初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 等腰三角形优质ppt课件

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 等腰三角形优质ppt课件，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，进行新课，还有其他的证法吗，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴BF＝CF，∴BD＝CE，怎样证明这一定理呢，等边三角形的性质，同理∠A∠B等内容，欢迎下载使用。
1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
等腰三角形的相关概念你还记得吗？
还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
等腰三角形的性质及其推论
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.求证： ∠B = ∠C.
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.求证：∠B =∠C.
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：如图，在 △ABC 中，∵ AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：在△ABC 中，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
∴∠B =∠C (等边对等角).
∵ AB = AC (已知)，
例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线， BD = BE，求∠EDA 的度数.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2 = (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
[2025广安期中]已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是(　　)　　　　　　　　　　　　　A．40°　　　　 B．100°　C．40°或100°　 D．以上都不正确
[2025扬州]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠CC．BD＝CD D．AD平分∠BAC
如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是(　　)A．45° B．39° C．29°　 D．21°
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠DBC的度数是(　　)A．30° B．36° C．45° D．54°
设∠A＝x°.∵BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝x°.∴∠BDC＝2x°.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x°.∴∠DBC＝x°.∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36.∴∠DBC＝36°.
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC，若△ABC的面积为4 cm2，则△BPC的面积为________.
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G.如果测得∠GEC＝36°，那么∠ADF＝________.
【证明】∵∠BAF＝∠EAD，∴∠BAF－∠CAF＝∠EAD－∠CAF，即∠BAC＝∠FAD. 又∵AC＝AD，∠ACB＝∠ADF，∴△ABC≌△AFD.
[2025河北]如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD．(1)求证：△ABC≌△AFD；
(2)若BE＝FE，求证：AC⊥BD．
【证明】 ∵△ABC≌△AFD，∴AB＝AF.∵BE＝FE，∴AE⊥BF，即AC⊥BD.