初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理练习题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）1 三角形内角和定理练习题，共31页。

【题型1 三角形内角和定理的证明】
1.在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A．如图①所示，过点作
B．如图②所示，过点作
C．如图③所示，过点作、垂足为点
D．如图④所示，过边上点作，
2.回答下列问题．
(1)小明在预习说明“三角形内角和等于”一节课时，抄写了如下预习笔记，不小心漏抄了部分理由，请你将漏抄的理由填写完整：

解：过顶点A作，
，（所作）
，．（____）
点E，A，F在同一条直线上（所作），
．（____）
．（____）
(2)请你用不同的方法说明“三角形内角和等于”

3．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
理由：由操作可知，所以（__________）．
同理，，
所以__________∥__________．
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上，
所以__________，
即__________+__________=__________．
4.阅读材料：为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法回答下列问题：

(1)图①，②在证明三角形内角和的过程中应用的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．整体思想 C．方程思想 D．数形结合思想
(2)请选用③或④证明三角形的内角和为．
【题型2利用三角形内角和定理求角的度数】
5．如图，，，．
（1） ；
（2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．

6.如图，直角中，，分别是的角平分线，则 ．

7．如图所示，在中，，、分别平分，，则等于 ．

8.如图，在中，的平分线交于点是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数分别 ．

【题型3 三角形折叠中的角度问题】
9.如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
10.如图，中，，边上有一点，使得，将沿翻折得，此时，则 度．

11.如图，在中，，点D、E分别是，上一点，将沿折叠，使点A落在点F处，已知，的度数 ．

12.如图，在中，∠B=90°，，D是的中点，点E是边上一个动点，将沿翻折，使点A落在点处，当时，的度数为 ．

【题型4 三角形的外角的定义与性质】
13.如图，的补角等于，，则 ．
14.如图所示，，，，则 ．
15.如图，是∆ABC的外角的角平分线，且交的延长线于点．若，则 ．（结果用含有的式子表示）
16.如图，和是∆ABC的外角，，，若，则 ．
【题型5 三角形的内角和与外角的综合问题】
17.如图，分别是∆ABC的两个外角．
(1)若，求的度数．
(2)若，请用含的代数式表示的度数．
18.如图，在∆ABC中，的平分线与的平分线相交于点P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数；
(3)直接写出与的数量关系为____________．
19.如图，在∆ABC中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则______°，_____°；
(2)求证：；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数．
20.如图，等腰∆ABC中，，点P是边上的一个动点不与B，C重合，连接，在边上取一点Q，使得，连接，
(1)若，，求的度数；
(2)若，，请用含x的代数式表示的度数；
(3)由（1）（2）的结论，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【题型6 多边形内角和问题】
21.一个六边形的内角和等于 度．
22.若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ．
23.若六边形的内角中有一个内角为，则其余五个内角之和为 ．
24.图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为 ．
【题型7 多边形对角线的条数问题】
25.八边形的内角和是 ，它共有条 对角线．
26.小宇用计算一个多边形的内角和，则该多边形共 条对角线．
27.如果从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，那么这个边形的内角和是 ．
28.从九边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，九边形共有 条对角线，九边形的内角和为 ．
【题型8 多边形截角后的边数问题】
29.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（ ）
A．或B．或C．或D．或或
30.一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（ ）
A．12B．13C．12或13D．11或12或13
31.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为
32.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，则原多边形的边数是 ．
【题型9 多边形截角后的内角和问题】
33.将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（ ）
A．B．C．或D．或或
34.将一个四边形截去一个角后，所形成的一个新的多边形的内角和是（ ）
A．14B．23C．或 D．或或
35.把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ．
36.从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角和为 ．
【题型10 多边形外角和的实际应用】
37.杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为 ．
38.如图，小明从点A出发，沿直线前进后向左转，再沿直线前进，又向左转……照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了 米．
39.如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米．
40.如图是某品牌的一款木工六角尺，它是一种多角度的测量工具，通常用于木工和其他精细工艺中．此款六角尺各角上标的度数实际是这个角对应的外角大小，已经标出的五个度数有，则未标度数的角处应填 ．
【题型11 多边形内角和与外角和综合】
41.一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ．
42.如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为 ．
43.如图1所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，图2是这种窗棂中的部分图案．若，则的度数为 ．
44.[传统文化]窗棂是中国传统木结构建筑的框架结构设计，窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成种类繁多的优美图案．现有一造型独特的窗体设计如下图，已知，，则 ．
参考答案
【题型1 三角形内角和定理的证明】
1.C
解：如图①所示，过点作，
，，
，
故图①能证明“三角形内角和是”，
故A选项不符合题意；
如图②所示，过点作，
，，
，
故图②能证明“三角形内角和是”，
故B选项不符合题意；
如图③所示，过点作、垂足为点，
只能证明，
故图③无法证明“三角形内角和是”，
故C选项符合题意；
如图④所示，过边上点作，，
四边形是平行四边形，，，
，
，
故图④能证明“三角形内角和是”，
故D选项不符合题意．
故选：C．
2.（1）解：过顶点A作，
，（所作）
，．（两直线平行，内错角相等．）
点E，A，F在同一条直线上（所作），
．（平角的定义）
．（等量代换）
（2）解：如图，延长，过作，

，，
、、在同一条直线上，
，
．
3.解：由操作可知，所以（内错角相等，两直线平行）．
同理，，
所以．
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点，，在同一直线上，
所以，
即．
故答案为：内错角相等，两直线平行；，；180；，，．
4.（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，应用的数学思想是转化思想．
故选：A．
（2）选用④证明三角形的内角和为，理由如下：
如图所示，延长，在延长线上取一点．

∵，
∴，．
又，
∴，
即三角形的内角和为．
【题型2利用三角形内角和定理求角的度数】
5. 70° 40°或80°
（1）∵，，
∴，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，，
∴
当在右边时，

∵，
∴，
∵，
∴，
当在左边时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40°或80°．
6.
解：∵，
∴，
∵分别是的角平分线，
∴，
∴，
由三角形的外角性质得，．
故答案为：．
7.
解：∵在中，，
∴，
∵、分别平分，，
∴，
∴．
故答案为：．
8.，
解：如图所示，，

∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∵∠ABC+∠CBG=180°，∠ACB+∠ECH=180°，
∴，
∴，则，
同理，，
在四边形中，，
∵平分，平分，且，
∴，
∴在中，，
故答案为：，．
【题型3 三角形折叠中的角度问题】
9.D
解：∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
∴，
故选：D.

10.
解：设，由折叠知
∵，
∴.
∵
∴,得．
∴．
故答案为：
11.
解：由折叠可知：，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
12.或
分两种情况讨论：
①点位于直线的下方，延长，交于点H．如图．

由得，
由∆ADE沿翻折为，
∴
∴，
由得，
∴．
∴．
②点位于直线的上方，连接，交于点M．如图．

由得，
∴．
由得．
∴．
综合①②可知，或
故答案为：或．
【题型4 三角形的外角的定义与性质】
13.
解：的补角等于，
，
，
．
故答案为：．
14.
解：延长交于点．
∵是∆BDE的外角，
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
15.
解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16.135
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【题型5 三角形的内角和与外角的综合问题】
（1）解：∵分别是∆ABC的两个外角，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵分别是∆ABC的两个外角，
∴，
∴，
∵，，
∴．
18.（1）解：在∆ABC中，
，
∵、分别平分、，
∴
，
在中，
；
（2）解：由图可得，，，
∵、分别平分和，
∴，
，
∴
，
∴在中，
；
（3）解：设，
在∆ABC中，，
∵、分别平分、，
∴
，
在中，
，
∵，，
又∵、分别平分这两个外角，
∴
，
在中，
，
∴．
故答案为：．
19.（1）解：，，
，
平分，
，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，即，
．
答：，．
（2）证明：设，则．
，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，即，
，
．
（3）解：设，则，．
,
可分类讨论：
①当时，
，
解得，
；
②当时，
，
解得，
③当时，
，
解得，
;
④当时，
，
解得，
综上可知或或或．
答：的度数为或或或．
20.（1）解：是的一个外角，
，
是∆BPQ的一个外角，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：是的一个外角，
，
，
是∆BPQ的一个外角，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，理由如下：
由题意，设，
是的一个外角，
，
，
是∆BPQ的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
，即．
【题型6 多边形内角和问题】
21.720
解：六边形的内角和为，
故答案为：720．
22.8
解：设多边形边数有条，由题意得：
解得：，
故答案为：8．
23./度
解：依题意，六边形的内角和：，
则其余五个内角之和，
故答案为：．
24.
解：八边形的内角和为：，
故选：．
【题型7 多边形对角线的条数问题】
25. /1080度
八边形的内角和是，它共有条对角线．
故答案为：，20
26.9
解：
（条）．
故答案为：9．
27.
解：∵从一个边形的一个顶点出发，最多能引出7条对角线，
∴，
∴，
∴这个边形的内角和是，
故答案为：．
28.
解：对于九边形，共有9个顶点，由对角线定义可知，从九边形的一个顶点出发，除去这个点本身及这个点左右相邻的两个顶点（共计3个顶点）不能构成对角线以外，剩余的6个顶点均可以与选中的顶点连线构成对角线，则从九边形的一个顶点出发，可以引6条对角线；
从九边形的一个顶点出发，可以引出6条对角线，当不考虑重复情况时，9个顶点可以引出条对角线，若是九边形的两个顶点，则从顶点引出的一条对角线必定与从顶点引出的一条对角线重合，从而确定九边形共有条对角线；
由多边形内角和定理可知，九边形的内角和为，
故答案为：．
【题型8 多边形截角后的边数问题】
29.D
解：设多边形截去一个角的边数为，
则，
解得，
多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少，
原来多边形的边数是或或．
故选：．
30.D
解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得：
又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
原多边形的边数为11或12或13．
故选：D．
31.、、
设内角和为的多边形的边数是，
于是有，
解得，
∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1，
即原多边形的边数为或或；
故答案为：、、
32.15，16或17
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则，
解得，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
所以多边形的边数可以为15，16或17．
故答案为：15，16或17．
【题型9 多边形截角后的内角和问题】
33.D
解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或，
其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为，
得到的多边形的内角和是或或，
故选：D．
34.D
如图所示：
多边形截去一个角有三种情况．一种是从两个角的顶点截取，这样就少了一条边，即原四边形变为三角形；
另一种就是从一个边的任意位置和一个角顶点截，那样原多边形边数不变，还是四边形；还有一种是从两个边的任意位置截，那样就多了一条边，即原四边形为五边形；
新的多边形的内角和可能是，或，或．
故选：D．
35.或或
解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，
∵边形的内角和为，
∴，，，
故答案为：或或．
36.或或
解：∵六边形截去一个角后的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7、5、6三种情况，
∴新多边形的内角和为，
，
，
故答案为：或或．
【题型10 多边形外角和的实际应用】
37./360度
解：八边形的外角和为．
故答案为：
38.60
解：，
，
∴一共走了60米，
故答案为：60．
39.300
解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是，
∴多边形的边数为：，
∴一共走的路程为：（米），
故答案为：300．
40.
解：∵多边形的外角和为，
∴未标度数的角处应填：；
故答案为：
【题型11 多边形内角和与外角和综合】
41.6
解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个正多边形的边数是6，
故答案为：6．
42.
解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于，
故，
，
．
故答案为：．
43.
解：由图2可知，，
整理得：，
∴，
故答案为：．
44./80度
解：∵，，
∴，
故答案为：．
如图①，的三个内角分别为．
将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．