数学人教A版2019选择性必修第一册 6.4.2正弦定理讲义（学生版＋教师版）

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知识点 1 ：正弦定理
1.正弦定理的语言
（1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
（2）符号语言:在中,
2.正弦定理的推论及变形公式
（1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则;
（2）正弦定理的变形
①;
②;
③.
知识点3三角形的面积公式
（1）分别表示边上的高）
（2）；
（3）是内切圆的半径).
知识点 2 ：判断三角形的解的个数
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
考点01 正弦定理解三角形
【方法点拨】（1）已知两角及一边：①若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对的边,再由三角形内角和定理求出第三个角；②若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边；
（2）已知两边及其一边的对角：①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一；③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.
【例1】中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．或
【例2】在中，，，，则 ．
【变式1-1】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）
A．或B．C．D．3
【变式1-2】在中，内角的对边分别为，已知，则 .
【变式1-3】在中，，，，则 .
考点02 正弦定理判定三角形解的个数
【方法点拨】已知和,用正弦定理求时的情况：（1）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解；③若，三角形两解；④若，三角形一解;
（2）当为锐角时，①若，三角形无解；②若，三角形一解
【例3】（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【例4】已知的内角所对的边分别为，则使得有两组解的的值为 ．（写出满足条件的一个整数值即可）．
【变式2-1】若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是 .
【变式2-3】在外接圆半径为4的中，，若符合上述条件的三角形有两个，则边的长可能为（ ）
A．2B．3C．4D．5
考点03 三角形的面积公式及应用
【方法点拨】一般用公式进行求解,可分为以下两种情况:
（1）若所求面积为多边形的面积,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积.
（2）若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解.
【例5】已知，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【例6】在中，，则 .
【变式3-1】内角，，对应边分别是，，，若，，，则的面积为（ ）
A．2B．C．D．
【变式3-2】在中，、、分别为内角、、的对边，，，面积为12，则 .
【变式3-3】在中，，，.
(1)求，的值和的面积；
(2)求的值.
考点04 正弦定理求三角形外接圆半径
【例7】在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（ ）
A．B．C．6D．12
【例8】在中，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A．4πB．8πC．16πD．64π
【变式4-1】的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆半径为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则外接圆的面积是 .
【变式4-3】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积为，，则该三角形的外接圆直径 ．
考点05 正弦定理边角互化的应用
【方法点拨】出现关于边的齐次式方程,或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化.
【例9】已知分别为的角所对的边，且满足，．
(1)求；
(2)若外接圆的半径为，求.
【例10】在中，角，，的对边分别为，，，，则 .
【变式5-1】在中，角，，的对边分别为，，，已知.则 .
【变式5-2】在中，分别为边所对的角，且满足.
(1)求的大小；
(2)若，求的面积.
【变式5-3】在中，内角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若，求的周长.
考点06 正弦定理判断三角形的形状
【方法点拨】判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑.
【例11】的面积为，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形（非等边）B．直角三角形
C．正三角形D．钝角三角形
【例12】在中，角，，分别为，，三边所对的角，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【变式6-1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若的面积为，请判断的形状，并说明理由．
【变式6-2】在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
【变式6-3】已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若的面积为，周长为6，试判断的形状.
1．（2023-24高三上·全国·阶段练习）△ABC的三个内角、、所对的边分别为、、，若， ，则＝（ ）
A．2B．C．D．3
2．（2023-24高三上·海南·阶段练习）在中，，，分别为内角，，的对边，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023-24高三上·江西抚州·期中）在中，若，则角（ ）
A．B．C．D．
4．（2024高三·全国·专题练习）在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
5．（2023-24高一下·福建宁德·阶段练习）在中，，，，若满足条件的有2个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023-24高三上·四川绵阳·阶段练习）在中，内角的对边分别为，已知，则（ ）
A．4049B．4048C．4047D．4046
7．（2023-24高三上·山西太原·期中）（多选）已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．是锐角三角形B．
C．的面积为D．AB的中线长为
8．（2023-24高三上·吉林·期末）（多选）在中，内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．
C．D．
9．（2024·上海静安·一模）在中，已知，则的值为 .
10．（2024·四川·模拟预测）已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为 ．
11．（2024-2025学年高三上学期12月质量调研数学试卷）设的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则的值为 .
12．（2023-24高一下·天津·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
13．（2023-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知内角的对边分别为，设.
(1)求；
(2)若的面积为，求的值.
14．（2023-24高三上·山东济宁·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的值；
(2)若为的中点，且，，求的面积.
15．（2023-24高三上·山西长治·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
(1)求A；
(2)若D是BC边上一点，且，，求的值．
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解