯第四步．
12．（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−4−2=−6，n=1+3÷2=2．
(1)若输入x=−1，则m=________，n=________；
(2)若得到m=6，求输入的x值及相应n的值；
(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？
【答案】(1)m=2，n=1
(2)x=−2，n=12
(3)xx+32，
解得：x0，且a、b均为整数，
∴a=4b=4或a=7b=2，
4+4=8，7+2=9
即小明共买了8杯或9杯．
B组 培优提升练
一、单选题
1．（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足b=3−2a=c−3a，则下列式子正确的是（ ）．
A．a−c=3B．0≤a≤3C．b+2c=6D．3≤c≤4.5
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：由3−2a=c−3a，得c−a=3，
故A选项错误，
∵b≥0，
∴3−2a≥0，
∴0≤a≤32，故B选项错误，
b+2c=c−3a+2c=3c−3a=3c−a=9，故C选项错误
∵c−a=3，
∴c=3+a，
∴3≤c≤4.5，故D选项正确，
故选：D．
2．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组2x−y=2m−1x−2y=n的解满足x+y=−4，则4m÷2n的值为（ ）
A．8B．18C．6D．−6
【答案】B
【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用①−②得：x+y=2m−n−1，即可得到2m−n=−3，再将4m÷2n=22m÷2n=22m−n，代入即可得到答案．
【详解】解：2x−y=2m−1①x−2y=n②
①−②得：x+y=2m−n−1，
∴x+y=−4，
∴2m−n−1=−4，
∴2m−n=−3，
∴4m÷2n=22m÷2n=22m−n=2−3=18，
故选：B．
3．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知分式方程5x+2+1=a+xx+2的解为x=3，则a的值为（ ）
A．2B．3C．7D．13
【答案】C
【分析】本题考查分式方程解的意义，将x=3代入分式方程后即可得出答案．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．也考查了解一元一次方程．
【详解】解：∵分式方程5x+2+1=a+xx+2的解为x=3，
∴53+2+1=a+33+2，
解得：a=7，
∴a的值为7．
故选：C．
4．（2025·黑龙江牡丹江·二模）某学习小组在研究数学问题时发现：方程x+y=2只有1组正整数解，方程x+y=3只有2组正整数解，方程x+y=4只有3组正整数解…那么方程x+y+z=9的正整数解有（ ）
A．9组B．28组C．36组D．45组
【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把x+y看作整体t，得到t+z=9的正整数解有7组；再分析x+y分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【详解】解：令x+y=tt≥2，
则t+z=9的正整数解中t的值可以为：2，3，4，5，6，7，8，
∴t+z=9的正整数解有7组，
又∵x+y=t=2的正整数解有1组；
x+y=t=3的正整数解有2组；
x+y=t=4的正整数解有3组；
x+y=t=5的正整数解有4组；
x+y=t=6的正整数解有5组；
x+y=t=7的正整数解有6组；
x+y=t=8的正整数解有7组；
∴方程x+y+z=8的正整数解组数为：1+2+3+4+5+6+7=28．
故选：B．
5．（2025·河北·模拟预测）某公司科研部计划抽调100名工程师，组建A，B，C三种型号的研发小组共8个．下表是三种型号需要的工程师人数：
若每名工程师只能在一个小组进行研发，且每种型号的研发小组至少有2个．
给出下列结论：
①若100名工程师恰好全部编入研发小组，则A型号的研发小组的个数为4个；
②若100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，且要求C型号研发小组的数量最多，则可组建A，B，C型号的研发小组个数分别为2，2，4．
则下列正确的是（ ）
A．①对，②错B．①错，②对
C．①②均错误D．①②均正确
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组与三元一次方程组的应用，设A型小组数为x，B型为y，C型为z，根据题意可得x+y+z=8，16x+9y+9z=100，得出x=4，即可判断①；设硬件工程师总数为H，软件工程师为S，根据100名工程师中硬件工程师比软件工程师多2名，得出硬件工程师有49人，根据组建A，B，C型号的研发小组个数分别为2，2，4，需要硬件工程师50人，进而即可判断②，即可求解．
【详解】解：①每个小组的工程师需求：
A型：12+4=16人
B型：5+4=9人
C型：4+5=9人
设A型小组数为x，B型为y，C型为z．
根据条件：x+y+z=8①；x≥2， y≥2， z≥2
16x+9y+9z=100②
由①得：y+z=8−x，代入②：
16x+9(y+z)=100
16x+9(8−x)=100
16x+72−9x=100
7x=28
解得：x=4
∴y+z=4，且 y≥2， z≥2，
所以 y=2， z=2 或 y=3， z=1（不满足 z≥2）等，
唯一解是 y=2， z=2．
因此，A型小组数为4个，结论①正确；
②设硬件工程师总数为H，软件工程师为S，依题意，
H+S=100H=S+2：
解得：S=49，H=51
设A型小组数为x，B型为y，C型为z．
当组建A，B，C型号的研发小组个数分别为2，2，4时，
需要硬件工程师人数为：2×12+2×5+4×4=506300>6060，
∴最省钱的购买方式是先用方案一购买20副羽毛球拍，再用方案二购买340个羽毛球．
14．（2025·重庆·模拟预测）春节期间，为迎接“新春大庙会”的到来，重庆某商家推出了两款具有重庆特色的伴手礼盒，分别是重庆坝坝茶和千年非遗荣昌陶．其中，坝坝茶的售价为200元一盒，荣昌陶的售价为300元一盒．已知在1月份商家技售价销售两款商品共300件，且销售额不低于85000元．
(1)求1月份至多卖出坝坝茶多少盒？
(2)随着春节即将结束，2月份商家推出了促销活动．在1月份的售价基础上，每盒坝坝茶的售价降低a%，每盒荣昌陶进行九折促销活动．现已知2月份坝坝茶的销售额为56000元．荣昌陶的销售额为67500元，而两款伴手礼盒的总销量相较1月份增长了1倍，求a的值．
【答案】(1)1月份至多卖出坝坝茶50盒
(2)a=20
【分析】本题考查了一元一次不等式以及三元一次方程组的应用；
（1）设1月份卖出坝坝茶x盒，荣昌陶(300−x)盒，根据题意1月份总销售额至少为85000元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解；
（2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为200(1−a%)元，荣昌陶每盒售价变为300×0.9=270元，设2月份卖出坝坝茶x盒，荣昌陶y盒，根据题意可得200(1−a%)x=56000270y=67500x+y=600，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：设1月份卖出坝坝茶x盒，荣昌陶(300−x)盒．
根据题目描述，1月份总销售额至少为85000元，即200x+300(300−x)≥85000．
化简得到200x+90000−300x≥85000，
即−100x≥−5000，
解得：x≤50．
答：1月份至多卖出坝坝茶50盒．
（2）2月份的促销中，坝坝茶每盒售价变为200(1−a%)元，荣昌陶每盒售价变为300×0.9=270元．
设2月份卖出坝坝茶x盒，荣昌陶y盒，根据2月份总销量相较1月份增长了1倍，即x+y=600．
根据2月份的销售数据，可建立方程组
200(1−a%)x=56000①270y=67500②x+y=600③
由②可得y=67500270=250．
由于x+y=600，得到x=600−250=350．
将x=350代入方程①中解出a的值：200(1−a%)×350=56000，
即(1−a%)=56000200×350=0.8．
解得a=20．
15．（2025·福建泉州·二模）日常生活收纳物品时，人们通常以空间利用率（空间利用率=物品实际占用体积容器体积×100%）来衡量收纳效果．如图，某长方体储物箱的内部尺寸为长40cm，宽20cm，高25cm，收纳口在储物箱的上方．现计划收纳A，B两种长方体物品（数量足够多），其中A物品的尺寸为长20cm，宽10cm，高4cm，B物品的尺寸为长10cm，宽5cm，高3cm．
根据实际要求，收纳物品时，储物箱内的同一层只能以同一种方式摆放同一种物品，不同层可以改变摆放方式，但物品的叠加高度不得超过储物箱的高度，物品叠加时储物箱及物品都不会产生形变．A物品可选择方式①②③进行摆放，B物品只按方式④进行摆放．
阅读以上材料，完成下列问题：
(1)若储物箱只收纳A物品且以方式①摆放，求储物箱最多可收纳A物品的数量（单位：件）；
(2)若储物箱同时收纳A，B两种物品且A物品以方式①摆放，请你判断储物箱的空间利用率是否可以达到100%．若能，请分别求出收纳A，B两种物品的数量（单位：件）；若不能，请说明理由；
(3)若储物箱同时收纳A，B两种物品，且箱子的承重量足够，已知每个A物品重0.6kg，每个B物品重0.1kg，现选择其中若干种摆放方式进行组合，请你直接写出一种空间利用率最大的组合方式及收纳物品的总重量．（要求：组合方式及收纳物品的总重量的回答格式：如“一层①和两层④组合，总重量***kg”、“一层①、两层②、一层③组合，总重量***kg”；本题将综合考虑“空间利用率最大”和“收纳物品的总重量”给分，空间利用率不是最大的不得分，空间利用率最大但总重量不是最大的酌情得分，空间利用率最大且总重量最大的才能得满分．）
【答案】(1)储物箱最多可收纳A物品24件
(2)空间利用率可以达到100%，A物品有4件，B物品有112件或A物品有16件，B物品有48件
(3)三层①，一层②，一层④组合，总重量14.8kg
【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用、阅读理解以及方案选择等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）依题意可算出每层摆放4件，再由高度计算可摆放6层，据此求解；
（2）根据题意可知每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙，进而可设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，得到4x+3y=25，求整数解即可；
（3）依题意，列举方案，逐一比较即可．
【详解】（1）解：因为4020×2010=4，
所以每一层以方式①摆放4件A物品且无空隙，
因为25÷4=614，
所以最多可摆放6层，
所以储物箱最多可收纳A物品24件；
（2）解：空间利用率可以达到100%，理由如下：
因为4010×205=16，
所以每一层以方式④摆放16件B物品且无空隙．
设以方式①摆放A物品x层，以方式④摆放B物品y层，
依题意，得4x+3y=25，
所以x=1y=7或x=4y=3，
当x=1，y=7时，A物品有4件，B物品有112件：
当x=4，y=3时，A物品有16件，B物品有48件；
（3）解：三层①，一层②，一层④组合，总重量14.8kg．
有以下四种组合方式：
（i）三层①，一层②，一层④组合：
因为3×4+1×4020×204=22，1×16=16，
所以共收纳A物品22件，B物品16件
因为22×0.6+16×0.1=14.8，
此时总重量为14.8kg；
（ii）四层①，三层④组合：
因为4×4=16，3×16=48，
所以共收纳A物品16件，B物品48件，
因为16×0.6+48×0.1=14.4，
此时总重量为14.4kg；
（iii）一层②，五层④组合：
因为1×10=10，5×16=80，
所以共收纳A物品10件，B物品有80件，
因为10×0.6+80×0.1=14，
此时总重量为14kg；
（iv）一层①，七层④组合：
因为1×4=4，7×16=112，
所以共收纳A物品4件，B物品有112件．
因为4×0.6+112×0.1=13.6，
此时总重量为13.6kg．
综上可知，空间利用率最大的组合方式为三层①，一层②，一层④组合，总重量14.8kg．
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
143
4
103
83
2
43
…
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
112
4
52
1
−12
-2
…
x
1
2
…
y
2
−1
…
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
次数口味
茉莉
桂花
蜜桃
总价
第一次
2杯
3杯
4杯
126元
第二次
4杯
3杯
2杯
120元
车型
A
B
汽车运载量（吨/辆）
5
8
汽车运费（元/辆）
600
800
习题1
习题2
2x+13−1=x+12
4x+2−1=3x+3…………第一步
4x+1=3x+3…第二步
4x−3x=2…………．第三步
x=2……………．第四步
x(x−4)=2(x−4)整理，得x²−6x=−8……………第一步
∵a=1，b=−6，c=−8，…………第二步
∴b2−4ac=68>0，…第三步
∴方程有两个不相等的实数根，
即x1=3+17,x2=3−17⋯第四步
口味
次数
多肉葡萄
生椰西瓜
芝士奶盖
总价
第一次
2杯
3杯
4杯
129元
第二次
4杯
3杯
2杯
123元
型号
硬件工程师
软件工程师
A型
12
4
B型
5
4
C型
4
5
问题情境
为了举行羽毛球比赛，学校需要提前购买20副羽毛球拍和若干个羽毛球（不少于60个）．
素材1
羽毛球拍：150元/副
羽毛球：10元/个
素材2
方案一：每买一副羽毛球拍赠送3个羽毛球．
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按标价的九折销售．
任务1
若方案一和方案二费用一致，你知道学校购进了多少个羽毛球吗？
任务2
现已知方案一和方案二既可以单独使用，也可以同时使用．若学校需要购进400个羽毛球，请为学校设计最省钱的购买方式．