初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形优秀课件ppt

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1.经历探索、证明等腰三角形和等边三角形性质的过程，进一步发展推理能力。2.掌握综合推理方法，发展演绎推理能力。3.应用等腰三角形和等边三角形的性质解决实际问题。
等腰三角形的相关概念你还记得吗？
还记得利用折纸的方法探索等腰三角形的性质吗？这对你有什么启发？
先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足。
图中有你熟悉的图形吗? 它们有什么共同特点?
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗?
定理：等腰三角形的两个底角相等.
1．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的度数为________。
2．若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°。
3．如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2的度数为(　　)A．30°B．65°C．75°D．80°
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形. 由此，你得到了解题什么的启发？
探究点1：等腰三角形的性质
【证一证】已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.求证： ∠B = ∠C.
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.求证：∠B =∠C.
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.又∵∠ADB +∠ADC = 180°，∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
定理：等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
几何语言：如图，在 △ABC 中，∵ AB = AC (已知)，∴∠B =∠C (等边对等角).
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线重合.
4．(4分)如图，在△ABC中，点D在边AC上，AB＝BD＝CD。若∠A＝50°，求∠C的度数。
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的中线，∠B＝61°，则∠BAD的度数为(　　)A．61° B．58° C．29° D．39°
1. 已知，如图，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°， 则∠AED 的度数为( )
A.60° B.90° C. 80° D. 20°
例1 已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证： AF⊥BC.
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
6．[扬州中考]在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠CC．BD＝CD D．AD平分∠BAC
7．(4分)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝10°，求∠AEC的度数。
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
探究点2：等边三角形的性质
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC = BC.求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：在△ABC 中，
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
又∵∠A +∠B +∠C = 180° (三角形的内角和等于180°)，
∵ AB = AC ，
定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于 60°.
例2 如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线， BD = BE，求∠EDA 的度数.
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2 = (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合
等边三角形每个内角都是60°
1. 在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠C的 度数是(　A　)
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是(　A　)
3. 已知等边三角形ABC的一边长为10，则它的周长 为(　C　)
4. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上， ∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为(　D　)
5. (1)一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则该等 腰三角形的顶角度数为 ⁠；(2)等腰三角形的一个角是40°，则它的底角度数 为 ⁠.
6. 如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线， BD＝3，AC＝5.
(1)△ABC的周长为 ；(2)△ABC的面积为 .
7. 如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点， 延长BC到点E，使CE＝CD，求∠BDE的度数.
解：∵△ABC是等边三角形，D是AC的中点，
∴∠ACB＝60°，∠BDC＝90°.
∵∠BCD＝∠E＋∠CDE＝2∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠BDC＋∠CDE＝120°.
8．如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，∠ABD＝20°，则∠BDC的度数为(　　)A．60° B．80° C．90° D．100°
9．如图，在等边三角形ABC中，AD为△ABC的角平分线。若BD＝2，则∠BAD的度数为________，AC的长为________。
10．(4分)如图，D，E分别是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且BD＝CE。求证：AD＝BE。
证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°。又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE。
11． 若等腰三角形的一个内角为40°，则它的底角为(　　)A．70° B．40° C．40°或70° D．30°或75°
12．[西安铁一中期末]如图，△ABC是等边三角形，E为BC上一点，在AB上取一点D，使AD＝AE，且∠AED＝65°，则∠EAC的度数是________。
13．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为________。
14．如图，AB＝AC＝5，BC＝6，E为BC的中点，过点E作EF⊥AC于点F，则EF的长为________。
15．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E是边BC上不重合的两点，BD＝CE。
(1)求证：AD＝AE；
(2)若DA⊥AE，∠B＝26°，求∠BAD的大小。
16．(12分) 如图①，在等边三角形ABC中，D是边AB上的动点，以CD为一边，向上作等边三角形EDC，连接AE。
(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；
(2)试说明AE∥BC；
解：∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°。又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC。
(3)如图②，当点D运动到边BA的延长线上时，是否仍有AE∥BC？请说明理由。