八年级下册（2024）2 等腰三角形第1课时教学设计

这是一份八年级下册（2024）2 等腰三角形第1课时教学设计，共11页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

1.教学内容
本课选自北师大版八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》第1节之1.2“等腰三角形”，聚焦等腰三角形和等边三角形的性质及应用。主要涉及“等腰三角形的两底角相等（等边对等角）”“等腰三角形三线合一”以及“等边三角形的三个角均为 60∘”等核心结论，并在此基础上开展全等三角形判定与简易推理应用。
2.内容解析
本节内容以等腰三角形及等边三角形为核心主题。通过明确三角形边与角的对应关系，学生能够在直观与推理论证之间建立联系，从而深化几何思维。等腰三角形的底角相等、顶角平分线与中线、高线重合等属性，使学生理解“等边对等角”背后的几何逻辑，能引导他们运用全等三角形的判定定理（如 SSS、SAS 等）进行严谨推理；与此同时，等边三角形作为等腰三角形的特例，兼具全部“等腰”性质，并在三角形内角总和为 180∘ 的统一背景下，得出各个内角均为 60∘ 的基本性质。教学过程中需凸显辅助线作用和全等三角形的对应用途，让学生积累几何证明的直观经验，同时掌握证明格式的规范性。由于等腰和等边三角形在角度计算、线段判定中应用广泛，学生应能灵活迁移“等边对等角”“三线合一”等性质至实际问题中，如求未知角度或判断线段相等等。以上探究有助于培养他们的几何推理能力和逻辑思维品质，也为后续学习更多几何定理和解决综合问题打下良好基础。
1.教学目标
•掌握等腰三角形“等边对等角”“三线合一”及等边三角形的性质，明确两类三角形性质的关联与区别。
•经历两类三角形性质的推理论证过程，理解证明逻辑，掌握几何证明书写格式。
•能运用两类三角形性质解决简单角度计算、线段相等判定问题，提升应用能力。
2.目标解析
• 通过“等边对等角”与“顶角平分线、中线、高线合一”等核心性质的操作与讨论，让学生在动手和观察中直观感受三角形的对称性。
• 通过全等三角形的判定与对应元素相等的推理过程，引导学生独立完成几何证明的书写，归纳出证明的规范表达方式。
• 通过典型例题和相应练习，掌握应用“等边对等角”或“三线合一”等性质进行角度与线段长度分析的策略。
3.重点难点
• 教学重点：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”性质及等边三角形的 60∘ 特征。
• 教学难点：正确选取辅助线并运用全等三角形性质进行推理、组织几何证明格式。
学生已掌握简单几何知识，如三角形内角和定理、平行线基础等，具备一定的测量、观察与折叠操作经验。但对“辅助线”在几何证明中的作用理解尚浅、书写证明格式仍需进一步规范。在学习新知时，他们易于接受操作演示或几何软件动态演示，也能够通过全等平移拼合等方式获得“等边对等角”的感性认识；然而，对“顶角平分线”“中线”“高线”三线重合的逻辑递进推理存在一定难度，需要教师引导他们反复验证、联系实际问题，逐步形成较为系统的几何思维与证明技能。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①n边形的内角和等于(n-2)×180 °，外角和等于360°.
②正n边形每个内角的度数是:，正n边形每个外角的度数为360。n.
③三角形按边分类：不等边三角形→三条边各不相等的三角形.
等腰三角形→腰和底不等的等腰三角形，等边三角形(三边都相等的三角形）
2.情景引入
图中有你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
都是等腰三角形
都是等边三角形
【设计意图】通过生活情境的观摩，激发学生对几何形状应用价值的兴趣。根据已学多边形、三角形知识，过渡到对等腰三角形和等边三角形的性质研究，明确本节课的学习重点和难点。
探究点1：等腰三角形的性质1
1.尝试交流
我们曾经探索过等腰三角形的一些性质，你还记得这些性质吗？请你选择其中一条性质进行证明，并与同伴进行交流.
定理:等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
转化成几何语言：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.这启发我们，可以作一条辅助线，把原三角形分成两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等.
证明：作底边的中线AD， 则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )，BD=CD ( 已知 )，AD=AD ( 已知 )，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
证明：作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 ),∠BAD=∠CAD ( 已知 ),AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
2.知识归纳
等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
3.练一练
如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( )
A．80° B．100° C．140° D．160°
解析:∵∠BAD＝80°，
∴∠B＋∠BCD＋∠D＝360°－∠BAD＝280°.
又∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝280°÷2＝140°.
选C。
【设计意图】通过完整的辅助线作图与全等推理，让学生掌握“等腰三角形”基本性质。
探究点2：等腰三角形的性质2
1.议一议
由“等边对等角”定理的证明过程，你发现线段AD还有哪些特征？为什么？与同伴进行交流.
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
2.知识归纳
等腰三角形的性质定理2：
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(三线合一）.
几何语言：如图,在△ABC中,
◎∵AB=AC, ∠1=∠2(已知),
∴BD=CD,AD⊥BC
（等腰三角形三线合一）.
◎∵AB=AC, BD=CD (已知),
∴∠1=∠2,AD⊥BC
（等腰三角形三线合一）.
◎∵AB=AC, AD⊥BC(已知),
∴BD=CD, ∠1=∠2
（等腰三角形三线合一）.
3.练一练
如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是______.
解：20
【设计意图】本环节从等腰三角形“等边对等角”的证明延伸，通过议一议引导学生自主推导得出“三线合一”性质，再经知识归纳规范几何语言，最后以练一练实现即时应用，层层递进，让学生亲历知识形成、梳理到运用的过程，夯实几何推理与知识应用能力。
探究点3：等边三角形的性质
1.尝试交流
等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？请尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流.
根据定义可知，等边三角形的三条边都相等.
还可以得出：
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
转化成几何语言
已知：如图，在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
证明：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理可得 ∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
2.知识归纳
等边三角形的性质定理：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
几何语言：
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∠A=∠B=∠C=60°.
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质.等边三角形每个内角的平分线都与它对边上的高、中线重合.
3.练一练
如图所示，△ABC是等边三角形，且点A在直线l上，则∠1+∠2等于______.
解：120°
4.回顾反思
教师提问：回顾七年级下册及本节研究等腰三角形性质的过程，你积累了哪些研究图形的经验？
学生思考：
①从生活实例切入，建立直观认知；
②根据动手操作（折叠、测量），猜想图形性质；
③通过逻辑证明（辅助线、全等转化），验证猜想；
④性质应用巩固，深化理解。
5.典例分析
例1 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC.
∵∠ADC＝125°，
∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，
∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连结BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
【设计意图】通过例题，突出等边三角形在解几何综合题中的灵活应用，培养学生对特殊三角形推理链条的连接能力。使学生更深刻体会等边三角形兼具等腰三角形的全部性质，在解题过程中能熟练调用、转化和运用。
1.等腰三角形的一边长为4，另一边长为5，则此三角形的周长为( )
A.13 B.14 C.15 D.13或14
解：D
2.已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,则下列结论不一定正确的是( )
A.BD=CE B.OB=OC
C.OC=DC D.∠ABD=∠ACE
解：C
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，O是边BC上任意一点，则点O到AB，AC边的距离之和等于( )
A.5 B.7.5 C.9 D.10
解：A
4.如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为( )
A．120° B．135°
C．145° D．150°
解：D
5. 如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列四个结论正确的是( )
①点P在∠BAC的平分线上； ②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A．全部正确 B．仅①和②正确
C．仅②和③正确 D．仅①和③正确
解：A
6.如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=64°，则∠C的度数为_____.
解：32°
7. 如图所示,在△ABC中，AB=AC，AD，CE是三角形的高，垂足分别为D，E，若∠CAD=20°，则∠BCE的度数为_____.
解：20 °
8.如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D.若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_____.
解：20
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F,求证:AE=FE.
解： (1)∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.
∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°.
(2)证明:由(1)知∠BAD=∠CAD.
∵EF∥AC,
∴∠F=∠CAD,
∴∠BAD=∠F,
∴AE=FE.
10.如图所示，已知l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，求∠α的度数．
解：如题图，过点C作CE∥m.
∵l∥m，
∴l∥m∥CE，
∴∠ACE＝∠α，∠BCE＝∠CBF＝20°.
在等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠α＋∠CBF＝∠ACB＝60°，
∴∠α＝40°
11.如图所示，△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，求∠BQM的度数.
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
在△AMB和△BNC中，
∵ AB=BC,∠ABC=∠C，BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
【设计意图】以多层次练习题巩固重点、难点，帮助学生在多种情境下熟练运用“等边对等角”“三线合一”等定理。

1.习题1.2第1，2，3，4，5题。
2.探究性作业：习题1.2第10题。
主板书
1.2 等腰三角形 第一课时
探究点1 等腰三角形的性质1
探究点 2 等腰三角形的性质2
探究点3 等边三角形的性质
课堂小结
副板书
例题
学生练习板演