数学人教A版2019选择性必修第一册 7.2 复数的四则运算讲义（学生版＋教师版）

这是一份数学人教A版2019选择性必修第一册 7.2 复数的四则运算讲义（学生版＋教师版），文件包含专题72复数的四则运算原卷版docx、专题72复数的四则运算解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
模块一 复数的加、减运算及几何意义
模块二 复数的乘、除运算
模块三 课后练习
模块一
复数的加、减法及其几何意义
基础知识
1．复数的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)复数的加法满足的运算律对任意,,∈C，有
①交换律：+=+；
②结合律：(+)+=+(+).
(3)复数加法的几何意义
在复平面内，设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为，，则=(a,b)，=(c,d).以，对应的线段为邻边作平行四边形 (如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即对角线OZ对应的向量就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.
2．复数的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi(x,y∈R)叫做复数a+bi(a,b∈R)减去复数c+di(c,d∈R)的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)=(a-c)+(b-d)i.这就是复数的减法法则.
(2)复数减法的几何意义
两个复数=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在复平面内对应的向量分别是，，那么这两个复数的差-对应的向量是-，即向量.
如果作=，那么点Z对应的复数就是-(如图所示).这说明两个向量与的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

【考点1 复数的加减法运算】
【例题1.1】已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【例题1.2】已知复数，则（ ）
A．为实数B．
C．的虚部为2D．为纯虚数
【变式1.1】设复数满足，在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式1.2】若，，则（ ）
A．B．C．3D．
【变式1.3】设复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【考点2 复数加减法的几何意义】
【例题2.1】设复数满足，求：
(1)的取值范围；
(2)的最大值.
【例题2.2】已知在与的线段上，，求在复平面上扫过的面积.
【变式2.1】设复数满足，且，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2.2】已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．4
【变式2.3】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（ ）
B．C．D．5
【考点3 复数加减运算求参数】
【例题2.1】已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
【例题2.2】已知复数，，其中．若，求的值．
【变式2.1】复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2.2】（多选）复数满足（，）且，则（ ）
A．B．C．的虚部为D．的实部为
【变式2.3】复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
B．C．D．
模块二
复数的乘、除运算
基础知识
1．复数的乘法运算
(1)复数的乘法法则
设=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可.
(2)复数乘法的运算律
对于任意,,∈C，有
①交换律：=；
②结合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在复数范围内，正整数指数幂的运算律仍然成立.即对于任意复数z，,和正整数m,n，有=，
=，=.
2．复数的除法
(1)定义
我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，记作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)复数的除法法则
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可见，两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数.
3．复数运算的常用技巧
(1)复数常见运算小结论
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
4．复数范围内实数系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，则当>0时，方程有两个不相等的实根
，=；
当=0时，方程有两个相等的实根==-；当