北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形第1课时教学设计及反思

这是一份北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形第1课时教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.掌握等腰三角形和等边三角形的性质.
2.能够运用等腰/等边三角形的性质证明相等关系，解决实际问题.
3.掌握等腰/等边三角形中常用的辅助线，并且运用到证明中.
4.在探究证明等腰三角形、等边三角形的性质的过程中，经历“观察--猜想--验证--推理”的完整流程，培养逻辑推理能力和几何语言表达能力，提升分析问题、提炼几何条件、建立数学模型的能力.

二、教学重难点
重点：掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能运用性质证明相等关系，解决实际问题．
难点：掌握等腰/等边三角形中常用的辅助线，并且运用到证明中.

三、教学过程
复习回顾
教师活动：教师提出问题，让同学回答问题，之后进一步提出问题，自然引出新课的学习.
问题：还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
预设答案：等腰三角形的两底角相等.(简述为：等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合.(简称“三线合一”)
追问：请你选择一条性质进行证明.
设计意图：回顾旧知，为学习新知识做铺垫，同时自然引出新知的探究.
探究新知
活动一：等腰三角形的性质
思考：已知：如下图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
分析：我们曾经利用折叠的方法说明了等腰三角形的两个底角相等.
你也来尝试一下吧！
分析：折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.因此通过做底边上的中线，就可以得到两个三角形全等，从而证明这两个底角相等.
预设答案：
方法一：利用全等三角形证明
证明：取底边BC的中点，连接AD
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C.（全等三角形的对应角相等）
注意：辅助线还可以是顶角的角平分线或者底边上的高线.
总结：定理：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
思考：你还有其他的证明方法吗？与同伴进行交流.
分析：把一个等腰三角形看成两个三角形.任意一个三角形都能和它本身重合，即一定有AB=AC，∠A=∠A，AC=AB.
预设答案：方法二：不添加辅助线
证明：在△ABC和△ACB中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，
∴△ABC≌△ACB(SAS).
∴∠B=∠C.
设计意图：在此探究过程中，教师应注意引导，鼓励学生自主按照要求将证明过程书写出来.
思考：在图中，由△ABD≌△ACD，还可以得到什么结论？
预设答案：
①∠BAD=∠CAD
②AD⊥BC
追问：线段AD除了是底边上的 ，还是顶角的 ，底边上的 .
预设答案：中线 角平分线 高线
总结：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.“三线合一”
注意：如果某线段是一个等腰三角形的“三线”之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.
(已知高线证明)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC.求证：BD=CD，∠BAD=∠CAD.
证明：在△ABD和△ACD中， ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC， ∵AB=AC， AD=AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ACB(HL).
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD.
练一练：在△ABC中，AB=AC，BE和CD分别是AC、AB上的中线.
证明：CD=BE.
预设答案：∵BE和CD分别是AC、AB上的中线，
∴CE=12AC，BD= 12 AB.
∵AB=AC，
∴CE=BD，∠ABC=∠ACB，(等边对等角)
在△BCE和△CBD中，
∵CE=BD，∠ABC=∠ACB，BC=BC，
∴△BCE≌△CBD(SAS).∴CD=BE.
设计意图：引导学生自主探究等腰三角形的性质，同时新旧知识相结合，培养学生的逻辑思维能力和几何语言表达能力.
活动二：等边三角形的性质
尝试·交流：等边三角形是特殊的等腰三角形，它有哪些特殊的性质呢？
预设答案：三个内角都相等；每个角都等于60°……
追问：尝试证明你发现的结论，并与同伴进行交流.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC.
求证：∠A= ∠B= ∠C.
预设答案：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).
又∵AC=BC，∴∠A=∠B(等边对等角).
∴∠A=∠B =∠C.
在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°，
∴∠A=∠B =∠C=60°.
总结：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
符号表示：△ABC为等边三角形，则∠A =∠B =∠C =60°.
设计意图：归纳整理，方便学生对知识进行系统认识.
应用新知
教师活动:教师通过提问的方式，让同学们找到解决问题的思路，最后由教师完善解题步骤.
【经典例题】
例1.在△ABC中，AD=AE，BD=CE，求证：AB=AC.
分析：已知两条边，需要添加∠ADB=∠AEC，利用SAS证明全等.
证明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED(等边对等角).
∵∠ADE+∠ADB=∠AED+∠AEC=180°，
∴∠ADB=∠AEC，
∵AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AB=AC.
例2.在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求∠2的度数.
分析：根据等腰三角形的性质确定角度关系，进而求解.
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，(等边对等角)
∵AB=BD，∴∠2=∠3， (等边对等角)
∵∠2=∠1+∠C， (三角形一个外角等于不相等的两个内角和)
∴∠2=∠1+∠B，即∠B=∠2-∠1，
∵∠2+∠3+∠B=180°，∴∠2+∠2+∠2-∠1=180°，
∴3∠2=∠1+180°，
∵∠1=30°，∴∠2=70°.
例3.已知：如图.点D、E在△ ABC的边 BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.
分析：根据等腰三角形的性质确定角度关系.因为△ABC和△ADE是有公共顶点，并且底边在同一直线上的等腰三角形，所以作△ABC(或△ADE)的高AF，可同时平分 BC，DE.
证明：作AF⊥BC，垂足为点 F，则AF⊥DE，
∵AB = AC，
∴BF = CF(等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合).
同理，∵ AD = AE，∴ DF = EF，
∴ BF –DF=CF – EF，即BD = CE.
设计意图：用知识解决问题，让同学们掌握知识，运用知识.
课堂练习
【自选练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.利用作等腰三角形顶角的平分线的方法，证明等腰三角形的两个底角相等.
如图，在△ABC中，AB=AC，证明∠B=∠C.
证明：过A作∠BAC的角平分线交BC于D.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABC≌△ACB(SAS)，
∴∠B=∠C.
2.根据等腰三角形性质定理填空：已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)∵AD⊥BC，
∴∠ =∠ ， = ；
(2)∵AD是底边上的中线，
∴ ⊥ ，∠ =∠ ；
(3) ∵ AD是顶角的平分线，
∴ ⊥ ， = .
答案：(1)BAD CAD BD CD
(2)AD BC BAD CAD
(3)AD BC BD CD
3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8. 求CD的长.
解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD=CD=12BC，
∵BC=8，∴CD=4 .
4.如图，在△ABC中，D、E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形.求∠BAC的度数.
分析：先由△ADE是等边三角形确定边和角的关系，得到△ABD和△ACE是等腰三角形，利用三角形的外角求相关角度，进而求∠BAC.
证明：∵△ADE是等边三角形，∴ AD=DE=AE，∠ADE =∠AED=60°.
∵D、E是BC的三等分点，∴ BD=DE=CD，即BD=DE=CD=AD=AE，
∴∠B =∠BAD，∠C =∠CAE，∵∠ADE =∠B+∠BAD=60°，∠AED =∠C+∠CAE=60°，
∴∠B=∠C=30°，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC =120°.
教师及时发现并对学生不熟悉的知识进行深入讲解，让同学在课上深刻牢记知识点并学会运用.
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，来增强学生应用知识的能力.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
设计意图：培养学生总结知识的能力，巩固新知，形成本节课重点内容框架.