北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明1 三角形内角和定理学案设计

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明1 三角形内角和定理学案设计，共10页。学案主要包含了创设情境，典例精析，课堂练习，总结反思，【作业布置】等内容，欢迎下载使用。
► 学习目标与重难点
学习目标：
1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.
2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。
3、会利用三角形的外角性质解决问题.
学习重点：
理解外角的概念，掌握外角的性质， 应用外角性质解决问题.
学习难点：
证明“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”是一个较为抽象的过程，需要学生具备一定的逻辑推理能力.
► 预习自测
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= .
2.在△ABC中，已知∠A： ∠B：∠C= 2：3：5，则. △ABC是 三角形.
3.什么是三角形的内角？其和等于多少？
。
国旗上的五角星的每个角是多少度？
解：连接AC、AB、BC
∵多边形内角和 .
∴∠ABC= .
AB=CB
∠BAC= .
∠BAC= .
∴∠DBE= .
所以国旗上的五角星的每个角是 度
► 教学过程
一、创设情境、导入新课
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相），一共转了多少度？
合作交流、新知探究
1、三角形的外角的概念
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
2、三角形外角的三个特征:
①∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上;
②∠ 1的一条边是三角形的一条边;
③∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线
画一个三角形，并画出它的所有外角。
想一想:
（1）、每一个三角形有几个外角？
（2）、每一个顶点处相对应的外角有几个？
（3）、这些外角中有几个外角相等？
4、三角形的外角的性质
填一填：
（1）如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACD= 130° .
（2）探究∠A、∠B,及外角∠ACD的关系。
解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（ ）
∠ACB+∠ACD=180°（ ）
∴∠ACD=∠A+∠B
三角形内角和定理的推论
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
强调 三角形外角与内角的关系：
（1）位置关系：相邻和不相邻.
（2）数量关系：外角与相邻内角互补，外角大于不相邻的任何一个内角.
三、典例精析
例题1：已知，如图1-7，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外角∠EAD,求证AD∥BC.
证明：
∠EAC=∠B+∠C( ）
∠C= ∠EAC
∵AD平分外角∠EAD,
∴∠DAC= ∠EAC
∴∠C=∠DAC
∴AD∥BC
例题2：已知，如图1-8，P是△ABC中的一点，连接
PB、PC，求证∠BPC＞∠A.
证明一：延长BP∠AC于D
∵∠BPC是△PDC的外角（ ）
∴∠BPC＞∠PDC( ）
∵∠PDC是△ABD的外角（ ）
∴∠PDC＞∠A( ）
∴∠BPC＞∠A.
证明二：在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
在△PBC中,∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠A+∠ABC+∠ACB=∠BPC+∠PBC+∠PCB
∠PBC＜∠ABC，∠PCB＜∠ACB
∴∠BPC＞∠A.
例题3：如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
结论：三角形外角和等于 .
四、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
2.说出下列图形中∠1和∠2的度数：
3、如图：D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求（1）∠B 的度数（2）∠C的度数.
4.已知:如下图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证: ∠1>∠2.
能力提升：
5.如图，探究∠BDC、∠1、∠2、∠3之间的关系
拓展迁移：
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= .
五、总结反思、拓展升华
三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。
三角形外角的三个特征:
1. 的顶点在三角形的一个顶点上;
2. 一条边是三角形的一条边;
3. 另一条边是三角形的某条边的延长线
推论1；三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和
推论2：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
三角形外角和等于360°
六、【作业布置】
基础达标：
如下图所示,求以下各图中的∠1的度数。
2.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
3、如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°.
∠B= ； ∠C= 。
第2题 第3题 第4题
4.如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝ 。
5.如图，类似于三角形，我们称∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4为四边形的外角和，已知四边形的内角和为360º，你能用今天所学的方法进行推理计算吗？能知道多边形的外角和吗?
能力提升：
6、（1）如图（甲），在五角星图形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
（2）、把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问：它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？
拓展迁移：
7.在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC， ∠B=80° ∠C=30 °
1）求∠DAE
2）你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗
3）若只知 ∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE吗？
课堂练习参考答案
×；√；×；√；×；√；
2.∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130
3.解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
所以∠B=80°×=40°
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180º-40º-70º=70°.
4.证明:∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知),
∴ ∠1>∠3( 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ).
∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义).
∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴ ∠1>∠2(不等式的性质).
5.解：延长AD至E
∠CDE是△ADC的外角
∴∠EDC=∠3+∠CAD ①
∠EDE是△ADB的外角
∴∠EDB=∠2+∠BAD ②
①+②得∠EDC+∠EDB=∠3+∠CAD+∠2+∠BAD
而∠EDB+∠EDC=∠BDC,∠CAD+∠BAD=∠1
∴∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
360°
课外作业参考答案
1. ∠1=40° ∠1=120° ∠1=115°
2. B
3. 40°；70°
4. 80°
5.解：连接BD、AC.
∠1=∠ABD+∠ADB ①
∠2=∠BAC+∠BCA ②
∠3=∠CDB+∠CBD ③
∠4=∠DCA+∠DAC ④
①+②+③+④
∠1+∠2+∠3+∠4
=∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠BCA +∠CDB+∠CBD +∠DCA+∠DAC
=∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB+∠BAC+∠ADB+∠BCA +∠DCA
=∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360°
结论：任意多边形的外角和均为360°
6.解：AD与CE相交于F,BD与CE相交于G
甲：在△BEG中
∠FGD=∠E+∠B ①
在△ACF中
∠GFD=∠A+∠C ②
∠D=∠D ③
①+②+③
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠FGD+∠GFD+∠D
=360°
乙：在△BEG中
∠FGD=∠E+∠B ①
在△ACF中
∠GFD=∠CAD+∠C ②
∠D=∠D ③
①+②+③
∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠FGD+∠GFD+∠D
=360°
丙：解：在△BEG中
∠FGD=∠E+∠B ①
在△ACF中
∠GFD=∠A+∠C ②
∠D=∠D ③
①+②+③
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠FGD+∠GFD+∠D
=360°
7.解：（1）
∵∠B=80°,∠C=30°
∴∠BAC=180°-80°-30°=70°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE=35°
∠AED=∠CAE+∠C=65°
∵AD⊥BC，∠ADB=90°
∴∠DAE=90°-∠AED=90°-65°=25°
（2）∠DAE=（β-α）,理由如下
设∠B=α,∠C=β
∴∠BAC=180°-α-β
∵AE平分∠BAC
∴∠CAE=（180°-α-β）=90°-α- β
∠AEB=∠CAE+∠C=90°- α- β+α
∠AED=90°-（β-α）
∵AD⊥BC，∠ADB=90°
∴∠DAE=90°-∠AED=（β-α）
（3）∠DAE=（β-α）,
= ×20°
=10°