北师大版（2024）七年级下册（2024）简单的轴对称图形优质学案及答案

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题型1．角平分线的性质（共20小题）
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（ ）
A．3B．6C．9D．18
【答案】C
【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝3，
∴S△POD＝×6×3＝9．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分线交于点O，AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，则△BOC的面积为（ ）
A．13.5cm2B．18cm2C．24cm2D．27cm2
【答案】A
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，
∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD＝OE，
∴S△BOC：S△AOB＝BC：AB，
∵AB＝6cm，BC＝9cm，△ABO的面积为9cm2，
∴．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，如图：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE＝DF，
∵△ABD的面积为15，
∴AB•DF＝15，
∵AB＝10，
∴DF＝3，
∴DE＝3；
故选：C．
4．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×5×4+×AC×4＝24，
∴AC＝7．
故选：D．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10B．12C．9D．6
【答案】C
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，CD＝3，
∴DF＝CD＝3，
∵点E为AB的中点，AB＝12，
∴BE＝6，
∴△DBE的面积＝BE•DF＝×6×3＝9，
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°+∠A，②∠EBO＝∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴180°﹣∠BOC＝（180°﹣∠A），
∴∠BOC＝90°+∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，
而OB平分∠EBC，
∴∠EBO＝∠EBC，
∴∠EBO＝∠AEF，所以②正确；
∵OD⊥AC于D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DOC+∠OCD＝90°，
∵OC平分∠BCD，
∴∠OCB＝∠OCD，
∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等，
∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m，
∴S△AEF＝AE•m+AF•m＝m（AE+AF）＝mn，所以④正确．
故选：D．
7．如图，在△ABC中，∠A＝100°，P是△ABC内一点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，若PD＝PE＝PF，则∠BPC的度数为（ ）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【解答】解：∵PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD＝PE＝PF，
∴PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
∵∠A＝100°，
∴∠BPC＝90°+×100°＝140°．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AB于点E，AD，CE相交于点F，连接BF．若BF平分∠ABC，EF＝3，BC＝9，则△CDF的面积为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】C
【解答】解：过F作FH⊥BC于H，
∵BF平分∠ABC，FE⊥AB，
∴FH＝FE＝3，
∵AD为BC边上的中线，BC＝9，
∴CD＝BC＝，
∴△CDF的面积＝CD•FH＝．
故选：C．
9．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解答】解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE，
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
10．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处
【答案】A
【解答】解：∵这个砂石场到三条公路的距离相等，砂石场在三条公路围成的三角形平地内，
∴这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点，
∴可供选择的地址仅有一处．
故选：A．
11．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝3cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 3 cm．
【答案】3
【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝3cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为3cm．
故答案为：3．
12．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝6，E为BC中点，AD为△ABC的角平分线，△ABC的面积记为S1，△ADE的面积记为S2，则＝ 1：10 ．
【答案】1：10．
【解答】解：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，
∵AD为△ABC的角平分线，
∴DM＝DN，
∵AB＝4，AC＝6，E为BC中点，
∴，
∴，
设S△ABD＝2x，S△ADC＝3x，则S△ABC＝5x，，
则，
故答案为：1：10．
13．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，点F为射线AB上一点．若PE＝5，则PF长的最小值是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：过P作PH⊥AB于H，
∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC，
∴PH＝PE＝5，
∵PF≥PH，
∴PF长的最小值是5．
故答案为：5．
14．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，O到AB的距离为3，且△ABC的周长为18，则△ABC的面积为 27 ．
【答案】27
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，
∵△ABC的三条角平分线交于点O，OE⊥AB，OF⊥BC，OH⊥AC，
∴OF＝OH＝OE＝3，
∴△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）×3＝27，
故答案为：27．
15．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
16．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：
（1）CF＝EB．
（2）AB＝AF+2EB．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB；
（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
17．如图所示，点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，AB＝20，BC＝18，AC＝15，OD⊥BC，OD＝5，求△ABC的面积是多少？
【答案】132.5．
【解答】解：连接OC，
∵点O是△ABC的角平分线AO和BO的交点，AB＝20，BC＝18，AC＝15，OD⊥BC，OD＝5，
∴点O到AB，AC的距离均＝OD＝5，
∴．
故答案为：132.5．
18．【新情境】
图1是一个平分角的仪器，其中OD＝OE，FD＝FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由；
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ＝4，AC＝6，求△APC的面积．
【答案】（1）AP平分∠BAC，理由见解析；
（2）12．
【解答】解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
如图2，在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴∠DAF＝∠EAF，
∴AP平分∠BAC；
（2）如图3，过点P作PM⊥AC于点M，
∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴PM＝PQ＝4，
∴S△APC＝AC•PM＝×6×4＝12．
19．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H．
（1）求证：∠BEC＝∠ADC；
（2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明；
（3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB＝∠BAC＝15°，∠ACE＝∠ACB＝45°，
∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°，
∴∠BEC＝∠ADC；
（2）相等，
理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°，
∴∠GFE＝15°，
∴∠GEF＝75°＝∠HDF，
在△DHF和△EGF中，
，
∴△DHF≌△EGF（AAS），
∴FE＝FD；
（3）成立．
理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°．
又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM＝∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE＝FD．
20．在△ABC中，D是BC边的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，则S△ABD：S△ACD＝m：n ；（用含m，n的代数式表示）
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴，
故答案为：1：1；
（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴，
故答案为：m：n；
（3）∵AD＝DE，
由（1）可知：S△ABD：S△BDE＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠BAC，
由（2）可知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝6+3＝9，
故答案为：9．
题型2．线段垂直平分线的性质（共20小题）
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（ ）
A．22B．20C．18D．16
【答案】D
【解答】解：由作图可知AD＝AC，
∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．
∴MN垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB，
∵AB＝9，AC＝7，
∴△ADE的周长为9+7＝16，
故选：D．
22．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AB和AC，垂足为M，N．且分别交BC于点D，E．若∠DAE＝40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【答案】C
【解答】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∵∠DAE＝40°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠EAC＝180°﹣40°＝140°，
∴2∠BAD+2∠EAC＝140°，
∴∠BAD+∠CAE＝70°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAE+∠DAE＝70°+40°＝110°．
故选：C．
23．如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝10，AC＝9，MN为边BC的垂直平分线，点D为直线MN上一动点，则△ABD的周长的最小值为（ ）
A．10B．12C．14D．15
【答案】C
【解答】解：连接DC，如图，
∵AD，CD，AC是△ACD的三条边，
∴AD+DC≥AC，
∵MN为边BC的垂直平分线，AB＝5，BC＝10，AC＝9，
∴DC＝BD，
∴△ABD的周长＝AB+AD+DB＝AB+AD+DC≥AB+AC＝5+9＝14，
故选：C．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（ ）
A．104°B．106°C．117°D．136°
【答案】C
【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°，
∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴MA＝MP，NP＝NC，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC，
∴∠MPA+∠NPC＝∠BMN+∠BNM＝×126°＝63°，
∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°．
故选：C．
25．如图，在△ABC中，∠A＝105°，AC的垂直平分线l交BC于点M，AB+BM＝BC，则∠B的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【解答】解：如图，连接AM，
∵AC的垂直平分线l交BC于点M，
∴CM＝AM，
∵AB+BM＝BC，CM+BM＝BC，
∴AB＝CM＝AM，
∴∠C＝∠MAC，∠AMB＝∠B，
设∠C＝∠MAC＝x，则∠AMB＝∠B＝2x，
∴∠BAM＝180°﹣4x，
∵∠BAC＝∠MAC+∠BAM＝x+180°﹣4x＝105°，
∴x＝25°，
∴∠B＝2x＝50°，
故选：B．
26．如图，在△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F．若△ABC的周长为20，DC＝6，则AC的长为（ ）
A．5B．4C．10D．8
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AE，且AD⊥BC，
∴△ABE是等腰三角形，
∴BD＝DE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AB＝AE＝CE，
∴AB+BD＝DE+EC＝DC＝6，
∵△ABC的周长为20，DC＝6，
∴AC＝20﹣（AB+BD）﹣DC＝8，
故选：D．
27．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（ ）
A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分AB
【答案】C
【解答】解：∵MA＝MB，NA＝NB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
∵MA＝MB，MN⊥AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线；
当MA＝NA，MB＝NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；
∵MA＝MB，MN平分AB，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线，
故选：C．
28．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在△ABC三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】C
【解答】解：∵△ABC的垂直平分线的交点到△ABC三个顶点的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置时在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：C．
29．在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长是（ ）
A．22B．23C．32D．33
【答案】B
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长等于50，
∴BC+CE+EB＝50，
∴BC+CE+EA＝BC+AC＝50，
∵AC＝27，
∴BC＝50﹣27＝23，
故选：B．
30．如图，以点A为圆心作弧，使弧与直线l相交于点B和点C，再分别以点A，B为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线EF与直线l相交于点D，若∠BAC＝38°，则∠CAD的度数是 33° ．
【答案】33°．
【解答】解：由作图可知ED垂直平分线段AB，CA＝BA，
∴AD＝BD，∠ABC＝∠BCA＝（180°﹣∠BAC）＝71°，
∴∠DAB＝∠ABC＝71°，
∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝33°．
故答案为：33°．
31．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为4cm/s，点N的速度为6cm/s，当点M、N第一次相遇时间时停止运动．设点M、点N的运动时间为t（t＞0）秒，当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时，t的值为 或或或 ．
【答案】或或或．
【解答】解：由题可知当M和N第一次相遇时，6t﹣12＝4t，
解得t＝6，
即0＜t≤6；
①当线段MN的垂直平分线经过点A时，如图，
此时△AMN为等边三角形，
∴AM＝AN，
∴12﹣6t＝4t，
解得t＝；
②当线段MN的垂直平分线经过点B时，如图，
此时BM＝BN，
∵∠A＝∠C，AB＝CB，
∴△ABN≌△CBM（SAS），
∴AN＝CM，
即6t﹣12＝12﹣4t，
解得t＝；
③当线段MN的垂直平分线经过点C时，如图，
此时CN＝CM，
即24﹣6t＝4t﹣12，
解得t＝；
④当线段MN的垂直平分线经过点A时，
∴CE＝BE，NE＝ME，
∴CN＝BM，
∴24﹣4t＝6t﹣24，
解得t＝；
综上，t的值为或或或；
故答案为：或或或．
32．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E．若AE＝2cm，△BCD的周长为20cm，则△ABC的周长为 24 cm．
【答案】24．
【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，AE＝2cm，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝4cm，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+BD+AD＝BC+AB＝20cm，
∴AB+BC+AC＝20+4＝24cm，所以△ABC的周长为24cm，
故答案为：24．
33．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝43°，则∠AOC＝ 86° ．
【答案】86°．
【解答】解：连接BO并延长到D，
∵线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，
∴AO＝OB，OC＝OB，
∴∠OBA＝∠A，∠OBC＝∠C，
∴∠A+∠C＝∠OBA+∠OBC＝∠ABC＝43°，
∵∠AOD＝∠A+∠ABO，∠COD＝∠C+∠OBC，
∴∠AOD+∠COD＝∠A+∠C+∠ABO+∠OBC，
∴∠AOC＝∠A+∠C+∠ABC＝43°+43°＝86°．
故答案为：86°．
34．在△ABC中，∠A＝110°，边AB与AC的中垂线交于点O，则∠BOC＝ 140 °．
【答案】140．
【解答】解：如图，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
同理：∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC＝110°，
∴∠BOC＝360°﹣∠BAC﹣（∠OBA+∠OCA）＝360°﹣110°﹣110°＝140°．
故答案为：140．
35．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．AC，BD相交于点O，请结合图形写出一个正确的数学结论AC⊥BD（答案不唯一） ．
【答案】AC⊥BD（答案不唯一）．
【解答】解：AC⊥BD，理由如下：
由垂直平分线的判定可知：点A，点C在BD的垂直平分线上，
即AC是线段BD的垂直平分线，即AC⊥BD，
故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）．
36．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）DE⊥DP，
理由如下：∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠B＝∠EDB，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，
∴DE⊥DP；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，
∵∠C＝∠PDE＝90°，
∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2＝22+x2，
解得：x＝4.75，
则DE＝4.75．
38．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）若△DAF的周长为20，求BC的长．
【答案】（1）∠DAF＝20°；
（2）BC＝20．
【解答】解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（2）∵△DAF的周长为20，
∴DA+DF+FA＝20，
由（1）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．
39．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为42cm，AC＝16cm，求DC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）13cm．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为42cm，
∴AB+BC+AC＝42cm，
∵AC＝16cm，
∴AB+BC＝26cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴．
40．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠BCE＝∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD＝∠CBF＝90°，
∵AC＝CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．
∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠ABC＝45°．
∵∠FBD＝90°，
∴∠ABF＝45°．
∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
题型3．等腰三角形的性质（共20小题）
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
41．如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（ ）
A．B．C．120°﹣αD．2α﹣90°
【答案】D
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，
∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，
∴∠C＝2α﹣90°，
故选：D．
42．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（ ）
A．∠B＝∠CB．AB＝2BD
C．AD平分∠BACD．AD⊥BC
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．
故选：B．
43．等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．8或10
【答案】C
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，三角形的周长为10．
故选：C．
44．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．11cmD．8cm或10cm
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
①底为2cm，腰为4cm时，
等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）；
②底为4cm，腰为2cm时，
∵2+2＝4，
∴不能构成三角形；
∴等腰三角形的周长为10cm；
故选：B．
45．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠D＝70°，则∠B等于（ ）
A．70°B．30°C．40°D．20°
【答案】C
【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠D＝70°，
∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C＝40°，
故选：C．
46．若一个等腰三角形的两条边分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．9B．12C．12或9D．11
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，
∴这个等腰三角形的周长＝5+5+2＝12；
综上所述：这个等腰三角形的周长为12，
故选：B．
47．如图，某校实践小组为了让旗杆垂直于地面，采取以下的操作方法：从旗杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到旗杆脚E的距离相等，且B，E，C三点在同一直线上时，旗杆DE⊥BC．这种操作方法的依据是（ ）
A．等角对等边
B．垂线段最短
C．等腰三角形“三线合一”
D．三角形两边的和大于第三边
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝EC，
∴AE⊥BC
∴DE垂直于BC的依据是等腰三角形“三线合一”．
故选：C．
48．如图，AB∥CD，若∠1＝65°，AC＝AD，则∠2的大小为（ ）
A．115°B．120°C．125°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠1＝65°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝65°，
∵∠2+∠ADC＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，
故选：A．
49．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（ ）
A．3cm或9cmB．9cmC．3cmD．3cm或6cm
【答案】C
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，
∴当3cm为底时，其它两边都为6cm，3cm、6cm、6cm可以构成三角形；
当3cm为腰时，其它两边为3cm和9cm，
∵3+3＝6＜9，
∴不能构成三角形．
∴该等腰三角形的底边长只能为3cm．
故选：C．
50．已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12B．15C．12或15D．13或14
【答案】B
【解答】解：当腰为3时，3+3＝6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6＝9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为＝3+6+6＝15．
故选：B．
51．图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若AB∥CD，AC∥OD，OD＝OC，∠BAC＝50°，则∠DOC的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【解答】解：由条件可知∠BAC＝∠ACD＝50°，
∵AC∥OD，
∴∠ODC＝∠ACD＝50°，
∴∠ODC＝∠OCD＝50°，
∴∠DOC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：D．
52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（ ）
A．131°B．121°C．111°D．101°
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝48°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣48°＝42°，
∵BC＝BD，∠BCD+∠BDC+∠B＝180°，
∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣42°）＝69°，
∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝69°+42°＝111°，
故选：C．
53．如图，在等腰△ABC中AB＝AC，AD，BD、CD分别平分∠EAC，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ABC，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，故①正确；
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°﹣（180°+∠ABC）
＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣∠ABD，故③正确；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC+∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC+∠BDC，
∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC，∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝2∠DCF﹣2∠DBC＝2（∠DCF﹣∠DBC），
∴∠BAC＝2∠BDC，故④正确；
即正确的有4个，
故选：D．
54．若实数m，n满足等式|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长是 10 ．
【答案】10．
【解答】解：∵|m﹣2|+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4．
因为△ABC是等腰三角形，所以分两种情况讨论：
①当以m为腰时，△ABC的边长分别是2，2，4，
因为2+2＝4，所以此时不满足三角形三边关系；
②当以n为腰时，△ABC的边长分别是2，4，4，
此时满足三角形三边关系，则△ABC的周长为：C△ABC＝4+4+2＝10．
故答案为：10．
55．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，过点D作DP⊥AB，DP＝3，E为BC上一点，过点E作EM⊥AB，EN⊥AC，EM＝4.2，则EN＝ 1.8 ．
【答案】1.8．
【解答】解：连接AD，AE，
∵D为BC中点，
∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，
∵DP⊥AB，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴△ABC的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积，
∴2△ABD的面积＝△ABE的面积+△ACE的面积，
AB•DP•2＝AB•EM+AC•EN，
∵AB＝AC，
∴2DP＝EM+EN，
6＝4.2+EN，
解得：EN＝1.8，
故答案为：1.8．
56．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为 60°或120° ．
【答案】60°或120°
【解答】解：当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60°，则顶角为120°；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60°；
综上可知该等腰三角形的顶角为120°或60°．
故答案为：60°或120°．
57．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 25° ．
【答案】25°．
【解答】解：∵CP＝OC＝OA，
∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO，
∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P，
∴∠CAO＝2∠P，
∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°，
∴∠P＝25°．
故答案为：25°．
58．如果等腰三角形的两边长分别是2、7，那么三角形的周长是 16 ．
【答案】16．
【解答】解：当等腰三角形的另一边为7时，7﹣2＜7＜7+2，符合三角形的三边关系，此三角形的周长＝7+7+2＝16；
当等腰三角形的另一边为2时，2+2＜7，不符合三角形的三边关系，故此种情况不存在；
故答案为：16．
59．等腰三角形的一个内角为100°，这个等腰三角形底角的度数为 40° ．
【答案】40°
【解答】解：∵100°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：40°．
60．已知等腰三角形的两边长分别为4和10，求这个等腰三角形的周长．
解：因为等腰三角形的两边长分别为4和10，
所以等腰三角形的周长为4+4+10＝18．
判断以上解法是否正确，如不正确，写出正确的解法．
【答案】以上解法不正确，正确的解法见解答．
【解答】解：以上解法不正确，
正确的解法如下：
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，
∴等腰三角形的周长＝10+10+4＝24；
综上所述：这个等腰三角形的周长为24．题型1 角平分线的性质
题型2 线段垂直平分线的性质
题型3 等腰三角形的性质