2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第9课时 一元二次方程及其应用（知识梳理+经典练习）

这是一份2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题2方程与不等式 第9课时 一元二次方程及其应用（知识梳理+经典练习），共17页。学案主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

定义:含有1个末知数,并且末知数的最高次数为2的整式方程,其一般形式为
注意:一元二次方程一般式中的隐含条件为
2.一元二次方程的解法
直接开平方法:它适合于或形式的方程.
配方法:通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法,叫做配方法.
注意:配方的关键是在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方.
公式法:一元二次方程的求根公式是
因式分解法:把方程化为,得或的形式.
注意:常用因式分解的方法有提公因式法、公式法.
3.一元二次方程根的判别式
对关于的一元二次方程的根的判别式.
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程没有实数根;
注意:在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不为0这个限制条件.
4.一元二次方程根与系数的关系
根与系数关系:一元二次方程的两个根为,
则
注意:
(1)一元二次方程的根与系数的关系为:两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根的积等于常数项与二次项系数的比;
(2)利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式.
第9课时一元二次方程及其应用
姓名：___________学号：___________
一、单选题
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．x2﹣2＝（x+1）（x+2）
C．（k2+1）x2﹣＝0D．（k2﹣1）x+4k+6＝0
2．方程2x2+x＝3的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，0，3B．2，1，3C．2，0，﹣3D．2，1，﹣3
3．方程x22x3=0的一个实数根为m，则2022m2+2m的值是( )
A．2022B．2021C．2020D．2019
4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ）
A．2或-2B．2C．-2D．
5．用配方法解方程x2﹣8x＋2＝0，配方后的方程是（ ）
A．（x﹣4）2＝14B．（x﹣4）2＝2C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣1）2＝﹣7
6．下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2＋2x＋1＝0B．x2﹣x＋2＝0C．x2＋2x＝0D．2x2﹣x﹣1＝0
7．关于x的方程kx2+（2k﹣1）x+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣B．k≥﹣且k≠0C．k＞﹣D．k＞﹣且k≠0
8．已知方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1、x2，则x1＋x2－x1x2的值为（ ）
A．－7B．－3C．3D．7
9．某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
10．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
11．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染x个人，可到方程为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣2x）（20﹣x）=570B．32x+2×20x=32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D．32x+2×20x﹣2x2=570
二、填空题
13．方程 x2-4x=0的实数解是 ____．
14．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
15．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________.
16．设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______.
17．方程的两个根为、，则的值等于______．
18．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
三、解答题
19．解下列方程：
（1）2x2﹣5x﹣1＝0；
（2）（x﹣2）（x+5）＝18；
（3）（x﹣1）2＝4；
（4）x（x+2）＝2（x+2）2．
20．已知关于x的方程x2+2kx+k2-1=0
（1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2021的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23．沈阳街头随处可见单车出行，单车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，据统计2021年某区8月份租用单车次数6400辆，10月份租用单车次数10000辆．
（1）若该区2021年8月至10月的单车租用次数的月平均增长率相同，求该区单车租用次数的月平均增长率是多少？
（2）若单车租用次数的月平均增长率保持不变，预计该区11月份单车次数租用 辆．
24．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
25．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
26．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
参考答案
1．C
【分析】
根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）进行判断．
【详解】
解：A、ax2＋bx＋c＝0，当a＝0时，方程不是一元二次方程，故本选项错误；
B、x2﹣2＝（x+1）（x+2）化简得-2=3x+2,方程不是一元二次方程，故本选项错误；
C、（k2+1）x2﹣＝0，满足一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、（k2﹣1）x+4k+6＝0，当k＝±1时，方程不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2＋bx＋c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．D
【分析】
先把方程化为一般式得到2x2+x−3＝0，然后便可得到二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】
解：先化为一般式为2x2+x−3＝0，
所以二次项系数为2、一次项系数为1、常数项为−3．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为常数，且a≠0），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项，掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
3．D
【分析】
利用一元二次方程根的定义得到m2−2m＝3，然后利用整体代入的方法计算2022m2+2m的值．
【详解】
解：∵方程x22x3=0的一个实数根为m，
∴m2−2m-3=0，
∴m2−2m＝3，
∴2022m2+2m＝2022-3＝2019．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．C
【分析】
由题意可知，将代入方程，求解即可．
【详解】
解：由题意可知：，即
将代入方程得，解得
∴
故选C
【点睛】
此题考查了一元二次方程的根与概念，解题的关键是理解一元二次方程根的意义，易错点是容易忽略二次项系数不能为0．
5．A
【分析】
把方程左边化为完全平方公式的形式即可得出结论．
【详解】
解：原方程可化为，即．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是利用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式．
6．B
【分析】
根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】
解：A．方程x2＋2x＋1＝0的根的判别式为：，
方程有两个相等的实数根；
B．方程x2﹣x＋2＝0的根的判别式为：，
所以，方程x2﹣x＋2＝0没有实数根，
C．方程x2＋2x＝0的根的判别式为：，
所以，方程有两个不相等的实数根，
D．方程2x2﹣x﹣1＝0的根的判别式为：，
所以，方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是熟练求出根的判别式的值，根据它判断根的情况．
7．A
【分析】
根据题意可分当k=0时和k≠0时进行分类结合一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】
解：由题意得：
当k=0时，方程变为-x-3=0，方程有解，符合题意；
当k≠0时，则根据一元二次方程根的判别式可得：，
解得：，
综上所述：k的取值范围为；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式的求解是解题的关键．
8．C
【分析】
利用x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，，求解即可．
【详解】
解：∵方程x2－5x＋2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝2，
∴x1＋x2－x1x2＝5−2＝3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，．
9．A
【分析】
由题意2019年用水总量为亿立方米，2020年用水总量为亿立方米，从而可得x满足的方程．
【详解】
解：由题意可得：
2019年用水总量为亿立方米，
2020年用水总量为亿立方米，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解年平均降低率的含义．
10．B
【分析】
设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】
解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
11．D
【分析】
平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，第一轮有（x+1）人患流感，第二轮共有x+1+（x+1）x人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【详解】
x+1+（x+1）x=81
整理得，（1+x）2=81．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
12．A
【详解】
六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程:(32−2x)(20−x)=570，
故选A.
13．x1=0，x2=4．
【分析】
方程利用因式分解法求出解即可．
【详解】
解：方程x2-4x=0，
分解因式得：x（x-4）=0，
可得x=0或x-4=0，
解得：x1=0，x2=4．
故答案为：x1=0，x2=4．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．2
【详解】
【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2，
故答案是：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．
15．16
【详解】
分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长．
详解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为16．
点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
16．5
【详解】
试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2，
∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5
考点：根与系数的关系
17．3．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】
解：根据题意得，，
所以===3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若、是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
18．6或10或12
【分析】
首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算．
【详解】
由方程，得=2或4．
当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；
当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；
当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．
综上所述此三角形的周长是6或12或10．
19．（1）x1=，x2=；（2）x1=-7，x2=4；（3）x1=3，x2=-1；（4）x1=-2，x2=-4．
【分析】
（1）根据公式法，即可求解；
（2）先化简一元二次方程，再利用因式分解法求解即可；
（3）利用直接开平方法即可求解；
（4）利用因式分解法即可求解．
【详解】
（1）2x2﹣5x﹣1＝0，
∵a=2，b=-5，c=-1，
∴x==，
∴x1=，x2=；
（2）（x﹣2）（x+5）＝18，
整理得：x2+3x-28=0，
∴（x+7）（x-4）=0，
∴x1=-7，x2=4；
（3）（x﹣1）2＝4，
开平方得：x-1=±2，
∴x1=3，x2=-1；
（4）x（x+2）＝2（x+2）2，
因式分解得：（x+2）[x-2(x+2)]=0，即：（x+2）（-x-4）=0，
∴x1=-2，x2=-4．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法，直接开平方法和公式法解方程，是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）2005
【分析】
（1）计算出判别式的值，根据判别式的值即可得到结论；
（2）把方程的根代入方程中，可得关于k的等式k2+6k=-8，用整体代入法即可求得代数式的值．
【详解】
（1）∵b2-4ac=4k2-4（k2-1）=4k2-4k2+4=4＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）∵方程有一个根为3，
∴32+2k×3+k2-1=0，
∴k2+6k=-8，
∴2k2+12k+2021=2（k2+6k）+2021=2005
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的概念及求代数式的值．根据判别式的符号可以判定一元二次方程解的情况，这是必须要掌握的．求代数式的值时用到了整体思想．
21．（1）k≤；（2）k=﹣1．
【详解】
【分析】（1）根据方程有实数根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
【点睛】本题考查了根的别式、根与系数的关系，利用完全平方公式将根与系数的关系的代数式变形是解题中一种经常使用的解题方法.
22．(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．
【详解】
试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
考点：一元二次方程的应用．
23．（1）25%；（2）12500
【分析】
（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，根据等量关系：8月份租用单车次数×（1+增长率）2=10月份租用单车次数，即可列出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据：10月份租用单车次数×（1+月平均增长率）即可得11月份单车租用次数的辆数．
【详解】
（1）设该区单车租用次数的月平均增长率是x，则由题意可得：
解方程，得：或（舍去）
即该区单车租用次数的月平均增长率是25%；
（2）（辆）
即11月份单车次数租用12500辆；
故答案为：12500．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系并列出方程是关键．
24．（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
【详解】
分析：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
详解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1200，
整理，得x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
∴x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
点睛：此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
25．10，8．
【详解】
试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的一边的长为m，由题意得出方程 求出边长的值．
试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m，可以得出平行于墙的 一边的长为m，由题意得 化简，得，解得：
当时，（舍去），
当时，，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
考点：一元二次方程的应用题．
26．（1）4元或6元；（2）九折.
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240，
化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元），.
答：该店应按原售价的九折出售.