数学八年级下册（2024）2 等腰三角形第2课时教案

这是一份数学八年级下册（2024）2 等腰三角形第2课时教案，共9页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

1.教学内容
本节选自北师大版初中数学八年级下册第一章《三角形的证明及其应用》第1.2节“等腰三角形”第2课时，核心知识点包括“等腰三角形的判定定理”与“反证法”的应用。通过对“等角对等边”及“由矛盾得结论”的逻辑推演，帮助学生建立稳固的几何推理基础。
2.内容解析
本课重点阐明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”的判定思路，鼓励学生利用全等三角形构造来证明 AB=AC；同时通过小明关于“若两个角不相等，则其所对边也不相等”的推理，引入反证法的基本证题思路，使学生熟悉“假设结论不成立→得到矛盾→断定结论成立”的过程，并结合实例体会反证法在三角形证明中的特别作用。
1.教学目标
•理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
•理解反证法的基本证题思路，培养逆向思维能力，并能简单应用。
2.目标解析
• 通过探究“等角对等边”，使学生能使用基本的几何作图与全等三角形知识，熟练论证“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。
• 通过讨论反证法实例，引导学生掌握反证法的基本过程，增强他们的逻辑思维与逆向思维能力，能够在简单几何问题中灵活运用。
3.重点难点
• 教学重点：等腰三角形的判定及等角对等边的应用。
• 教学难点：用反证法证明几何命题的思路与写作结构。
学生已有三角形基本性质和全等判定法的认知基础，能理解等腰三角形“底边上的高、中线、角平分线三线合一”的特点。但对“等角对等边”这一逆定理以及反证法的思维方法尚缺乏足够经验，易在假设步骤与推导矛盾环节出现混乱，需要强化操作演示与思路梳理，帮助学生培养清晰、严谨的几何推理方法。
创设情景，引入新课
问题情境：
1.知识回顾
①等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等(简述为：等边对等角).
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(三线合一).
②等边三角形的性质：
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
2.情境引入
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?
可以发现，有两个角相等的三角形是等腰三角形，如何证明这一结论呢？
【设计意图】通过复习等腰三角形、等边三角形的基本性质，激活学生已有知识背景；结合“两个角相等是否推出两边相等”这一情境，引发学生思考，为新课的探究做好铺垫，激发他们的兴趣并明确接下来的学习方向。
探究点1：等腰三角形的判定
1.尝试思考
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了.
解：
分析：比如作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形．
证明：过A作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC.
在△ABD与△ACD中，
∠ADB=∠ADC，∠B=∠C，AD=AD，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
2.知识归纳
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).
符号语言：
在△ABC中，
∵∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
3.新知探究
例 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
4.练一练
一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是( )
A.40∘ ，70∘B.30∘ ，90∘C.60∘ ，50∘D.40∘ ，20∘
解：A
【设计意图】通过作特殊线段（如高、中线或角平分线）让学生直观感受三角形的全等推理；再结合例题解析，突出“等角对等边”在判断等腰三角形中的核心地位，完成对等腰三角形判定的深度理解。
探究点2：反证法
1.想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
小明：
如图，在△ABC中, 已知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠C=∠B, 这与已知条件∠B≠∠C矛盾.因此AB≠AC.
教师提问：你能理解他的推理过程吗?
2.知识归纳
◎反证法：
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．
注意：反证法是一种重要的数学证明方法，在解决某些问题时常常会有出人意料的作用.
3.新知探究
例 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90°，
则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
4.知识归纳
用反证法证题的一般步骤:
①假设: 先假设命题的结论不成立;
② 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
③结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.
5.练一练
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
解：C
6.典例分析
例1如图，已知在△ABC中，∠C=90∘ ，AD是角平分线，过点B作BA 的垂线与AD的延长线相交于点E.求证：△BDE 是等腰三角形.
解：∵ 在Rt△ACD中，∠ADC+∠DAC=90∘，
又∵∠BDE=∠ADC，
∴∠BDE+∠DAC=90∘，
∵Rt△ABE中，∠E+∠BAE=90∘，
又∵AD是∠BAC 的平分线，
即∠BAE=∠DAC ，
∴∠E=∠BDE，
∴BE=BD ，
∴△BDE 是等腰三角形.
例2 用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.
已知:在△ABC中，AB=AC.
求证:∠B，∠C必为锐角.
证明:假设结论不成立，则∠B，∠C为直角或钝角，
∵AB=AC，∴∠B=∠C,
当∠B=∠C为直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾;
当∠B=∠C为钝角时，∠B+∠C>180°，这与三角形的三个内角和等于180°相矛盾.
综上所述，假设不成立，∴∠B，∠C必为锐角.
∴等腰三角形的底角必定是锐角.
【设计意图】通过“假设-归谬-结论”的逻辑线，让学生运用反证法解决实际几何问题，激发逆向思维和逻辑推理能力。结合例题分析，让学生体会反证法在几何中的独特价值，完成对关键难点的突破。
1.如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是( )
A．任意三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
解：C
2.如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D.如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是( )
A．OA＝OD B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB
解：C．
3.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC.已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解：C.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE为角平分线，CE交BD于点O，那么图中的等腰三角形个数是( )
A．4 B．6 C．7 D．8
解：D．
5. 用反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设( )
A．a∥b B．c∥b C．a与c相交 D．a与b相交
解：C
6.用反证法证明“等腰三角形的底角必为锐角”时，第一步是假设____________________________．
解：等腰三角形的底角都为直角或钝角
7.如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是____(填序号).
解：②
8.如图所示,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,P为射线OC上一点,如果射线OA上的点D满足△OPD是等腰三角形,那么∠ODP的度数为____________.
解：30°或75°或120°
9.如图，AB=CD，请你添加一个条件可以证明△AED是等腰三角形，你添加的条件是____________.
解：BD=CA(答案不唯一)
10.如图所示，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
解： (1)证明:在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)△BOC是等腰三角形.理由如下:
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠OBC=∠OCB,
∴BO=CO,
∴△BOC是等腰三角形.
11.如图，已知：在同一平面内，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b.(用反证法证明)
证明：如图．假设a与b相交，
则过点M有两条直线平行于直线c，
这与“过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线”相矛盾，所以a∥b .
12.如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)求证：∠EBD＝∠EDB；
(2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．
解：(1)∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB.
(2)CD＝ED，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴CD＝BE，由(1)得∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
∴CD＝ED.
【设计意图】此部分习题紧密围绕“等腰三角形判定定理”与“反证法”，结合各类图形与综合性问题，帮助学生在做题过程中稳固所学。通过观察、画图、分析与解答，学生既可复习几何基本理论，又能内化反证思维方法。

1.必做题：习题1.2第6，7，11题。
2.探究性作业：习题1.2第12题。
主板书
1.2 等腰三角形 第二课时
探究点1 等腰三角形的判定
探究点 2 反证法
课堂小结
副板书
例题
学生练习板演