数学青岛版（2024）因式分解同步训练题

这是一份数学青岛版（2024）因式分解同步训练题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A .16x2y3=2xy2⋅8xy
B .x+yx−y=x2−y2
C .x2−xy+y2=x−y2+xy
D .2x−2y=2x−y
2.把ax 2﹣4ay 2分解因式正确的是（ ）
A . a（x+2y）（x﹣2y）
B . a（x﹣2y）2
C . a（x﹣4y）2
D . a（x+4y）（x﹣4y）
3.已知边长分别为a、b的长方形的周长为10，面积4，则ab 2+a 2b的值为（ ）
A . 10 B . 20 C . 40 D . 80
4.用分组分解法把ab-c+b-ac分解因式，分组的方法有（ ）
A . 4种 B . 3种 C . 2种 D . 1种
5.把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（ ）
A . 8（7a－8b）（a－b）
B . 2（7a－8b）2
C . 8（7a－8b）（b－a）
D . －2（7a－8b）
二、填空题
1.方程3x 3﹣2x=0的实数解是 ________ ．
2.因式分解的主要方法有： ________ ．
3.将–x 4–3x 2+x提取公因式–x后，剩下的因式是 ________ .
4.如果关于x的二次三项式 x2−mx−8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为：．
5.x 2=x，则方程的解为 ________ ．
6.9x 3y 2+12x 2y 3中各项的公因式是 ________ ．
7.若Z= a-4+4-a ， 分解因式：x 3y 2﹣ax= ________ ．
三、计算题
1.请将下列各式因式分解．
（1） 3a（x﹣y）﹣5b（y﹣x）；
（2） x 2（a﹣b） 2﹣y 2（b﹣a） 2 ．
（3） 2x my n﹣1﹣4x m﹣1y n（m，n均为大于1的整数）．
2.把下列多项式分解因式：
（1） 4x2y−6xy；
（2） −x2+4xy−4y2 ． （公式法）
3.解决下列问题：
（1） 计算： −1−2025+(3.14−π)0−−13−2−(−2)3；
（2） 计算： (x+y−3)(x−y+3)+(y+3)2；
（3） 分解因式： (x−1)(x−3)+1；
（4） 已知关于 x的分式方程 x+ax−2−5x=1有增根，求 a的值．
4.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
①已知 x2+y2−2x+4y+5=0 ， 求 x+y的值．
解：原方程可化为x2−2x+1+y2+4y+4=0
即(x−1)2+(y+2)2=0
∵ (x−1)2≥0 ，(y+2)2≥0
∴ x=1 ，y=−2
∴x+y=-1
②求 a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8
＝ a2+6a+9−1＝(a+3)2−1 ，
∵ (a+3)2≥0 ，
∴ (a+3)2−1≥-1 ，
即 a2+6a+8的最小值为 −1 ．
请根据上述材料解决下列问题：
（1） 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： a2+4a+________．
（2） 用配方法因式分解： a2−6a+8 ．
（3） 求 −x2+4x+5的最大值．
5.按要求解下列各题：
（1） 分解因式： 3a2−18ab+27b2；
（2） 计算： x⋅(−x3)8÷(−x4)3；
（3） 解分式方程： 2x2−4−x2−x=1.
四、综合题
1.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：4x2−4x−y2+1=(4x2−4x+1)−y2=(2x−1)2−y2=(2x−y−1)(2x+y−1)
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： x2−3x−40 分析：x2−3x−40

观察得出：两个因式分别为 (x+5)与(x−8)
解：原式=(x+5)(x−8)
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如： y2−10y+21=y2−10y+25−4=(y−5)2−22=(y−5+2)(y−5−2)=(y−3)(y−7) ．
（1） 仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ab−a−b+1= ________ ；
②（十字相乘法） y2+3y−10= ________ ；
（2） 已知：a、b、c为 △ABC的三条边， a2+b2+c2−6a=10b+8c−50 ， 判断 △ABC的形状．
2.请利用多项式的乘法验代数恒等式： (a+b)(a2−ab+b2)=a3+b3 ，并根据此结论解答下列问题：
（1） 计算： (a+1)(a2−a+1) ；
（2） 因式分解： x3+8 ；
（3） 已知 m+n=6 ， mn=13 ，求 m3+n3 的值．
3.在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式： x3+2x2−x−2因式分解的结果为 (x−1)(x+1)(x+2) ， 当 x=18时， x−1=17 ， x+1=19 ， x+2=20 ， 此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1） 根据上述方法，当 x=21 ， y=7时，对于多项式 x3−xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出三个）
（2） 若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式 x3y+xy3分解因式后得到的六位数的数字密码（只需一个即可）；
（3） 若多项式 x3+(m−3n)x2−nx−21因式分解后，利用本题的方法，当 x=27时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
4.对于四个整式：A． 2x2 ；B． mx+5 ；C． −2x ；D．n．无论x取何值， B+C+D 的值都为0．
（1） m= ________ ， n= ________ ；
（2） 计算 A+B⋅C+D+1 ，并把计算结果分解因式；
（3） 若 BA−DC 的值是正数， 直接写出x的取值范围．
五、解答题
1.已知x﹣1= 5 ， 求代数式（x+1） 2﹣4（x+1）+4的值．
2.设 fx是关于x的多项式，若方程 fx=0有一个根为 x=a ， 则 fx=x−a⋅f1x=0 ． 所以多项式 fx必有一个一次因式 x−a ． 例如，多项式 fx=7x2−x−6 ， 当 x=1时， 7x2−x−6=0 ， 则 fx必有一个一次因式 x−1 ， 那么， 7x2−x−6=x−1mx+n ， 而 x−1mx+n=mx2+n−mx−n ， 所以 m=7 ， n=6 ， 7x2−x−6=x−17x+6 ． 这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题：
（1） 请你用“试根法”分解因式：
① x2+2x−3；
② x3−7x+6；
（2） 若多项式 2x3−x2−8x+m（m为常数）有一个因式为 x+2 ， 求m的值并将此多项式因式分解．
3.先分解因式，再求值：2（x﹣5） 2﹣6（5﹣x），其中x=7．
4.关于x的多项式x 2﹣5x+m分解因式后有一个因式是x﹣3，试求m的值．
5.在多项式x+1，x+2，x+3，x 2+2x﹣3，x 2+2x﹣1，x 2+2x+3中，哪些是多项式（x 2+2x） 4﹣10（x 2+2x） 2+9的因式？
六、阅读理解
1.19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式 x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和 x22+22的形式，要使用公式法就必须添一项 4x2 ， 随即将此项 4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−(2x)2=x2+2+2xx2+2−2x ， 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
（1）利用“热门定理”把 m4+64分解因式．
热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式 x2+2xa−3a2 ， 可以先加上一项 a2 ， 使它与 x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去 a2 ， 整个式子的值不变，于是有 x2+2xa−3a2=x2+2xa+a2−a2−3a2=(x+a)2−4a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a) ， 像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式： a4+a2+1 ．
2.阅读理解：因式分解有多种方法，除了提公因式法，公式法，十字相乘法等，还有分组分解法，拆项法，配方法等.一般情况下，我们需要综合运用多种方法才能解决问题.
例如：分解因式x3﹣4x2+x+6.步骤：
解：原式＝x3﹣3x2﹣x2+x+6 第1步：拆项法，将﹣4x2拆成﹣3x2和﹣x2；
＝（x3﹣3x2）﹣（x2﹣x﹣6）第2步：分组分解法，通过添括号进行分组；
＝x2（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）第3步：提公因式法和十字相乘法（局部）；
＝（x﹣3）（x2﹣x﹣2）第4步：提公因式法（整体）；
＝（x﹣3）（x﹣2）（x+1）第5步：十字相乘法：最后结果分解彻底.
（1） 请你试一试分解因式x 3﹣7x+6.
（2） 请你试一试在实数范围内分解因式x 4﹣5x 2+6.