初中数学北师大版（2024）七年级下册（2024）轴对称及其性质优质导学案

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题型1．轴对称的性质（共30小题）
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选：C．
2．如图，点D为△ABC的边AB上一点，点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，若AB＝10，AC＝4，BC＝9，则△BDE的周长是（ ）
A．13B．15C．17D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵点A关于直线CD对称的点E恰好在线段BC上，连接DE，AB＝10，AC＝4，BC＝9，
∴AD＝DE，AC＝CE，
∴BE＝BC﹣CE＝9﹣4＝5，
∴△BDE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝10+5＝15．
故选：B．
3．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】A
【解答】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；
②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；
③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故选：A．
4．如图是一个风筝的设计图，其主体部分关于BD所在的直线对称（四边形ABCD，AB＞AD），点A关于对称轴的对应点为点C，则下列推断不正确的是（ ）
A．AD＝CDB．S四边形ABCD＝AC•BD
C．△ABD≌△CBDD．∠BAC＝∠BCA
【答案】B
【解答】解：∵主体部分关于BD所在的直线对称，
∴△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，
∴AD＝CD，∠BAC＝∠BCA，
S四边形ABCD＝AC•BD
故选项A、C、D推断正确，选项B推断不正确．
故选：B．
5．如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中不一定正确的是（ ）
A．AD∥BEB．∠ABC＝∠DEFC．AB＝DFD．AD⊥MN
【答案】C
【解答】解：A．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，BE⊥MN，所以AD∥BE，故本选项正确；
B．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，故本选项正确；
C．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AB＝DE，AB与DF不相等，故本选项不一定正确；
D．由△ABC与△DEF关于直线MN对称，可得AD⊥MN，故本选项正确；
故选：C．
6．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”图案，如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断正确的是（ ）
①OB⊥OD；
②∠BOC≠∠AOB；
③OE＝OF；
④∠BOC+∠AOD＝180°
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【解答】解：∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
由对称得∠AOB＝∠DOC，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形，OE⊥OF，
∴∠BOC＝∠AOB，∠DOF＝∠DOC，
∴∠BOF+∠DOF＝90°，
∴OB⊥OD，结论①正确；
∠BOC不一定等于∠AOB，结论②错误；
由对称得△OAB≌△ODC，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE＝OF，结论③正确；
过O作GM⊥OH，
∴∠GOD+∠DOH＝90°，
∵∠BOH+∠DOH＝90°，
∴∠GOD＝∠BOH，
根据对称得∠BOH＝∠COH，
∴∠GOD＝∠COH，
同理可证∠AOM＝∠BOH，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOM+∠DOG＝180°，结论④正确，
所以推断正确的是①③④．
故选：C．
7．如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O．则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．∠ABC＝∠A'B'C'B．AA'⊥MN
C．OM＝OND．BO＝B'O
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C′关于直线MN对称，BB'交MN于点O，
∴△ABC≌△A'B'C′，AA′⊥MN，BO＝B'O，
∴∠ABC＝∠A′B′C′，
故不一定正确的是OM＝ON．
故选：C．
8．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（ ）
A．中线、角平分线、高线B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【解答】解：由题知，
由图①的折叠方式可知，
∠BAD＝∠CAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
由图②的折叠方式可知，
∠ADB＝∠ADB′，
又因为∠ADB+∠ADB′＝180°，
所以∠ADB＝∠ADB′＝90°，
即AD⊥BC，
所以AD是△ABC的高线．
由图③的折叠方式可知，
CD＝BD，
所以AD是△ABC的中线．
故选：C．
9．如图，直线l，m相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝2.6．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：分别连接OP1，OP2，P1P2，如图所示，
则P1P2＜OP1+OP2，
由对称知：OP1＝OP2＝OP＝2.6，
∴P1P2＜5.2，
∵P1P2＞0，
∴0＜P1P2＜5.2．
∴A、C、D三个选项中提供的数值均不在上述范围内．
故选：B．
10．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 15 ．
【答案】15
【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．
故答案为：15
11．如图，将等边三角形FBD分割成4个小等边三角形，沿着等边三角形FBD的任意一条对称轴对折，互相重合的两个小等边三角形中的单项式的值都相等，那么a﹣b＝ ．
【答案】．
【解答】解：由题意，
解得，
∴a﹣b＝1﹣＝．
故答案为：．
12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M是BC边上一点，AC＝6，AB＝8，BC＝10，若点M1和点M关于AB对称，点M2和点M关于AC对称，则点M1，M2之间的距离的最小值是 9.6 ，点M1，M2之间的距离的最大值是 16 ．
【答案】9.6；16
【解答】解：连接AM，AM1，AM2，
∵点M1和点M关于AB对称，
∴AM＝AM1，∠1＝∠2，
∵点M2和点M关于AC对称，
∴AM＝AM2，∠3＝∠4，
∵∠BAC＝90°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴A，M1，M2三点共线，
∴M1M2＝AM1+AM2＝2AM，
∴当AM最小时，M1M2最小．
∵M是BC上一点，
∴AM⊥BC时，AM最小，
此时，
∴6×8＝10AM，
∴AM＝4.8，
∴M1M2的最小值为2×4.8＝9.6．
∵M是BC上一点，
∴点M与点B重合时，AM最大，
∴M1M2的最大值为2×8＝16，
故点M1，M2之间的距离最小值是9.6，点M1，M2之间的距离最大值是16，
故答案为：9.6；16．
13．如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 19 ．
【答案】19．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故答案为：19．
14．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点下列结论：①AM＝BM；②AP＝BN；③∠MAP＝∠MBP；④∠ANP＝∠BNM，其中说法错误的是 ② ．
【答案】②
【解答】解：如图，∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，
∴AM＝BM；AP＝BP；∠MAP＝∠MBP；∠ANP＝∠BNM，
∴说法错误的有AP＝BN，
故答案为：②．
15．如图，△ABD与△ADC关于直线AD对称，E，F是线段AD上的任意两点，若BC＝6cm，AD＝5cm，则图中阴影部分的面积是 7.5 cm2．
【答案】7.5．
【解答】解：∵△ABD与△ADC关于直线AD对称，
∴BD＝DC＝BC，
∵BC＝6cm，
∴BD＝DC＝3cm．
点E，F是线段AD上任意两点，
∴BE＝CE，BF＝CF，
∵EF＝EF，
∴△BEF≌△CEF，
∴S△BEF＝S△CEF．
，
∴阴影部分面积7.5cm2．
故答案为：7.5．
16．如图，在△ABC中，将∠B和∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点G处，线段MN，EF为折痕．若∠A＝100°，则∠MGE＝ 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵∠A＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝80°，
由折叠的性质得：∠MGN＝∠B，∠EGF＝∠C，
∴∠MGN+∠EGF＝∠B+∠C＝80°，
∴∠MGE＝180°﹣（∠MGN+∠EGF）＝100°．
故答案为：100°．
17．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC．若∠D＝122°，则∠B的度数为 58° ．
【答案】58°．
【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，∠D＝122°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣122°＝58°，
∴∠B＝∠C＝58°；
故答案为：58°．
18．如图是一张锐角三角形纸片ABC，小明想通过折纸的方式折出点D或线段BD：①线段AC的中点D；②BD平分∠ABC；③BD是AC边上的高．以上点D或线段BD能通过折纸折出的是 ①②③ （填写序号）．
【答案】①②③．
【解答】解：由题知，
将边AC对折，使得点A和点C重合，
则折痕与AC的交点即为线段AC的中点．
故①符合题意．
将∠B对折，使得点A落在BC边上，
则折痕即平分∠ABC．
故②符合题意．
将△ABC沿着过点B的直线对折，使得点A落在AC上，
则折痕即为AC边上的高．
故③符合题意．
故答案为：①②③．
19．将一张长方形纸片按如下步骤折叠：（1）如图①，将纸片对折，点C落在点B处，得到折痕AP后展开纸片；（2）如图②，将∠BPA对折，点B落在折痕AP上的点B'处，得到折痕PM；（3）如图③，将∠CPM对折，点C落在折痕PM上的点C'处，得到折痕PN，则∠MPN＝ 67.5 °．
【答案】67.5
【解答】解：由折叠可知：∠BPM＝45°，∠CPN＝∠MPN＝∠CPM，
∵∠BPC＝180°，
∴∠CPM＝180°﹣∠BPM＝135°，
∴∠MPN＝×135°＝67.5°，
故答案为：67.5．
20．通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线（过入射点且垂直于镜面的一条直线）成轴对称（如图①）．在图②中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B ．
【答案】B．
【解答】解：如图，补全图形并作出法线OK，
光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B，
故答案为：B．
21．如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：如图所示，n的最小值为3，
故答案为：3．
22．如图，将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B′落在直线AB上，折痕为DE，再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C′落在直线B′D上，折痕为DF，此时可得∠EDF＝90°，若∠A＝70°，则∠CFD的度数为 70 °．
【答案】70．
【解答】解：由折叠的性质可得：∠BED＝∠B′ED，
∵∠BED+∠B′ED＝180°，
∴∠BED＝∠B′ED＝90°，
∴∠EDF+∠B′ED＝180°，
∴AB∥DF，
∴∠CFD＝∠A＝70°，
故答案为：70．
23．如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E．
（1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数．
（2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度．
①请用含x的代数式表示y，则y＝ 180°﹣2x ．
②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值．
【答案】（1）100°；
（2）①180°﹣2x；②108°．
【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC，
∴∠AMN+∠MNB＝180°，
又∵∠AMN＝110°，
∴∠MNB＝70°，
由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°，
∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ，
在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°；
（2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE，
∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°，
∴∠GMD＝∠ENQ，
设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度，
在△NEQ中，2x+y＝180°，
∴y＝180°﹣2x，
故答案为：y＝180°﹣2x；
②由①知，∠GMD＝∠ENQ，
∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB，
由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°，
∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°，
∴∠GMD＝36°，
即x＝36°，
由①知，y＝180°﹣2x
∴y＝180°﹣2×36°＝108°．
24．在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OE为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点F是线段BC上一点，角顶点B沿线段OF折叠，点B落在点B′处，且点B′在长方形内．【任务】
（1）在图1中，若∠AOE＝35°，求∠A′OB的度数；
（2）在操作2中，当点B′刚好落在线段OA′上时，如图2，求∠EOF的度数；
（3）在操作2中；当点B′不在线段OA′上时，试猜想∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由折叠性质可知：∠AOE＝∠A′OE，
∵∠AOE＝35°，
∴∠AOA′＝∠AOE+∠A′OE＝2∠AOE＝70°，
∴∠A′OB＝180°﹣∠AOA′＝180°﹣70°＝110°；
（2）由折叠性质可知：，，
∵∠AOA′+∠BOB′＝180°，
∴
＝
＝90°，
即∠EOF＝90°；
（3）∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
或．
理由：由折叠性质可知：，，
①当点B′在点A′的左侧时，如图3，
∠AOA′+∠BOB′﹣∠A′OB′＝180°，
∴，
∴；
②当点B′在点A′的右侧时，如图4，
∠AOA′+∠BOB′+∠A′OB′＝180°，
∴，
∴，
综上所述，∠AOE，∠BOF，∠A′OB′之间的数量关系为：
或．
25．已知在△ABC中，∠CAB＝60°．
（1）如图1，点P在△ABC内，且P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点，连接AP1，AP2，则∠P1AP2＝ 120° ．
（2）如图2，在（1）的基础上，若P3是点P关于BC的对称点，求∠P1BP3+∠P2CP3的度数．
（3）如图3，若点P在△ABC的外部（靠近BC边），点P关于直线AB，AC，BC的对称点分别为P1，P2，P3，分别连接BP，BP1，CP，CP2，CP3，若∠BPC＝146°，求∠PBP1+∠PCP2的度数．
【答案】（1）120°；
（2）∠P1BP3+∠P2CP3的度数为240°；
（3）∠PBP1+∠PCP2的度数为308°．
【解答】解：（1）∵P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点，
∴∠PAB＝∠P1AB，∠PAC＝∠P2AC，
∴∠PAB+∠PAC＝∠P1AB+∠P2AC，即∠CAB＝∠P1AB+∠P2AC，
∵∠CAB＝60°，
∴∠P1AB+∠P2AC＝60°，
∴∠P1AP2＝∠P1AB+∠P2AC+∠CAB＝60°+60°＝120°；
故答案为：120°；
（2）∵P1，P2是点P分别关于AB，AC的对称点，P3是点P关于BC的对称点，
∴∠PCA＝∠P2CA，∠PCB＝∠P3CB，∠PBA＝∠P1BA，∠PBC＝∠P3BC，
∴∠PCA+∠PCB＝∠P2CA+∠P3CB，即∠ACB＝∠P2CA+∠P3CB，
∠PBA+∠PBC＝∠P1BA+∠P3BC，即∠ABC＝∠P1BA+∠P3BC，
∴∠ACB+∠ABC＝∠P2CA+∠P3CB+∠P1BA+∠P3BC，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠CAB＝120°，
∴∠P2CA+∠P3CB+∠P1BA+∠P3BC＝120°，
∴∠P1BP3+∠P2CP3＝∠P2CA+∠P3CB+∠P1BA+∠P3BC+∠ACB+∠ABC＝120°+120°＝240°；
即∠P1BP3+∠P2CP3的度数为240°；
（3）∵∠CAB＝60°，
∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠CAB＝120°，
∵∠BPC＝146°，
∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣∠BPC＝34°，
∴∠ACB+∠ABC+∠PCB+∠PBC＝120°+34°＝154°，即∠ACP+∠ABP＝154°，
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为P1，P2，
∴∠ABP＝∠ABP1，∠ACP＝∠ACP2，
∴∠ACP+∠ABP＝∠ACP2+∠ABP1＝154°，
∴∠PBP1+∠PCP2＝∠ACP+∠ABP+∠ACP2+∠ABP1＝154°+154°＝308°；
即∠PBP1+∠PCP2的度数为308°．
26．在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边KL上取一点A，再在MN边上任取一点P，从点A处将纸条左侧折叠，使AK折叠后的对应线段AK'经过点P，此时的折痕记为AB（点B在MN上），如图1所示；再从点A处将纸条右侧折叠，使AL折叠后的对应线段AL'也经过点P，此时的折痕记为AC（点C在MN上），如图2所示．
（1）在图1中，若∠APN＝α，求∠ABM的大小（用α表示）；
（2）小明发现，在图2中，有BM'∥AK'，CN'∥AL'，进而推理：
∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，
∴它们都在同一条直线AP上．（① 两点确定一条直线 此处填推理的依据）
∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM'∥CN'．（② 平行于同一条直线的两条直线互相平行 此处填推理的依据）
（3）小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边KL和MN不平行，但折叠后，在图3中仍有BM'∥CN'．请你帮小亮证明这个结论．
【答案】（1）；（2）①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行；（3）见解答．
【解答】解：（1）因为KL∥MN，
所以∠KAP＝∠APN＝α，
由折叠的性质可知，
所以；
（2）∵线段AK'和线段AL'都经过点A和点P，
∴它们都在同一条直线AP上．（两点确定一条直线）；
∵BM'∥AK'，CN'∥AL'，
∴BM'∥CN'．（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
故答案为：①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（3）由∠KAB＝∠BAP和∠LAC＝∠CAP得∠BAC＝90°，
连接BC，则在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB＝90°．
所以∠ACN+∠ABM＝270°．
由题意，∠ACN＝∠ACN'，∠ABM＝∠ABM'，
所以∠ACN'+∠ABM'＝270°，
所以∠BCN'+∠CBM'＝270°﹣90°＝180°，
所以BM'∥CN'．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点M、N分别在边AB、BC上，且点A、B关于直线MN对称，连接AN．若、，且△ABC的周长为24．求△ACN的周长．
【答案】14．
【解答】解：由条件可知AC+BC+AB＝24，
∵，，
∴，
解得：AC＝6，
∴BC＝8，AB＝10，
由条件可知AN＝BN，
∴△ACN的周长＝AC+CN+AN＝AC+CN+BN＝AC+BC＝6+8＝14．
28．如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数；
（3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式．
【答案】（1）70°；
（2）65°；
（3）∠1+∠2＝2∠A．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°；
（2）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴，，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
∵∠1+∠2＝130°，
∴；
（3）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴，，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
29．如图，点P在四边形ABCD的内部，且点P与点M关于AD对称，PM交AD于点G，点P与点N关于BC对称，PN交BC于点H，MN分别交AD，BC于点E，F，连接PE，PF．若MN＝12cm，求△PEF的周长．
【答案】12cm．
【解答】解：∵点P与点M关于AD对称，点P与点N关于BC对称，
∴EM＝EP，FP＝FN，
∴C△PEF＝PE+PF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝12（cm）．
30．国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆75周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为a的半圆，摆放花草，其余部分为展板（阴影部分）．（单位：米）
（1）摆放花草的面积为 米2，（用含a的代数式表示，结果保留π）展板的面积是 8a 米2；（用含a的代数式表示）
（2）已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，当a＝2时，求制作整个造型的造价（π取3）．
【答案】（1） 8a；（2）3980元．
【解答】解：（1）摆放花草的面积为米2，展板的面积是8a米2；
故答案为：，8a；
（2）造价为：＝3980（元）．
答：制作整个造型的造价为3980元．
题型2．轴对称图形（共30小题）
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
31．未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考!下列表示计算机视觉交互应月的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
32．下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
33．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史．下列剪纸图案中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：B、C、D选项中的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，不符合题意；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，符合题意；
故选：A．
34．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
所以在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出6个．
故选：D．
35．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下四款人工智能大模型的标识是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、C、D选项中的图形均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：B．
36．博物馆作为一个国家和民族的精神家园，是了解本土文化和历史遗产的最佳场所，各博物馆标志也独具特色．下列博物馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
37．汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪殷商后期的被认为是汉字的第一种形式的甲骨文到今天，产生了金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：B．
38．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
39．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
40．“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
41．下列关于天气的图标是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：选项A、B、C的图标不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图标能找到一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
42．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，可大致看作轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：选项B、C、D的甲骨文均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项A的甲骨文能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
43．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．知B．物C．由D．学
【答案】C
【解答】解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形，则可判断如下：
A、“知”字无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以“知”不是轴对称图形．
B、“物”字无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以“物”不是轴对称图形．
C、“由”字沿着中间的一条竖直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，所以“由”是轴对称图形．
D、“学”字无论沿哪条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以“学”不是轴对称图形．
故选：C．
44．下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
45．下列说法正确的是（ ）
①角是轴对称性图形
②角的平分线就是角的对称轴
③将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B
【解答】解：根据轴对称图形及其对称轴的定义逐项分析判断如下：
①中，角是轴对称性图形，正确，故符合题意；
②中，角的平分线是射线，角的对称轴是直线，故错误，故不符合题意；
③中，将一个角折叠，使其两边重合，则折痕所在的直线就是角的对称轴，正确，故符合题意；
故正确的是①③，
故选：B．
46．南京师范大学附属中学的校训是“嚼得菜根，做得大事”．下列四个黑体字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A．做B．得C．大D．事
【答案】C
【解答】解：选项A、B、D中的黑体字均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意，
选项C中的黑体字能找到这样一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
47．下列图形，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形，
故选：C．
48．如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在4×4的方格纸中，再补出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，则有（ ）种不同补法．
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解答】解：如图所示，四个位置均可，一共有4种画法，
故选：A．
49．第19届亚运会于10月8日在杭州闭幕．我国体育健儿在本届亚运会上奋力拼搏，以201枚金牌遥遥领先，圆满谢幕．下列体育运动图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C中的图形是轴对称图形，故C符合题意．
故选：C．
50．中华酒文化源远流长，如图是某传统酿酒工艺装置部分玻璃仪器的主视图，其中是轴对称图形的是（ ）
A．克氏蒸馏烧瓶B．发生器
C．分液漏斗D．锥形瓶
【答案】D
【解答】解：A．克氏蒸馏烧瓶不是轴对称图形，不符合题意；
B．发生器不是轴对称图形，不符合题意；
C．分液漏斗不是轴对称图形，不符合题意；
D．锥形瓶是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
51．数学考试必备学习用具：黑色的水笔，2B铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A，B，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
52．分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、图形是以直线l为对称轴的轴对称图形，不符合题意；
B、图形是以直线l为对称轴的轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是以直线l为对称轴的轴对称图形，符合题意；
D、图形是以直线l为对称轴的轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
53．如图，挡板盖住的图形与①处的图形关于直线l成轴对称，则盖住的图形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根据轴对称的定义，挡板盖住的图形为A，只有A能沿直线l对折后能与①能够完全重合．
故选：A．
54．公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴．
【答案】3
【解答】解：等边三角形是我们学过的轴对称图形，它有3条对称轴．
故答案为：3．
55．正六边形有 6 条对称轴．
【答案】6
【解答】解：如图所示：
，
故答案为：6．
56．如图，从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的标号是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：从标有数字1，2，3，4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，
则应该拿走的小正方形的标号是2．
故答案为：2．
57．如图，在△ABC中，BC＝8cm，E是边AB上的一点，△ACE是轴对称图形，ED所在直线是它的对称轴．若△BCE的周长为18cm，则AB＝ 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：∵△ACE是轴对称图形，直线ED是它的对称轴，
∴AE＝CE
∴AE+BE＝CE+BE，
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm，
∴AE+BE＝CE+BE＝10（cm），
∴AB＝10cm．
故答案为：10．
58．如图所示的轴对称图形有 4 条对称轴．
【答案】4．
【解答】解：如图所示：
该轴对称图形有4条对称轴．
故答案为：4．
59．如图，长方形ABCD中，长BC＝a，宽AB＝b，（b＜a＜2b），四边形ABEH和四边形ECGF都是正方形．当a、b满足的等量关系是 时，图形是一个轴对称图形．
【答案】
【解答】解：∵当图形是一个轴对称图形，则必须满足DG＝CG＝EC，长BC＝a，宽AB＝b，（b＜a＜2b），
∴GC＝DG＝b，BE＝b，EC＝b，
∴a、b满足的等量关系是：a＝b．
故答案为：a＝b．
60．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．
（1）指出△ABC与△ADE的对称点；
（2）指出△ABC与△ADE中相等的线段和角；
（3）在不添加字母和线段的情况下，图中还有能形成轴对称的两个三角形吗？
【答案】答案见解答．
【解答】解：（1）点A和自己是对称点，点B、D是对称点，点C、E是对称点．
（2）相等的线段有：AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE．
相等的角有：∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．
（3）有．分别是△AFC与△AFE，△ABF与△ADF，都关于直线MN成轴对称．
题型1 轴对称的性质
题型2 轴对称图形