高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第11讲余弦定理(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第11讲余弦定理(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了余弦定理与勾股定理的关系，余弦定理的特点，故选，故选D.等内容，欢迎下载使用。

知识点1 余弦定理
余弦定理的公式表达及语言叙述
知识点2 余弦定理解读
用向量的方法证明余弦定理：在中，．
证明：∵＝＋，
∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即||2＝||2＋||2＋2||||cs(180°－A)，
∴.
2．余弦定理与勾股定理的关系
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
3．余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
4．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．
(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
5. 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c26. 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cs A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.
知识点3 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. .
考点一 已知两边及一角解三角形
解题方略：
必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
已知两边及其夹角
若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
【例1】在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a.
变式1：在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c等于( )
A.eq \r(39) B．8eq \r(3) C．10eq \r(2) D．7eq \r(3)
变式2：在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4eq \r(3) B.eq \r(7) C．7 D．5
变式3：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cs(A＋B)＝eq \f(1,3)，则c＝( )
A．4 B.eq \r(15) C．3 D.eq \r(17)
变式4：在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形．
变式5：在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
变式6：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．25
已知两边及一边的对角
若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D．3
变式1：在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝________.
考点二 已知三边解三角形
解题方略：
已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.
【例3】△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq \r(7)，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
变式1：在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C.
变式2：如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.eq \f(5,18) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(7,8)
变式3：边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
变式4：已知△ABC中，a：b：c＝2：eq \r(6)：(eq \r(3)＋1)，求△ABC的各内角度数
变式5：若三角形三边长之比是1∶eq \r(3)∶2，则其所对角之比是( )
A．1∶2∶3 B．1∶eq \r(3)∶2
C．1∶eq \r(2)∶eq \r(3) D.eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
变式6：在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(eq \r(3)＋1)∶2，求角C.
变式7：△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
考点三 判断三角形的形状
解题方略：
利用余弦定理判断三角形形状的方法
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
【例4】在△ABC中，若a＝2bcsC，则△ABC的形状为________．
变式1：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(1,3)，b＝3c，试判断△ABC的形状．
变式3：在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断三角形的形状．
变式4：在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs B·cs C，试判断△ABC的形状．
变式5：在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
考点四 余弦定理的应用
求边（求值）
【例5】在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
变式1：在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．
变式2：在△ABC中，AB＝2，AC＝eq \r(6)，BC＝1＋eq \r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
变式3：在△ABC中，AC＝2，BC＝2 eq \r(2)，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝( )
A.eq \f(2 \r(5),5) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(5)
变式4：若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.eq \f(4,3) B．8－4eq \r(3) C．1 D.eq \f(2,3)
变式5：已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
求角
【例6】在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cs C＝________.
变式1：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ）
A．B．C．D．
变式2：在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
变式3：已知是三边长，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为（ ）．
A． B．C．或 D．或
(三）最值（范围）
【例7】锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1变式1：若，，为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.
练习一 已知两边及一角解三角形
1、在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60eq \r(3) cm，A＝eq \f(π,6)，则a＝________cm；
2、在中，，,，则（ ）
A．B．C．D．
3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于( )
A．32－16 eq \r(3) B．32＋16 C．32＋16 eq \r(3)D．48
4、在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，b＝1，则c＝( )
A．1 B．2 C．eq \r(3)－1 D．eq \r(3)
6、在△ABC中，B＝45°，AC＝eq \r(10)，AB＝2，试用余弦定理求BC边的长．
练习二 已知三边解三角形
1、在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→)) 的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．－5
2、在△中，如果，求的值.
练习三 判断三角形的形状
1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
2、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
3、在△ABC中，sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
练习四 余弦定理的应用
1、在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．或
2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60° C．90°D．135°
3、在△中，已知，求A的大小.
4、在△ABC中，若∠C＝60°，则eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,c＋a)＝ .
5、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两个根，且2cs(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长度．
7、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq \f(cs B,cs C)＝－eq \f(b,2a＋c).
(1)求B的大小；
(2)若b＝eq \r(13)，a＋c＝4，求a的值．
8、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.求c.
9、在中，角，，所对的边分别为，，，且
（1）求角；
（2）已知，求周长的取值范围.
余
弦
定
理
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccs A，
b2＝a2＋c2－2accs B，
c2＝a2＋b2－2abcs C
语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
第11讲 余弦定理
知识点1 余弦定理
余弦定理的公式表达及语言叙述
知识点2 余弦定理解读
用向量的方法证明余弦定理：在中，．
证明：∵＝＋，
∴()2＝(＋)2＝()2＋()2＋2·，即||2＝||2＋||2＋2||||cs(180°－A)，
∴.
2．余弦定理与勾股定理的关系
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
3．余弦定理的特点
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
4．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．
(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
5. 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c26. 当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cs A等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.
知识点3 解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. .
考点一 已知两边及一角解三角形
解题方略：
必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
已知两边及其夹角
若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
【例1】在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a.
【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA＝32＋(2eq \r(3))2－2×3×2eq \r(3)cs30°＝3，所以a＝eq \r(3).
变式1：在△ABC中，已知a＝9，b＝2eq \r(3)，C＝150°，则c等于( )
A.eq \r(39) B．8eq \r(3) C．10eq \r(2) D．7eq \r(3)
【解析】由余弦定理得：c＝eq \r(92＋2\r(3)2－2×9×2\r(3)×cs 150°)＝eq \r(147)＝7eq \r(3).故选D.
变式2：在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4eq \r(3) B.eq \r(7) C．7 D．5
【解析】b2＝a2＋c2－2accs B＝32＋52－2×3×5×cs 120°＝49，
∴b＝7.
变式3：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cs(A＋B)＝eq \f(1,3)，则c＝( )
A．4 B.eq \r(15) C．3 D.eq \r(17)
【解析】cs C＝－cs(A＋B)＝－eq \f(1,3).又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝9＋4－2×3×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝17，所以c＝eq \r(17).故选D.
变式4：在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形．
【解析】根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accs B＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(6)＋eq \r(2))2－2×2eq \r(3)×(eq \r(6)＋eq \r(2))×cs 45°＝8，
∴b＝2eq \r(2).
又∵cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
变式5：在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
【解析】由余弦定理得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，解得b＝4.
变式6：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若C＝60°，a＝5，b＝8，则△ABC的周长为（ ）
A．20B．30C．40D．25
【解析】根据余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2abcsC＝52+82﹣5×8＝49，
所以c＝7，则△ABC的周长为20．故选：A．
已知两边及一边的对角
若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．
【例2】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝eq \r(5)，c＝2，cs A＝eq \f(2,3)，则b＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D．3
【解析】由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×eq \f(2,3)，解得b＝3或b＝－eq \f(1,3)(舍去)．故选D.
变式1：在△ABC中，若AB＝eq \r(5)，AC＝5，且cs C＝eq \f(9,10)，则BC＝________.
【解析】由余弦定理得：(eq \r(5))2＝52＋BC2－2×5×BC×eq \f(9,10)，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
考点二 已知三边解三角形
解题方略：
已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角.
【例3】△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq \r(7)，b＝3，c＝2，则A＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】∵a＝eq \r(7)，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(9＋4－7,2×3×2)＝eq \f(1,2)，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.
变式1：在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C.
【解析】根据余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(6＋2\r(3)2＋4\r(3)2－2\r(6)2,26＋2\r(3)4\r(3))＝eq \f(\r(3),2).
∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(2\r(6)2＋6＋2\r(3)2－4\r(3)2,2×2\r(6)×6＋2\r(3))＝eq \f(\r(2),2)，
∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(π,4).
∴B＝π－A－C＝π－eq \f(π,6)－eq \f(π,4)＝eq \f(7,12)π，
∴A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(7,12)π，C＝eq \f(π,4).
变式2：如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A.eq \f(5,18) B.eq \f(3,4) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(7,8)
【解析】设三角形的底边长为a，则周长为5a.∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cs α＝eq \f(2a2＋2a2－a2,2×2a×2a)＝eq \f(7,8).故选D.
变式3：边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
【解析】设中间角为θ，则θ为锐角，cs θ＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(1,2)，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
变式4：已知△ABC中，a：b：c＝2：eq \r(6)：(eq \r(3)＋1)，求△ABC的各内角度数
【解析】∵a：b：c＝2：eq \r(6)：(eq \r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k>0)．
由余弦定理的推论得：csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(2),2)，
∴A＝45°，csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
变式5：若三角形三边长之比是1∶eq \r(3)∶2，则其所对角之比是( )
A．1∶2∶3 B．1∶eq \r(3)∶2
C．1∶eq \r(2)∶eq \r(3) D.eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
【解析】设三角形三边长分别为m，eq \r(3)m,2m(m＞0)，最大角为A，则cs A＝eq \f(m2＋\r(3)m2－2m2,2m·\r(3)m)＝0，
∴A＝90°.设最小角为B，则cs B＝eq \f(2m2＋\r(3)m2－m2,2·2m·\r(3)m)＝eq \f(\r(3),2)，
∴B＝30°，∴C＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A.
变式6：在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且sin A∶sin C＝(eq \r(3)＋1)∶2，求角C.
【解析】∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accsB.
∴2accs B＝ac，∴cs B＝eq \f(1,2).
∵0°＜B＜180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(\r(3)＋1,2)，∴2sin A＝(eq \r(3)＋1)sin C.
∴2sin(120°－C)＝(eq \r(3)＋1)sin C.
∴2sin 120°cs C－2cs 120°sin C＝(eq \r(3)＋1)sin C.
∴sin C＝cs C.
∴tan C＝1.∵0°∴C＝45°.
变式7：△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
【解析】设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs(π－B)
＝－ac·cs B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cs B，
∴－ac·cs B＝eq \f(1,2)(b2－a2－c2)
＝eq \f(1,2)(62－52－72)＝－19，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－19.
考点三 判断三角形的形状
解题方略：
利用余弦定理判断三角形形状的方法
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
【例4】在△ABC中，若a＝2bcsC，则△ABC的形状为________．
【解析】∵a＝2bcs C＝2b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
变式1：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
【解析】由eq \f(c2－a2－b2,2ab)>0得－cs C>0，所以cs C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．故选C.
变式2：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(1,3)，b＝3c，试判断△ABC的形状．
【解析】由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA.
又因为csA＝eq \f(1,3)，b＝3c，所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×eq \f(1,3)＝b2－c2.
所以a2＋c2＝b2，所以B＝eq \f(π,2)，所以△ABC是直角三角形．
变式3：在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断三角形的形状．
【解析】由余弦定理知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
代入已知条件，得
a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，
通分得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，
即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
变式4：在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccs B·cs C，试判断△ABC的形状．
【解析】将已知等式变形为
b2(1－cs2C)＋c2(1－cs2B)＝2bccs Bcs C.
由余弦定理并整理，得
b2＋c2－b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴b2＋c2＝eq \f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq \f(4a4,4a2)＝a2.
∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．
变式5：在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【解析】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
考点四 余弦定理的应用
求边（求值）
【例5】在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
【解析】在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝(a＋c)2－2ac－2accs B
＝82－2×15－2×15×eq \f(1,2)＝19.
∴b＝eq \r(19).
变式1：在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．
【解析】由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＝4，,a＋c＝2b，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝b＋4，,c＝b－4.))∴a＞b＞c，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccs 120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，
即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.当b＝10时，a＝14，c＝6.
变式2：在△ABC中，AB＝2，AC＝eq \r(6)，BC＝1＋eq \r(3)，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
【解析】∵cs C＝eq \f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq \f(\r(2),2)，∴sin C＝eq \f(\r(2),2)，∴AD＝ACsin C＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
变式3：在△ABC中，AC＝2，BC＝2 eq \r(2)，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D.则CD＝( )
A.eq \f(2 \r(5),5) B.eq \r(2) C.eq \r(3) D.eq \r(5)
【解析】根据余弦定理cs ∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2·AC·BC)＝－eq \f(\r(2),2)，又∵AC＝2，
BC＝2 eq \r(2)代入公式得AB＝2 eq \r(5)，再由等积法可得eq \f(1,2)×2 eq \r(5)·CD＝eq \f(1,2)×2 eq \r(2)×2×eq \f(\r(2),2)，解得CD＝eq \f(2 \r(5),5).故选A.
变式4：若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A.eq \f(4,3) B．8－4eq \r(3) C．1 D.eq \f(2,3)
【解析】依题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b2－c2＝4，,a2＋b2－c2＝2abcs 60°＝ab，))两式相减得ab＝eq \f(4,3).故选A.
变式5：已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
【解析】∵b2＝a2＋c2－2accs B＝a2＋c2－2accs 120°＝a2＋c2＋ac，∴a2＋c2＋ac－b2＝0.
求角
【例6】在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cs C＝________.
【解析】∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－2abcs C，∴2cs C＝1.∴cs C＝eq \f(1,2).
变式1：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则sin C的值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由余弦定理，得cs C=.因为C∈(0，π)，所以C=，sin C=.
故选：C
变式2：在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝________.
【解析】∵(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，∴a2－c2＝b2＋bc，即b2＋c2－a2＝－bc.
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(－bc,2bc)＝－eq \f(1,2).∵0°＜A＜180°，∴A＝120°.
变式3：已知是三边长，若满足，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
即，
，，
所以.
故选：A
变式4：在中，角，，的对边分别为，，，若，则角的值为（ ）．
A． B．C．或 D．或
【解析】，，即，
且有意义即，，在中，为或，故选：．
(三）最值（范围）
【例7】锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( )
A．1【解析】若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴ac2，即a2>3，∴a>eq \r(3)，故eq \r(3)变式1：若，，为钝角三角形的三边长，求实数a的取值范围.
【解析】，，是三角形的三边长，，解得：，此时最大，
要使，，是三角形的三边长，还需，解得：.
设最长边所对的角为θ，则，
所以，解得：.
综上可知实数a的取值范围是.
练习一 已知两边及一角解三角形
1、在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60eq \r(3) cm，A＝eq \f(π,6)，则a＝________cm；
【解析】由余弦定理得：a＝ eq \r(602＋60\r(3)2－2×60×60\r(3)×cs\f(π,6))＝eq \r(4×602－3×602)＝60(cm)．
2、在中，，,，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，由余弦定理可得，
所以，所以，故选：.
3、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于( )
A．32－16 eq \r(3) B．32＋16 C．32＋16 eq \r(3)D．48
【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝42＋42－2×4×4×eq \f(\r(3),2)＝32－16eq \r(3).故选：A.
4、在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】在△ABC中，若AB＝eq \r(13)，BC＝3，∠C＝120°，AB2＝BC2＋AC2－2AC·BCcs C，可得：13＝9＋AC2＋3AC，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.
5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，b＝1，则c＝( )
A．1 B．2 C．eq \r(3)－1 D．eq \r(3)
【解析】由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得c2－c－2＝0，解得c＝2或c＝－1(舍去)．故选B.
6、在△ABC中，B＝45°，AC＝eq \r(10)，AB＝2，试用余弦定理求BC边的长．
【解析】由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcs B，
又因为B＝45°，AC＝eq \r(10)，AB＝2，
所以(eq \r(10))2＝BC2＋22－2×BC×2×cs 45°，
整理，得BC2－2 eq \r(2)BC－6＝0，
所以(BC－3 eq \r(2))(BC＋eq \r(2))＝0，
解得BC＝3 eq \r(2)或BC＝－eq \r(2)(舍去)，
所以BC边的长为3eq \r(2).
练习二 已知三边解三角形
1、在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→)) 的值为( )
A．79 B．69 C．5 D．－5
【解析】由余弦定理得：cs∠ABC＝eq \f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq \f(52＋72－82,2×5×7)＝eq \f(1,7). 因为向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))的夹角为180°－∠ABC，所以eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝|eq \(AB,\s\up7(―→))||eq \(BC,\s\up7(―→))|·cs(180°－∠ABC)＝5×7×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,7)))＝－5.故选D.
2、在△中，如果，求的值.
【解析】由，令，∴.
练习三 判断三角形的形状
1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【解析】因为，由余弦定理可得，
又由，所以，所以是钝角三角形.故选：D.
2、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解析】因，则有，即，可得，此时，有，
所以是等边三角形.故选：C
3、在△ABC中，sin2eq \f(A,2)＝eq \f(c－b,2c)，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【解析】∵sin2eq \f(A,2)＝eq \f(1－cs A,2)＝eq \f(c－b,2c)，∴cs A＝eq \f(b,c)＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，∴a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故选B.
练习四 余弦定理的应用
1、在中，已知，则角为（ ）
A．B．C．D．或
【解析】因为，即，
由余弦定理可得，
又因为，所以.故选：C.
2、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60° C．90°D．135°
【解析】因为a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，所以a2＋c2－b2＝eq \r(2)ac，
由余弦定理得cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2)，
又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
3、在△中，已知，求A的大小.
【解析】，
∴，又，
∴，，则.
4、在△ABC中，若∠C＝60°，则eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,c＋a)＝ .
【解析】∵C＝60°，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
∴eq \f(a,b＋c)＋eq \f(b,c＋a)＝eq \f(aa＋c＋bb＋c,a＋cb＋c)＝eq \f(a2＋b2＋ca＋b,ab＋ca＋b＋c2)＝1.
5、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设角对应的边为，
当是最大边时，，所以，
当不是最大边时，，所以，
所以的取值范围是，故选：C.
6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两个根，且2cs(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长度．
【解析】(1)cs C＝cs [π－(A＋B)]＝－cs (A＋B)＝－eq \f(1,2)，又0°(2)因为a，b是方程x2－2eq \r(3)x＋2＝0的两个根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2.))所以由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs C
＝b2＋a2－2abcs 120°
＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq \r(3))2－2＝10.
所以AB＝eq \r(10).
7、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且eq \f(cs B,cs C)＝－eq \f(b,2a＋c).
(1)求B的大小；
(2)若b＝eq \r(13)，a＋c＝4，求a的值．
【解析】(1)由余弦定理得
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
∴原式化为eq \f(a2＋c2－b2,2ac)·eq \f(2ab,a2＋b2－c2)＝－eq \f(b,2a＋c)，
整理得a2＋c2－b2＋ac＝0，
∴cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(－ac,2ac)＝－eq \f(1,2)，
又0(2)将b＝eq \r(13)，a＋c＝4，B＝eq \f(2π,3)，
代入b2＝a2＋c2－2accs B得，
13＝a2＋(4－a)2－2a(4－a)·cs eq \f(2π,3)，
即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.
8、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋eq \r(3)cs A＝0，a＝2eq \r(7)，b＝2.求c.
【解析】由已知可得tan A＝－eq \r(3)，所以A＝eq \f(2π,3).在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccs eq \f(2π,3)，即c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)．
9、在中，角，，所对的边分别为，，，且
（1）求角；
（2）已知，求周长的取值范围.
【解析】(1)在中，，由射影定理得：，
于是得，而 ，则，
所以；
(2)由余弦定理得：，
而，则，即，当且仅当时取等号，又，于是得，
所以的周长的取值范围为.
余
弦
定
理
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccs A，
b2＝a2＋c2－2accs B，
c2＝a2＋b2－2abcs C
语言叙述
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)