浙教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式综合训练题

这是一份浙教版（2024）七年级下册（2024）乘法公式综合训练题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.当a= 2009 ， b= 2008时，代数式2a（a+b）﹣（a+b） 2的值为（ ）
A . -1 B . 2008.2009 C . 2008•2009 D . 1
2.如果x 2﹣6x+k是完全平方式，则k的值为（ ）
A . ±9 B . ±36 C . 36 D . 9
3.下列计算：①a n•a n=2a n； ②a 6+a 6=a 12； ③（ab） 3=ab 3；④a 8÷a 2=a 4；⑤（a﹣b）（﹣a﹣b）=﹣a 2+b 2；⑥（x﹣3y） 2=x 2﹣3xy+9y 2 ， 其中正确的个数为（ ）
A . 3 B . 2 C . 1 D . 0
4.若4a 2+kab+9b 2是完全平方式，则常数k的值为（ ）
A . 6 B . 12 C . ±6 D . ±12
5.若m 2﹣n 2＝5，则（m+ n） 2（m﹣n） 2的值是（ ）
A . 25 B . 5 C . 10 D . 15
6.下列计算中，结果正确的是（ ）
A .(−3)−2=19
B .(a+b)2=a2+b2
C .9=±3
D .(−x2y)3=x6y3
7.从边长为 a 的大正方形纸板中挖去一个边长为 b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙)．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（ ）
A .a2−b2=(a+b)(a−b)
B .(a+b)2=a2+2ab+b2
C .a2−b2=(a−b)
D .(a−b)2=a2−2ab+b2
8.若关于x的二次三项式x 2﹣ax+36是一个完全平方式，那么a的值是（ ）
A . 12 B . ±12 C . 6 D . ±6
二、填空题
1.2（1+ 12 ）（1+ 122 ）（1+ 124 ）（1+ 128 ）+ 1214 = ________ ．
2.若m为正实数，且m﹣ 1m=3，则m 2﹣ 1m2= ________
3.按如图所示的程序计算，若输出的结果为12，则开始输入 x的最大值为 ________ ．
4.一个多项式的完全平方等于 4x2+M+1 （ M 为单项式），请你写出 M 的所有可能情况 ________ 。
5.已知x，y满足方程组 {3x−y=103x+y=8 ，则9x 2﹣y 2的值为 ________ ．
6.有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个按图①所示方式摆放，构造一个正方形；其中5个按图②所示方式摆放，构造一个新的长方形．若图①中阴影部分的面积是28，图②中阴影部分的面积是80，则每个小长方形的面积是 ________ ．

7.转化是解决数学问题的一种重要策略，可将不规则的图形转化为规则图形，达到化繁为简、化难为易、化不熟悉为熟悉的目的.如图，是两个部分重合的等腰直角三角形，腰长分别为a，b(a>b)，a+b=7，a-b=2，阴影部分面积分别为 S1 ， S2 ， 则 S1−S2= ________ .
8.（2m+3）（ ________ ）=4m 2﹣9．
9.已知a 2+b 2=7，ab=1，则（a+b） 2= ________
三、计算题
1.把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1） 如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 a+b+c的正方形．
①若用不同的方法计算这个边长为 a+b+c的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______ 2=______；
②因式分解： a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca；
（2） 如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接 BD和 BF ， 若两正方形的边长满足 a+b=6 ， ab=8 ， 请求出阴影部分的面积．
2.小芬在解决问题：已知 a=12+3 ， 求 2a2-8a+1的值．她是这样解的．
∵a=12+3=2-3（2+3）（2-3）=2-3 ，
∴（a-2）2=3 ，
∴a2-4a+4=3 ，
∴a2-4a=-1；
∴2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1 ．
请你根据小芬的解答过程，解决如下问题：
（1） 计算： 13+1+15+3+17+5+⋯+1225+223；
（2） 若 a=12−1：
①求 4a2-8a-1的值；
②求 3a3-12a2+9a-12的值．
3.已知线段AB=4a，点M是AB中点，点P在线段MB上，MP=b，如图所示构造三个正方形．
（1） 用含a，b的代数式表示阴影部分的面积并化简．
（2） 若阴影部分的面积为4，且 4a2+b2=7 ， 求小正方形的边长．
4.我们自从有了用字母表示数，发现表达有关的数和数量关系更加的简洁明了，从而更助于我们发现更多有趣的结论，请你按要求试一试：
（1）填空：用代数式表示：
①a与b的差的平方是 ；
②a与b两数的平方和与a，b两数积的2倍的差是 ．
（2）当a＝4，b＝﹣3时，求第（1）题中①②所列的代数式的值．
（3）观察第（2）题两个代数式的值，你发现两个代数式之间有什么关系，请用式子表示出来．
（4）利用（3）中的关系式计算：108.52﹣2×108.5×58.5+58.52 ．
四、综合题
1.已知有若干张如图1所示的正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形.
（1） 将1张A型卡片，9张B型卡片，6张C型卡片拼成如图2所示的正方形，请用两种方法表示图2中拼成的正方形的面积，方法一： ________ ，方法二： ________ ，由此可以得到一个等式： ________ ；
（2） 选取1张A型卡片，若干张B型卡片，若干张C型卡片无缝无叠合拼成如图3所示的边长为a+nb的正方形，则需要选取B型卡片 ________ 张（用含n的式子表示），C型卡片 ________ 张（用含n的式子表示）；
（3） 将2张C型卡片沿如图4所示虚线剪开后，拼成如图5所示的正方形；将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为2a+b，宽为a+2b的长方形中（如图6所示）.若图5中阴影部分的面积为4，图6中阴影部分面积为30，记一张A型卡片的面积为S A ， 一张B型卡片的面积为S B ， 一张C型卡片的面积为S C ， 求S A+S B+S C的值.
2.解答题．
（1） 已知 x=7+1 ， x 的整数部分为 a ，小数部分为 b ，求 ab 的值．
（2） 已知 a−b=3+2 ， b−c=3−2 ，求 a2+b2+c2−ab−bc−ca 的值．
3.图1和图2的大正方形都是由一些长方形和小正方形组成的．观察图形，完成下列各题：

（1） 如图1，求S 大正方形的方法有两种：S 大正方形=(x+y) 2 ， 同时，S 大正方形=S ①+S ②+S ③+S ④= ________ ．所以图1可以用来解释等式： ________ ；同理图2可以用来解释等式： ________ ．
（2） 已知a+b+c=6，ab+bc+ca=11，利用上面得到的等式，求a 2+b 2+c 2的值．
4.已知m满足 (2m−2017)2+(2016−2m)2=5 .
（1） 求 (2m−2017)⋅(2016−2m) 的值；
（2） 求4m－4033的值。”
五、解答题
1.已知 A=(a+1)2−(a−1)2 ，B=(3a2b−2ab+2ab2)÷ab
（1） 求 A⋅B；
（2） 若变量y满足 34A−B−2y=0 ， 用b表示变量y，并求出 b=−1时y的值．
2.手工课上，小新将一张正方形纸片沿对角线 AC,BD剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，如图1．然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图案，如图2．此时，四边形 EFGH是正方形， 连接 NP,PQ,QM,MN ， 通过探索， 小新发现四边形 PQMN也是正方形， 如图3． 设 FP=a,EF=b ．

（1） 请用含a，b的代数式表示图3中阴影部分的面积．
（2） 若图3 中空白部分面积为 168， AG=19 ， 求 EP的长．
3.【探究】如图①，从边长为 a的大正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形．
（1） 由上面的拼图可以得到一个乘法公式：________；
（2） 【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 2m−n=3 ， 4m2=12+n2 ， 则 2m+n的值为________；
②计算： 20222−2023×2021 ．
（3） 计算： 2+122+124+128+1⋯232+1+1的个位数字．
4.阅读材料，完成任务：我们知道 13+313−3=4 ， 因此将 813−3分子、分母同时乘“ 13+3”，分母就变成了4，例如：
13−2=3+23−23+2=3+2 ， 12+1=2−12+12−1=2−1 ．
（1） 模仿材料中的计算方法，化简 17+6=___________； 35−2=___________．
（2） 计算： 12+3+15+4+16+5+⋯+12026+2025+12027+20262027+3；
（3） 已知 a=23+1 ， b=23−1 ， 求代数式 2a2+ab+2b2的值．
5.“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式 2x2+4x−6的最小值．
原式： =2x2+4x−6=2x2+2x−6=2x2+2x+1−1−6=2x+12−8 ．
∵ x+12≥0 ， ∴ 2x+12≥0 ， ∴2x+12−8≥−8
可知当 x=−1时 2x2+4x−6有最小值是 −8 ．
请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：
（1） 当 x=______时代数式 x2−6x+14有最小值是______；
（2） 当m、n为何值时，多项式 m2−2mn+n2−4m+4n+25有最小值，并求出这个最小值．
（3） 在长方形 ABCD中， AB=3 ， AD=4 ， 动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿 AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿 BC向点C移动，连接 QP、 QD、 PD ． 当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设 △QPD的面积为S，时间为 x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值．
六、阅读理解
1.阅读理解，并解决问题：
如图1是一个长为 2m ， 宽为 2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1） 求图2中的阴影部分的正方形边长？
（2） 请用两种不同的方法求图2阴影部分的面积：
（3） 观察图2，写出 m−n2 ， m+n2 ， mn三个代数式之间的等量关系，若m、n在实数范围内，这个关系式仍然成立，当 mn=−2 ， m−n=4时，求 m+n2的值．
2.[材料阅读] 先仔细阅读材料，再尝试解决问题．
两数和(差)的平方公式 x2±2xy+y2=x±y2及 x±y2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式 x2+6x−4的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式 =x2+6x−4=x2+6x+9−9−4=x+32−13=x+32−13 ．
因为无论x取什么数，都有 x+32的值为非负数，
所以 x+32的最小值为0，此时 x=−3 ，
进而 x+32−13的最小值是 0−13=−13 ．
所以当 x=−3时，原多项式的最小值是 −13 ．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求多项式 −3x2−6x+12的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
3.阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 −1 ， 记为识 i2=−1 ， 这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部．b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：2+i+3−4i=5−3i
（1） 填空： i3=___________， i4=___________；
（2） 计算：① 3+i3−i ②3+i2
（3） 若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： x−y+5i=1−x−yi（x，y为实数），求x，y的值．