专题2.1 一次方程（组）及其应用（举一反三复习讲义）-【题+答案】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc2939" 【考点一 等式的基本性质】 PAGEREF _Tc2939 \h 2
\l "_Tc17624" 【题型1 根据等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc17624 \h 2
\l "_Tc29652" 【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】 PAGEREF _Tc29652 \h 6
\l "_Tc6937" 【考点二 一元一次方程的解】 PAGEREF _Tc6937 \h 8
\l "_Tc30800" 【题型3 解一元一次方程】 PAGEREF _Tc30800 \h 9
\l "_Tc22662" 【题型4 由一元一次方程的解求参数】 PAGEREF _Tc22662 \h 11
\l "_Tc15749" 【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】 PAGEREF _Tc15749 \h 13
\l "_Tc30224" 【考点三 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc30224 \h 15
\l "_Tc27790" 【题型6 根据实际问题抽象出一元一次方程】 PAGEREF _Tc27790 \h 17
\l "_Tc25768" 【题型7 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc25768 \h 19
\l "_Tc30154" 【考点四 二元一次方程（组）的解】 PAGEREF _Tc30154 \h 21
\l "_Tc29060" 【题型8 二元一次方程（组）的相关概念】 PAGEREF _Tc29060 \h 23
\l "_Tc24232" 【题型9 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc24232 \h 25
\l "_Tc27960" 【题型10 由二元一次方程组解的情况求参数】 PAGEREF _Tc27960 \h 27
\l "_Tc6849" 【题型11 二元一次方程组的同解问题】 PAGEREF _Tc6849 \h 29
\l "_Tc13547" 【题型12 构造二元一次方程组求解】 PAGEREF _Tc13547 \h 32
\l "_Tc13005" 【考点五 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc13005 \h 34
\l "_Tc30199" 【题型13 根据实际问题抽象出二元一次方程（组）】 PAGEREF _Tc30199 \h 35
\l "_Tc20536" 【题型14 二元一次方程（组）的应用】 PAGEREF _Tc20536 \h 37
\l "_Tc1962" 【考点六 三元一次方程组】 PAGEREF _Tc1962 \h 41
\l "_Tc14944" 【题型15 三元一次方程组的定义及其解】 PAGEREF _Tc14944 \h 42
\l "_Tc21518" 【题型16 三元一次方程组的实际应用】 PAGEREF _Tc21518 \h 44
【考点一 等式的基本性质】
知识点1 等式的性质
【题型1 根据等式的性质判断正误】
【例1】（2025·安徽滁州·三模）已知实数x，y，z满足x+y+z>0,4x−2y+z=0且zzD．4xz>y2
【答案】C
【分析】本题主要考查等式的变形、不等式的性质以及完全平方公式的运用．解题关键在于利用已知等式进行合理变形，将z用x、y表示后，代入不等式得出变量间的大小关系；同时，对于判断4xz与y2的大小关系，通过对4xz−y2进行配方变形，利用完全平方的非负性来判断．本题给出了关于x、y、z的两个等式x+y+z>0和4x−2y+z=0以及z0中，得到x与y的大小关系．然后根据z0①．
∴2x>y，故A错误．
∵x+y+z>0,z=2y−4x,
∴x+y+2y−4x>0，即y−x>0．
∴y>x②，故B错误．
由①②，得y23c，故C错误，不符合题意；
D．∵13a−112b=14c，
∴13a−14c=112b，
∴4a−3c=b，
∵a+c=1123a−b+4c，
∴12a+12c=3a−b+4c，
∴b=−9a−8c，
∵4a−3c≠−9a−8c，
∴由13a−112b=14c得不出a+c=1123a−b+4c，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论正确的是（ ）
①若c≠0，则1a+1b=1；②若a=3，则b+c=9；③若a=b=c，则abc=0；④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．
【详解】解：①∵a+b=ab=c≠0，则等式a+b=ab两边除以ab，可得1a+1b=1，故①正确；
②若a=3，则3+b=3b,解得b=32，
∴c=3×32=92，
∴b+c=6，故②错误；
③若a=b=c，则2a=a2=a,
∴a=0，
∴abc=0，故③正确；
④∵a、b、c中只有两个数相等，
当a=b时，有2a=a2，
解得a1=0，a2=2，
当a=0时，a=b=c=0不合题意，
当a=2时，b=2，c=4，
∴a+b+c=8，
当a=c时，得a+b=c,则b=0，
此时a=b=c=0不符合题意，
当b=c时，a=0，此时a=b=c=0，不符合题意；
故只能是a=b=2，c=4，故④正确
其中正确的是①③④．
故选：C．
【题型2 利用等式的性质解决天平类问题】
【例2】（2025·广东江门·模拟预测）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ）

A．▲▲▲▲B．▲▲▲▲▲C．●●▲D．●▲▲▲
【答案】A
【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到2a=b+c，a+b=c进而推出a=2b，c=3b，由此即可得到答案．
【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，
由左边第一幅图可知a+c=2b①，由中间一幅图可知b+c=a②，
∴①−②得a−b=2b−a，
∴2a=3b，
∴a=32b，
由②得，c=a−b=32b−b=12b，即b=2c
∴a=3c
∴a+b=5c，故A不正确，B正确，
a+b=3c+b=2c+b+c=b+b+c=2b+c，故C，D正确，
故选A ．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到a=3c，b=2c是解题的关键．
【变式2-1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】B
【分析】考查了等式的性质的应用．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图1列出等式，然后由等式的性质参照图2进行答题．
【详解】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，
则3y+2x=2y+3z，即y+2x=3z．
所以2y+4x=6z．
所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．
故选：B．
【变式2-2】（2024·河北保定·二模）如图，天平两次均处在平衡状态．设“▲”的质量为a，“★”的质量为b，则a与b的大小关系为（ ）
A．abD．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质，读懂题意是解题的关键，根据图中，在天平两边分别加上“▲”和“★”之后，两边质量相等即可得出结论．
【详解】解：根据图中，在天平两边分别加上“▲”和“★”之后，两边质量相等，
即a=b，
故选：B．
【变式2-3】（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（ ）
A．如果a+c=b+c，那么a=bB．如果a=b，那么a+c=b+c
C．如果2a=2b，那么a=bD．如果a=b，那么2a=2b
【答案】A
【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案．
【详解】解：由图形可得如果a+c=b+c，那么a=b，
故选：A．
【考点二 一元一次方程的解】
知识点2 一元一次方程的概念
1. 一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程．
例如：x=1，2x−1=x+2，y+5=y2等都是一元一次方程．
2. 一元一次方程的最简形式为x=ba(a≠0)．
3. 一元一次方程的标准形式为ax+b=0(a≠0)．
知识点3 解一元一次方程的步骤
知识点4 解含有绝对值的方程
根据“x=a，则x=±a”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：2x+1=3−5x，去绝对值符号，得2x+1=±(3−5x)，即2x+1=3−5x或2x+1=−3+5x，解得x=27或x=43．
【题型3 解一元一次方程】
【例3】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程xx−2−x−32−x=1过程如下：
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
【答案】(1)错误，错误
(2)x=1，过程见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
（1）根据解分式方程的步骤进行判断即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误，
故答案为：错误，错误；
（2）解：xx−2−x−32−x=1
x+x−3=x−2
x+x−3=x−2
x=1
经检验，当x=1时，x−2=−1≠0，
∴x=1是分式方程的解．
【变式3-1】（2025·四川乐山·二模）一元一次方程x−3=0的解是（ ）．
A．−3B．3C．−2D．2
【答案】B
【分析】此题考查了解一元一次方程，通过移项求解一元一次方程即可．
【详解】解：∵ x−3=0，
∴ x=3
故选：B
【变式3-2】（2025·湖北·模拟预测）当x= 时，代数式5x−78的值是0．
【答案】75/1.4
【分析】本题主要考查了代数式的值为零的条件，掌握代数式的值为零的条件是解题的关键．
根据代数式的值为零的条件列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：5x−78=0，
∴5x−7=0，
解得：x=75．
故答案为：75．
【变式3-3】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义a∗b=3a−b，若2∗(5−x)=1，则x= ．
【答案】0
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确理解新定义是解题的关键．
根据新定义可得a=2,b=5−x，进而列出方程6−5−x=1，即可解得x=0．
【详解】解：由题意可知2∗5−x=6−5−x=x+1=1，得x=0．
故答案为：0．
【题型4 由一元一次方程的解求参数】
【例4】（2025·北京·模拟预测）若关于x的方程2kx+m3=x−nk6+2，无论k为任何数时，x=3总是它的解，那么m+n= ．
【答案】−92
【分析】本题主要考查了一元一次方程．先将x=1代入原方程得，根据无论k为任何数时12+nk=15−2m恒成立，可得k的系数为0，由此即可求出答案．
【详解】解：将x=3代入2kx+m3=x−nk6+2，
∴ 6k+m3=3−nk6+2，
∴12+nk=15−2m，
由题意可知：无论k为任何数时12+nk=15−2m恒成立，
∴12+n=0，
∴n=−12，m=152，
∴m+n=−92，
故答案为：−92．
【变式4-1】（2025·贵州贵阳·三模）x=2是关于x的一元一次方程ax+5=7的解，则a= ．
【答案】1
【分析】本题考查了方程的解，正确理解方程的解是解题的关键．将x=2代入ax+5=7中，即可求解．
【详解】解：将x=2代入ax+5=7中，得2×a+5=7，
∴a=1，
故答案为：1．
【变式4-2】（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程3x−12+◯=3时，发现正整数“◯”被污染了．
(1)【任务1】若这道题的答案是x=−1，求“◯”代表的正整数；
(2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“◯”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“◯”设为m，通过计算，很快得到了“◯”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“◯”的值．
【答案】(1)5
(2)解题过程见详解；2
【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识．
（1）将x=−1代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论．
【详解】（1）解：将x=−1代入原方程得：3×−1−12+◯=3，
即−2+◯=3
解得：〇=5，
∴“〇”代表的正整数为5；
（2）解：根据题意得3x−12+m=3，
解得：x=7−2m3
又∵x，m均为正整数，
∴m=2x=1
∴“〇”的值为2．
【变式4-3】（2025·江苏镇江·二模）若两个方程的解相差n（n为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“n—方程”．如：方程x−2=0是方程x+3=0的“5—方程”．当a≠0时，关于x的方程ax+b=1是方程ax+c−1=0的“3—方程”，则代数式6a+2b−2c+1的值为（ ）
A．−3B．0C．1D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“n —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“n —方程”的定义得出关于a、b、c的等式，最后代入代数式求值．
【详解】解：∵ax+b=1，a≠0，
∴x=1−ba．
∵ax+c−1=0，a≠0，
∴x=1−ca．
∵方程ax+b=1是方程ax+c−1=0的“3 —方程”，且解较大的为前者，
∴1−ba−1−ca=3．
对1−ba−1−ca=3化简：
1−b−1−ca=3，即1−b−1+ca=3，c−ba=3，
∴c−b=3a，也就是3a+b−c=0．
对6a+2b−2c+1变形可得23a+b−c+1．
把3a+b−c=0代入上式，得2×0+1=1．
故选：C
【题型5 由一元一次方程的解为整数求参数】
【例5】（2025·山东菏泽·二模）已知Px=ax2+bx+c是关于x的整式，我们定义Px的导出整式为Qx=2ax+b．例如，Px=x2+x+3的导出整式为Qx=2x+1．若Px=m2+1x2−2x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Qx=x的解为负整数，则当m为整数时，m= ．
【答案】−3
【分析】本题主要考查定义新概念问题，解体的关键是理解定义新概念及整式的定义．
根据题目已知的定义新概念，写出导出整式，再用m表示出方程x=m+1x−2的解．根据解为负整数，则当m为整数时，即可求出答案．
【详解】解：由导出整式的定义可知，Qx=m+2x−2
∴m+2x−2=x，解得x=2m+1．
由于Qx=x的解为负数，则m+1