数学人教A版2019选择性必修第一册 6.4.1余弦定理讲义（学生版＋教师版）

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一、余弦定理
1.余弦定理的语言
（1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
（2）符号语言:在中,，
2.余弦定理的推论
在中,.
3.解三角形
一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
考点01已知两边及夹角解三角形
【方法点拨】直接运用余弦定理求出另外一边,再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角.
【例1】在中，已知.
(1)求的长
(2)求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理即可得解；
（2）利用余弦定理求得，再利用三角函数的基本关系式与倍角公式即可得解.
【详解】（1）因为，
由余弦定理可得，
,
所以.
（2）因为，
所以，
又，所以，
则.
【例2】在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形三边关系，即可得到结果.
【详解】因为是钝角三角形，，且是最大边，
由余弦定理可得，于是可得，且，解得，
又，所以边的取值范围是.
故选：D
【变式1-1】在中，已知，，，求c和．
【答案】c＝2，
【分析】首先代入余弦定理求，再根据三边，求，即可求解.
【详解】由余弦定理得＝4，
所以．
再由余弦定理可得．
因为是三角形的内角，所以．
【变式1-2】记的内角，，的对边分别为，，，若，，则 .
【答案】/
【分析】利用余弦定理得到，再由余弦定理计算可得.
【详解】因为，，由余弦定理，
所以，所以，
所以.
故答案为：
【变式1-3】在中，，，则AB＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用倍角余弦公式求得，再由余弦定理求对应边长.
【详解】由题设，又，
所以.
故选：C
考点02已知两边及一对角解三角形
【方法点拨】可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
【例3】（多选）在中，，这个三角形的周长可能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理先求出，注意检验是否满足三角形三边关系，由此即可得解.
【详解】由题意，由余弦定理有，即，
化简得，解得或，
经检验或均满足三角形三边关系，
所以这个三角形的周长可能为或.
故选：AB.
【例4】的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求得，进而求得.
【详解】由余弦定理，，
因为，所以，
即，解得（舍），
所以，.
故选：D
【变式2-1】在中，已知，，. 求、及.
【答案】，，或，，
【分析】根据余弦定理求出，再由余弦定理求角即可得解.
【详解】由余弦定理，得，
即，所以或.
①当时，，所以，
从而；
②当时，，所以，
从而.
【变式2-2】在中，已知，且，则的值为 .
【答案】4或8/8或4
【分析】利用余弦定理可得答案.
【详解】由，得，
利用余弦定理可得，
即，解得或；
故答案为：4或8.
【变式2-3】已知中，，，若为钝角三角形，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合三角形的性质，推得，再结合余弦定理，即可求解．
【详解】在中，，，
则，即，
，，，
则角为钝角或角为钝角，
若角是钝角，
则，即，
故，
若角是钝角，
则，即，解得．
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
考点03已知三边解三角形
【方法点拨】先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦,从而求出第一个角;再利用余弦定理的推论求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三个角.
注意:若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.
【例5】在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.
【详解】在中，，
由余弦定理得,
而A为三角形内角，故，
故选：D
【例6】的内角，，所对的边分别为，，.已知，则 ．
【答案】//
【分析】运用余弦定理解三角形即可.
【详解】在中，由余弦定理知，
又，所以，
又，所以.
故答案为：.
【变式3-1】已知的内角的对边分别为，若，，，则边上的中线AD的长为 .
【答案】
【分析】根据余弦定理得出.进而在中，利用余弦定理，即可得出答案.
【详解】
由余弦定理可得，.
在中，有，，
由余弦定理可得
，
所以，.
故答案为：.
【变式3-2】在平面四边形中，，证明：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，在和中，分别应用余弦定理，准确化简，即可求解.
【详解】在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，所以
所以．
【变式3-3】在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】存在正整数，使得为钝角三角形
【分析】由可知只需即可求得a的值，进而检验即可.
【详解】由题意，知，要使为钝角三角形，
需，得．
因为为正整数，所以或．
当时，，，此时不能构成三角形；
当时，，，满足题意．
综上，存在正整数，使得为钝角三角形．
考点04判断三角形的形状
【方法点拨】利用余弦定理判断三角形形状的两种途径
（1）化边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再变形进行判断.
（2）化角的关系:将条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换得出关系进行判断.
【例7】在中，，，分别为角，，的对边，则的值（ ）
A．等于0B．大于0C．小于0D．与的形状有关
【答案】A
【分析】利用余弦定理化角为边，运算即得解
【详解】由题意，根据余弦定理
故选：A
【例8】在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．直角三角形或等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据三角恒等变换得，再由余弦定理解决即可.
【详解】由题知，，
所以，
所以，得，
所以，得，
所以的形状为直角三角形，
故选：A
【变式4-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】先化简，再结合余弦定理可得，所以得，令，代入前面的式子可求出，然后根据三边的关系可判断三角形的形状.
【详解】由，得，
化简得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
所以，令，则
，得，得，
所以，
所以为直角三角形，
故选：A
【变式4-2】的内角的对边分别为.已知，则的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】首先利用降幂公式化简,再利用余弦定理化简即可.
【详解】由
再由余弦定理得：
故三角形为直角三角形
故选：A
【变式4-3】已知中，，试判断此三角形的形状．
【答案】等腰三角形
【分析】由余弦定理角化边整理可得.
【详解】
整理得：，即
所以为等腰三角形.
考点05边角互化的其他应用
【例9】若钝角的内角，，满足，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用三角形内角和结合条件求得，然后利用余弦定理及钝角三角形得，即可求解.
【详解】设三角形的三边从小到大依次为，，，
因为，则，故可得，
根据余弦定理得：，于是，
因为为钝角三角形，故，于是，即，
则，即.
故选：B.
【例10】在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.
【详解】因为，
所以由余弦定理可得，即，
所以
故选：B
【变式5-1】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理和基本不等式求解.
【详解】由余弦定理，代入，得，
整理得：，
则，
当仅当时取“”，
由因为，所以，
所以角B的最大值为.
故答案为：.
【变式5-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)若，求A；
(2)若，求证：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用余弦定理将已知等式统一成边的形式，再结合余弦定理和，可求出角；
（2）由结合余弦的二倍角公式可求出，再利用余弦定理得，由结合余弦定理得，两式结合化简可证得结论.
【详解】（1）解：因为，
所以由余弦定理得，
所以，得，
因为，所以，得，
所以由余弦定理得，
因为，所以；
（2）证明：因为，所以，
化简整理得，
，解得或（舍去），
所以由余弦定理得，所以，
因为，
所以由余弦定理得，
整理得，
所以，
所以，得，
所以.
【变式5-3】在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求的值；
(2)若，，是的中点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理化简，求解即可；
（2）根据中点有，再平方后利用向量的数量积公式求解即可.
【详解】（1）根据余弦定理可得，，
即，，
所以；
（2）由（1）可知，，所以，
因为是边的中点,所以,
所以.
一、单选题
1．在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理解三角形.
【详解】由余弦定理，
将，，，代入得，
则有，且，解得.
故选：B.
2．在中，若，则角的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，即可求解.
【详解】因为，由余弦定理可得，
因为，所以.
故选：C.
3．已知钝角的角，，所对的边分别为，，，，，则最大边的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件利用余弦定理建立不等关系即可计算作答.
【详解】因是钝角三角形，，，且是最大边，则由余弦定理得：，
于是得，，解得，又有，即，
所以最大边的取值范围是：.
故选：C
4．已知一个三角形的三边分别是a、b、，则此三角形中的最大角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意得，为最大边，利用余弦定理求得最大角的余弦值，从而求得最大角．
【详解】一个三角形的三边分别是、、，为最大边．
设最大角为，由余弦定理可得
，，
因为，故此三角形中的最大角为，
故选：B．
5．在中，角所对的边分别为．若，则为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得.
【详解】由余弦定理可得：，
即，
整理得：，
得或，所以为等腰或直角三角形.
故选：D
6．在中，内角所对的边分别为，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值.
【详解】在中，
因为，所以，则，
所以，且均为锐角，故，
由余弦定理得，所以，
又，当且仅当时等号成立，
所以的最大值是.
故选：B.
二、多选题
7．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】AB
【分析】由余弦定理解三角形.
【详解】，，，由余弦定理，有，
得，即，解得或.
故选：AB
8．由下列条件解，其中只有一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】AB
【分析】根据三角形全等结合余弦定理运算求解.
【详解】对于选项A：因为，，则，且，
根据三角形全等（角角边）可知存在且唯一的，故A正确；
对于选项B：因为，，，
根据三角形全等（边角边）可知存在且唯一的，故B正确；
对于选项C：由余弦定理可得：，即，
整理得，解得或，
所以满足条件的三角形有两个，故C错误；
对于选项D：由余弦定理可得：，即，
整理得，且，无解，
所以此时三角形不存在，故D错误；
故选：AB.
9．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则一定是锐角三角形
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则是锐角三角形
D．若为锐角三角形，则
【答案】BD
【分析】根据二倍角公式，化简整理可得出，即可判断A项；根据余弦定理角化边，整理即可判断B项；根据数量积的定义，可推得为锐角，结合锐角三角形的概念，即可判断C项；根据已知可推得.然后结合正弦函数的单调性，即可判断D项.
【详解】对于项，因为，知，
由可得，，
化简得，
故一定为直角三角形，故错误；
对于B项，因为，
根据余弦定理可得，
整理可得，所以，或，
故为等腰三角形或直角三角形，故正确；
对于项，因为，所以，所以为锐角，
但无法确定是否为锐角，故错误；
对于项，因为为锐角三角形，所以，
则.
又因为在上单调递增，
所以，即：，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
10．已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是 .
【答案】或
【分析】根据三角形的性质，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，
则该三角形最小内角的余弦值为或.
故答案为：或
11．如图所示，点A是等边外一点，且，，，则的周长为 ．

【答案】/
【分析】在中，由余弦定理求得，然后结合等腰三角形、直角三角形求得结论．
【详解】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等边三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周长为．
故答案为：.
12．已知中，角的对边分别为，，则角 ．
【答案】
【分析】根据题意结合余弦定理运算求解.
【详解】因为，则，即，
可得，
且，所以.
故答案为：.
四、解答题
13．的三边之比为．求这个三角形的最大角．
【答案】
【分析】设出三边，由余弦定理求出最大角的余弦值，进而求出三角形的最大角.
【详解】的三边之比为，不妨设的三边长为，
由于大边对大角，设长度为的边所对角为最大角，设最大角为，
则，
因为，所以，
故这个三角形的最大角为
14．在中，求证：
【答案】证明见解析.
【分析】利用余弦定理角化边可整理得到结论.
【详解】由余弦定理得：.
15．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且
(1)求角C﹔
(2)若，,求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)角化边化简可得即可求解;(2)利用余弦定理结合已知条件即可求解.
【详解】（1）由得,
因为,
所以,因为,所以,
因为,所以.
（2）由余弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，解得.