初中数学北京版（2024）七年级下册（2024）8.1 因式分解课堂检测

这是一份初中数学北京版（2024）七年级下册（2024）8.1 因式分解课堂检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.多项式m 2－4n 2与m 2－4mn＋4n 2的公因式是（ ）
A . （m＋2n）（m－2n)
B . m＋2n
C . m－2n
D . （m＋2n）（m－2n）2
2.从左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A . （3﹣x）（3+x）=9﹣x2
B . （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
C . a2﹣4ab+4b2﹣1=a（a﹣4b）+（2b+1）（2b﹣1）
D . 4x2﹣25y2=（2x+5y）（2x﹣5y）
3.多项式9xy+3x 2y-6xyz各项的公因式是（ ）
A . 3yz B . 3xz C . 3xy D . 3x
4.若实数 a，b 满足方程组 ab+a−b=8，5a−5b+ab=20， 则 a2b−ab2 的值为（ ）
A . 20 B . 15 C . -15 D . 10
5.若a+b=5， ab=6， 则 a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）
A . 6 B . 24 C . 30 D . 150
6.对于任何整数a，多项式 2a+52-5都能（ ）
A . 被3整除 B . 被4整除 C . 被5整除 D . 被a整除
7.若m＞﹣1，则多项式m 3﹣m 2﹣m+1的值为（ ）
A . 正数 B . 负数 C . 非负数 D . 非正数
二、填空题
1.一个多项式，把它进行因式分解后有一个因式为 a−2 ， 请你写出一个符合条件的多项式 ________ ．
2.分解因式，直接写出结果 8a(x−a)+4b(a−x)−6c(x−a) = ________
3.已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x 2y+xy 2的值为 ________ ．
4.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如 4=22−02 ， 12=42−22 ， 20=62−42 ， 因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．
（1）当 28=m2−n2时， m+n= ________ ；
（2）不超过1010的所有“和谐数”之和为 ________ ．
5.下列各式① 30b27a ：② y2−x2x+y ：③ y2+x2x+y ；④ m2m ：⑤ 2x+3x−3 中分子与分母没有公因式的分式是 ________ ．(填序号)．
6.如果关于x的二次三项式 x2−mx−8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的可能取值为：．
7.当 m= ________ 时， x2−2mx+9是完全平方式．
8.若一个整数能表示成 a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为 2=12+12 ， 再如， M=x2+2xy+2y2=x+y2+y2（ x+y ， y是正整数），所以M也是“丰利数”．若 p=4x2−mxy+2y2−6y+9（其中 x>y>0）是“丰利数”，则 m= ________ ．
9.约分：（1） −18xy27x2y2= ________ ．（2） 6x2−12xy+6y26x−6y= ________ ．
三、计算题
1.设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x 2 ， 请你求出满足条件的a值．
2.简便运算：
（1） 34×3.14+410×0.314+2500×0.0314．
（2） 3562×2.02-2020×2.562．
3.分解因式：
（1） 2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）
（2） ﹣a 4+16
（3） a 2b﹣2ab+b
（4） 3（x﹣2y） 2﹣3x+6y．
4.选取最恰当的方法解方程：
（1） (x−3)2=5(3−x)；
（2） 3x2−6x=48 ．
四、综合题
1.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
2.教科书中这样写道：“我们把多项式 a2+2ab+b2及 a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式：x2＋2x－3.
原式.=x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例如：求代数式 2x2+4x−6的最小值.
原式=2x2+4x-6=2(x+1)2-8
∴当 x=−1时， 2x2+4x−6有最小值，最小值是－8.
（1） 请用上述方法分解因式： a2−2a−3= ________ ；
（2） 试说明：x、y取任何实数时，多项式 x2+y2−4x+2y+6的值总为正数；
（3） 当m、n为何值时，多项式有最小值，并求出 m2−2mn+2n2−4m−4n+25这个最小值.
3.用提公因式法进行简便计算:
（1） 30.14×950+30.14×50;
（2） 3.14×31+27×3.14+42×3.14.
五、解答题
1.数25 7－5 12能被120整除吗?请说明理由.
2.利用平方去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程．
例如： a=2+1 ， 移项得 a−1=2 ， 两边平方得 a−12=22 ， ∴ a2−2a+1=2 ， 即 a2−2a=1 ．
结合上面例子完成下面题目：已知 a=5−12 ．
求（1） a2+a的值．
（2） a3−2a+2019的值．
3.已知二次三项式2x 2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
4.阅读下面题目的解题过程：
x2+8x+7
=(x2+8x+16)−16+7（先加上16，再减去16）
=(x+4)2−32（用完全平方公式）
=(x+4+3)(x+4−3)（用平方差公式）
=(x+7)(x+1)
又如：
x2−4x−5
=(x2−4x+4)−4−5
=(x−2)2−32
=(x−2+3)(x−2−3)
=(x+1)(x−5)
像上面这样通过加减项配出完全平方式把多项式分解因式的方法叫配方法，请你用上述方法把下列多项式因式分解：
（1） x2+6x+5；
（2） m2-m-12 ．
六、阅读理解
1.阅读理解
阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”．
下面是小亮同学用换元法对多项式 (x2+4x+1)(x2+4x+7)+9进行因式分解的过程．
解：设 x2+4x=y ， 则原式 =y+1y+7+9（第一步）
＝ y2+8y+16 （第二步）
＝ (y+4)2 （第三步）
故原式 =(x2+4x+4)2 （第四步）．
=(x+2)4； （第五步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1） 初步理解：
小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2） 尝试应用：
请你用换元法对多项式 x2−2xx2−2x−2−3进行因式分解；
（3） 灵活运用：
请你将多项式 x(x+3)(x−1)(x−4)+36进行因式分解
2.先阅读下列因式分解的过程， 再回答问题：
例11+x+x(1+x) =(1+x)(1+x) =(1+x)2
例 21+x+x(1+x)+x(1+x)2= (1+x)(1+x)+x(1+x)2=(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)2(1+x) =(1+x)2(1+x) =(1+x)3
（1） 分解因式： 1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3= ________ ；
1+x+x(1+x)+x(1+x)2+x(1+x)3+ x(1+x)4= ________ ；
1+x+x(1+x)+x(1+x)2+⋯+x(1+ x)n= ________ .
（2） 分解因式 (要求写出关键步骤)：x-1-x(x-1)+x(x-1)2-x(x-1)3+ x(x-1)4
3.19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式 x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和 x22+22的形式，要使用公式法就必须添一项 4x2 ， 随即将此项 4x2减去，即可得 x4+4=x4+4x2+4−4x2=x2+22−4x2=x2+22−(2x)2=x2+2+2xx2+2−2x ， 人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．
（1）利用“热门定理”把 m4+64分解因式．
热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式 x2+2xa−3a2 ， 可以先加上一项 a2 ， 使它与 x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去 a2 ， 整个式子的值不变，于是有 x2+2xa−3a2=x2+2xa+a2−a2−3a2=(x+a)2−4a2=(x+a)2−(2a)2=(x+3a)(x−a) ， 像这样的方法统称为“配方法”．
（2）请利用“配方法”分解因式： a4+a2+1 ．