人教A版数学2019选择性必修第一册 7.1 复数的概念讲义（学生版＋教师版）

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模块一 数系的扩充和复数的概念
模块二 复数的几何意义
模块三 课后练习
模块一
数系的扩充和复数的概念
基础知识
1．1．数系的扩充与复数的相关概念
(1)复数的引入
为了解决+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们引入一个新数i，规定：
①=-1，即i是方程+1=0的根；
②实数可以和数i进行加法和乘法运算，且加法和乘法的运算律仍然成立.
在此规定下，实数a与i相加，结果记作a+i；实数b与i相乘，结果记作bi；实数a与bi相加，结果
记作a+bi.注意到所有实数以及i都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
(2)复数的概念
我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.这样，方程+1=0在复数集C中就有解x=i了.
(3)复数的表示
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).以后不作特殊说明时，复数z=a+bi都有a,b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
(4)复数的分类
对于复数a+bi，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R是复数集C的真子集，即RC.
复数z=a+bi可以分类如下：
复数，
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用图表示.
2．复数相等
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当
a=c且b=d，即当且仅当两个复数的实部与实部相等、虚部与虚部相等时，两个复数才相等.
【考点1 复数的概念】
【例题1.1】设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 .
【答案】
【分析】借助纯虚数定义列不等式组计算即得.
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
【例题1.2】已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可.
【详解】设复数，则，
，
而复数为纯虚数，则，且，
所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件.
故选：B.
【变式1.1】已知复数，．
(1)若z为实数，求x的值；
(2)若z为虚数，求x的取值范围；
(3)若z为纯虚数，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解.
【详解】（1）由z为实数，得，所以.
（2）由z为虚数，得，解得，
所以x的取值范围为.
（3）由z为纯虚数，得且，所以.
【变式1.2】已知，复数的实部是虚部的3倍，则（ ）
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果.
【详解】易知复数的实部为，虚部为；
所以，解得.
故选：B
【变式1.3】若复数的虚部是实部的3倍，则实数 .
【答案】/
【分析】根据实部和虚部的关系列方程，化简求得的值.
【详解】因为的虚部是实部的3倍，所以，解得.
故答案为：
【考点2 相等条件求参数】
【例题2.1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意得，解方程即可
【详解】因为的实部与虚部相等，
所以，解得，
故选：C.
【例题2.2】已知，则 ．
【答案】1
【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可．
【详解】由，得，解得．
故答案为：1．
【变式2.1】已知复数等于，其中、．求x、y的值．
【答案】，
【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值．
【详解】解：由题意，，
可得，
由，解得，
则，
解得，．
故、的值分别为4，3．
【变式2.2】已知，其中、．求x、y的值．
【答案】或或或
【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可．
【详解】解：，
且，
解得：或且或，
或或或．
【变式2.3】已知复数，其中、．求x、y的值．
【答案】，
【分析】由复数相等的条件列方程组求解．
【详解】解：由，
得，解得．
，．
【考点3 复数的相等】
【例题2.1】设为虚数单位，若，则（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】C
【分析】根据复数相等的性质列等式运算即可.
【详解】由题得解得所以.
故选：.
【例题2.2】已知，为实数，（为虚数单位），则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】由复数相等的条件即可求解.
【详解】因为，
所以，.
故选：B.
【变式2.1】已知，其中、，则 ．
【答案】
【分析】根据复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.
【详解】因为，其中、，
由复数相等可得，解得，因此，.
故答案为：.
【变式2.2】若，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据复数相等的概念可得.
【详解】由题意得，，解得，所以.
故选：C
【变式2.3】若与均为实数，且，则的值为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案.
【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得.
故选：C.
【考点3 复数的分类辨析】
【例题3.1】已知是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．-1或3B．1或3C．-1D．3
【答案】D
【分析】由纯虚数定义结合题意可得答案.
【详解】由题意可知解得.
故选：D.
【例题3.2】若复数是实数，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可.
【详解】因为复数是实数，则，解得.
故选：C.
【变式3.1】若复数是纯虚数，则实数（ ）
A．2或3B．3C．2D．0
【答案】C
【分析】根据纯虚数的概念即可求解.
【详解】由题意，得，解得.
故选：C.
【变式3.2】已知复数为纯虚数，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义求解即可.
【详解】由题意，知，因为复数为纯虚数，所以，所以，
故选：C
【变式3.3】已知复数，为纯虚数，则实数 .
【答案】
【分析】根据纯虚数的概念得解.
【详解】因为复数，为纯虚数，
所以且，
解得，
故答案为：
模块二
复数的几何意义
基础知识
1．复数的几何意义
(1)复平面
根据复数相等的定义，可得复数z=a+bi有序实数对(a,b)，而有序实数对(a,b)平面
直角坐标系中的点，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示，这个建立了直角坐标系来
表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数的几何意义——与点对应
由上可知，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一
的一个复数和它对应.复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)，这是复数的一种几何意义.
(3) 复数的几何意义——与向量对应
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一
对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定.
因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量，这是复数的另一种几何意义.
2．复数的模
向量的模r叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|.如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它
的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可知，|z|=|a+bi|=r=(r0,r∈R).
3．共轭复数
(1)定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0
的两个共轭复数也复数z的共轭复数用表示，即若z=a+bi，则=a-bi.特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
(2)几何意义
互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称(如图).特别地，实数和它的共轭复数在复
平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)性质
①=z.
②实数的共轭复数是它本身，即z=z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数.
4．复数的模的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|就是复数z=a+bi在复平面内对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离，这是复数
的模的几何意义.
(2)复数z在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点Z组成的集合是以
原点为圆心，r为半径的圆，|z|r表示圆的外部.
【考点1 复数的几何意义】
【例题1.1】已知复数，，且，在复平面内对应的点分别为，，设复平面原点为，若向量与共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数的几何意义得，，然后利用向量的共线坐标运算列式即可求解.
【详解】由复数的几何意义可知对应点，即.
对应点，即.
若与共线，则，解得.
故选：A.
【例题1.2】已知复数（是虚数单位），.
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解；
（2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围.
【详解】（1），
若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得.
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0，
即 ，，解得，即.
【变式1.1】设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数.
【详解】复数对应的点的坐标为，
因为该点在直线上，所以，
解得，则.
故选：B.
【变式1.2】四边形是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点 对应的复数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设对应点的坐标为，根据为平行四边形，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由在复平面内，点对应的复数分别为，
可得点在复平面内对应的点的坐标为，
设在复平面内对应点的坐标为，
因为为平行四边形，所以，
又因为，，所以，解得，
所以点对应的复数为.
故选：C.
【变式1.3】已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】依题意，化简得，再根据所对应的点在第二象限，列不等式求解即可.
【详解】由，即，
由于对应的点在第二象限，，解得
又，
，即．
又．
【考点2 复数的象限意义】
【例题2.1】已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】先计算出，然后可知对应点坐标，则结果可知.
【详解】因为，其对应点为，
所以在复平面内对应的点位于第三象限，
故选：C.
【例题2.2】已知复数满足，在复平面内，表示复数的点在第一象限，则复数的可能取值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的模及复数对应点判断选项即可得解.
【详解】因为，，
所以排除BD，
因为对应的点在复平面内第一象限，对应的点在复平面内第四象限，
所以A正确，C错误.
故选：A
【变式2.1】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的几何表示即可.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，
故选：B.
【变式2.2】在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何表示即可得.
【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以.
故选：A.
【变式2.3】若复数满足，则（ ）
A．5B．2C．D．1
【答案】B
【分析】先根据条件求出，再利用复数的乘法可得答案.
【详解】因为，所以，
所以，即.
故选：B
【考点3 共轭复数】
【例题3.1】复数，z的共轭复数为，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】由共轭复数定义结合复数乘法可得答案.
【详解】因，则，.
故选：B
【例题3.2】（多选）对任意的复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则复数在复平面内对应的点在第四象限
C．
D．若是纯虚数，则
【答案】BD
【分析】根据题意，结合复数的运算以及几何意义逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于A，，，故A错误，
对于B，，对应坐标为，在第四象限，故B正确,
对于C，设 ，则
，，
当时，，故C错误，
对于D，若是纯虚数，
则实数部分应该为0，即，解得
当时，复数为纯虚数，故D正确.
故选：BD.
【变式3.1】已知复数z满足，则（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】C
【分析】利用复数运算法则计算可得，再利用共轭复数定义计算即可得解.
【详解】，则，
故，
故.
故选：C.
【变式3.2】已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，利用模长公式即可求解.
【详解】由题意可知.
故选：A
【变式3.3】设是虚数单位，则复数的共轭复数 .
【答案】
【分析】利用复数的除法求出，利用共轭复数的定义求出.
【详解】，
.
故答案为：.
【考点4 复数的模】
【例题4.1】已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.
【详解】依题意得，
故.
故选：C.
【例题4.2】在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，设点对应的复数为，列出方程组，即可求解.
【详解】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，
则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，
因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中，
则满足，解得，所以点所对应的复数为.
故选：C．
【变式4.1】已知复数在复平面上所对应的点位于第二象限，且满足，若复数，且为纯虚数，则= ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，设，根据题意列出相关方程即可求出答案.
【详解】设，
由题意得，且为纯虚数，则，解得，
代入，解得，
又因为复数在复平面上所对应的点位于第二象限，则，则，
所以.
故答案为：.
【变式4.2】已知为虚数单位，且，则的最大值是 ．
【答案】3
【分析】设，利用模的几何意义求解即可.
【详解】设，由的几何意义知，
z对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，即，
因为的几何意义为点到坐标原点的距离，
所以.
故答案为：3.
【变式4.3】已知为实数，则（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】根据复数的分类，结合复数模的运算公式进行求解即可.
【详解】因为为实数，
所以，解得，则，
故选：B
1、若复数的虚部为1，则在复平面对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的虚部解得参数，即可依次确定，再结合复数的几何意义，即可得解.
【详解】的虚部为，
，解得，所以，
故在复平面对应的点的坐标为，
故选：A.
2、若复数为纯虚数，则（ ）
A．2B．1C．0D．1或2
【答案】B
【分析】由纯虚数的概念即可求解.
【详解】由题意可得：，
解得：
故选：B
3、已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算求出复数z，即得其虚部.
【详解】由，则复数的虚部为，
故选：B.
4、复数的虚部为（ ）
A．2025B．C．1121D．1120
【答案】D
【分析】由虚部的概念即可求解.
【详解】由可知，虚部为1120.
故选：D
5、如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果.
【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是.
故选：A.
6、已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的乘法求出，进而确定对应点的位置.
【详解】复数在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
8、若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据复数模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，得.
故选：D.
9、在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义判断即可.
【详解】，是纯虚数；，，是实数；是虚数，但不是纯虚数；
综上，纯虚数的个数为2.
故选：C.
10、设（i为虚数单位），则 .
【答案】
【分析】根据复数模的性质求解.
【详解】，
故答案为：
11、若为纯虚数，则 .
【答案】
【分析】利用虚数的概念计算参数，再计算模长即可.
【详解】由题意可知，即，
则.
故答案为：
12、已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，找到复数的虚部、实部，得到不等式，进而求得的取值范围.
【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为，
因为复数的实部与虚部之积大于0，
可得，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
13、已知复数，（），
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围；
(3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解；
（2）利用复数的几何意义列不等式组求解；
（3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解.
【详解】（1）若z为纯虚数，则，
解得；
（2）若复数z对应的点位于第二象限，则，
解得；
（3）若复数z对应的点位于直线上，则，
解得或，
则或.