初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形第3课时教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）第一章 三角形的证明2 等腰三角形第3课时教学设计，共5页。教案主要包含了教学与建议，方法指导，学生活动，教学说明等内容，欢迎下载使用。

●置疑导入 问题1：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？等边三角形的三条边相等，三个角相等，每个内角都等于60°.
问题2：(1)具备什么条件的三角形是等边三角形？
(2)具备什么条件的等腰三角形是等边三角形呢？
【教学与建议】教学：开门见山，利用问题直接导入新课．建议：提出问题，让学生自由发言，教师适当补充．
●复习导入 复习等腰三角形，提出问题：
(1)等腰三角形的定义是什么？
(2)等腰三角形的性质中“三线合一”指哪三线？试着画出来．
(3)等边三角形的“三线合一”中的线有几条，每条都能把三角形分成两个具有什么特征的三角形，分成的三角形的边有何关系？
【教学与建议】教学：采用“复习旧知识，诱导新内容”导入课题．建议：学生口答后教师总结等腰三角形和等边三角形的性质．
命题角度1 等边三角形的判定
三条边相等的三角形，三个角都是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形均是等边三角形，根据题意灵活运用．
【例1】下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有__①②③④__．(填序号)
【例2】如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OB，∠A＝60°，且AB∥CD.求证：△OCD是等边三角形．
证明：∵OA＝OB，∠A＝60°，
∴∠B＝∠A＝60°.
又∵AB∥CD，∴∠C＝∠A＝60°，∠D＝∠B＝60°，
∴∠COD＝∠D＝∠C＝60°，
∴△OCD是等边三角形．

命题角度2 含30°角的直角三角形的应用
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，主要用于解决直角三角形中的计算和证明问题．
【例3】如图，∠B＝90°，AB＝6 cm，∠BAC＝30°，D为BC延长线上一点，AC＝DC，则AD＝__12__cm.
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例3题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例4题图）))
【例4】如图所示是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离h＝6.5 m，自动扶梯的倾斜角为30°.若自动扶梯运行速度v＝0.5 m/s，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为__26__s.
命题角度3 等腰三角形性质与30°角定理的综合应用
把等腰三角形的性质(“等边对等角”、“三线合一”)，与30°角定理结合考查，检验学生对定理的熟练及灵活应用程度．
【例5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 eq \r(3)，则BD的长度为__2 eq \r(3)__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例5题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例6题图）))
【例6】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝20，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝4，则OM的长度为(D)
A．3 B．4 C．6 D．8
命题角度4 等边三角形与30°角定理的综合运用
当在等边三角形中出现垂直条件时，结合等边三角形的内角为60°转化成含30°角的直角三角形，再利用其边长间的关系进行计算即可．
【例7】如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若AB＝8 cm，则BD＝__4__cm，BE＝__2__cm.
eq \(\s\up7(),\s\d5(（例7题图）)) eq \(\s\up7(),\s\d5(（例8题图）))
【例8】如图，等边三角形ABC中，AD＝BD，过点D作DF⊥AC于点F，过点F作FE⊥BC于点E，若AF＝4，则线段BE的长为__10__．
高效课堂 教学设计
1．理解等边三角形的判定定理及其证明，理解含有30°角的直角三角形的性质定理及其证明．

2．能利用等边三角形的两个判定定理解决问题．
▲重点
等边三角形判定定理的发现与证明及含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
▲难点
含30°角的直角三角形的性质定理的探索与证明．
◆活动1 创设情境 导入新课(课件)
欣赏几组图片(多媒体展示)：
eq \(\s\up7(),\s\d5(注意行人)) eq \(\s\up7(),\s\d5(注意儿童)) eq \(\s\up7(),\s\d5(注意信号灯)) eq \(\s\up7(),\s\d5(注意危险))
同学们，这几幅图是我们生活中常见的交通安全警示标志．
(1)图中的三角形都是__等边__三角形．
(2)等边三角形与等腰三角形的关系是__等边三角形是特殊的等腰三角形__．
(3)等边三角形的特点是三条边相等、三个角相等、三线合一．
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？这节课让我们一起来学习等边三角形的判定定理及证明．
◆活动2 实践探究 交流新知
【探究1】等边三角形的判定方法
问题1：一个三角形满足什么条件时就是等边三角形？
问题2：一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
问题3：你能证明你的结论吗？
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠B＝∠C，∴AC＝AB.
∵∠A＝∠C，∴BC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
方法一：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝ eq \f(180°－60°,2)＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
方法二：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°.
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°.
∴∠A＝180°－60°×2＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC是等边三角形．
【归纳】等边三角形的判定定理：
定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
定理2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
【探究2】含30°角的直角三角形的性质
问题：请同学们用两个含30°角的全等三角尺拼成一个三角形．你能拼成怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？因此你能发现什么结论？说明理由．
发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∠A＝30°.求证：BC＝ eq \f(1,2)AB.
证明：如图，延长BC至点D，使CD＝BC，连接AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形．
∴BC＝ eq \f(1,2)BD＝ eq \f(1,2)AB.

【归纳】定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
◆活动3 开放训练 应用举例
【例1】如图，在△ABC中，D为AC边上的一点，DE⊥AB于点E，DE的反向延长线交BC的延长线于点F，CD＝CF，且∠F＝30°.
求证：△ABC是等边三角形．
【方法指导】由CD＝CF，可得∠CDF＝∠F，从而得到∠ADE＝∠F，又由DE⊥AB，易得∠A＝∠B，∠B＝60°，即可证明△ABC是等边三角形．
证明：∵CD＝CF，
∴∠CDF＝∠F.
又∵∠CDF＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F.
∵DE⊥AB，
∴∠A＋∠ADE＝90°，∠B＋∠F＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ABC是等腰三角形．
又∵∠F＝30°，
∴∠B＝90°－∠F＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【例2】求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半．
【方法指导】这是一道文字叙述题，首先把它用已知、求证的形式转化成图形语言和符号语言．观察图形可以发现在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ACB，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC＝2×15°＝30°.根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CD＝ eq \f(1,2)AC.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高．
求证：CD＝ eq \f(1,2)AB.
证明：在△ABC中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°，
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.
∵CD是腰AB上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴CD＝ eq \f(1,2)AC.
∴CD＝ eq \f(1,2)AB.

◆活动4 随堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且DE＝BE.下列结论：①△ADE是等边三角形；②DE∥AC；③∠DAE＝60°.其中正确的有(D)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AO平分∠BAC，若∠BOC＝60°，则△BOC的形状是(A)
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
3．等腰三角形的底角等于15°，腰长为10，则这个等腰三角形腰上的高是__5__．
4．课本P20随堂练习T1
5．课本P20随堂练习T2
◆活动5 课堂小结与作业
【学生活动】
1．你这节课有什么收获？
2．在探索等边三角形的判定与含30°角的直角三角形性质的过程中，你掌握了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要知识和方法，加深对知识的理解．
【作业】课本P21－22习题1.2中的T8、T9.
本节课通过一组图片，引入等边三角形，让学生体会等边三角形的特点，学生热情很高，参与积极．本节课的难点在于对30°角定理的理解及应用，让学生充分参与，深刻体会定理内容，掌握应用技巧．解题过程中，培养学生获取信息、分析信息的能力．名称
性质
判定
等边三角形
三条边都相等
三条边都相等的三角形是等边三角形
三个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形