第八章 立体几何初步 章末总结-高一下学期人教A版数学必修第二册课件（含答案）

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第八章 立体几何初步章末总结巧梳理 知识框图提能力 专题归纳专题1 高考中的重要模型——鳖臑中国古代数学强调实用性，很多古代数学问题都结合实际生活存在于典籍中.其中在对立体几何的研究中最重要的模型便是由立方体截得的三棱锥和四棱锥，它们在古代有专门的名词：鳖臑和阳马.2015年湖北高考便以此为背景命题，一时间引起了广泛的关注.1 考题再现 图8-1     该题之所以引起广泛关注，很大程度上与“鳖臑”这两个字有关，原因是大部分学生没见过这两个字，因此影响了答题心情.其实本题只不过套了个古代数学文言文的背景，也即现在比较热门的数学文化试题背景，具体研究的却是学生再熟悉不过的立体几何问题，教材中对此都有专门的阐述和探究.2 教材探源图8-2  图8-3 教材例题和练习题借助鳖臑这一几何体中丰富的（线线、线面、面面）垂直关系，让学生来熟悉垂直关系下的判定定理及性质定理的应用.上述湖北高考题本质上还是研究常见的垂直问题.事实上，鳖臑是我国古代数学中非常重要的模型，在多本著作里都有阐述.3 鳖臑的来源探索《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得．”具体来说，取一长方体，按图8-4斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称之为堑堵.#1.2图8-4如图8-5，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥.以矩形为底且另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.#1.3图8-54 鳖臑的性质（1）聚焦于立体几何中的核心关系——垂直关系图8-6         （2）鳖臑的空间角图8-7     图8-8        5 鳖臑模型在高考中的应用鳖臑模型覆盖了立体几何中线、面的各种垂直关系及各种空间角的计算，是研究立体几何问题的基本图形，在高考中有着广泛的应用. 图8-9     图8-10        以上通过两道高考题来探讨鳖臑模型，事实上，这个模型的应用十分广泛，需要同学们不断地总结其特征，并在具体的问题中逐渐养成建立模型的意识，注重运用模型来解决问题.专题2 以模型为载体解决空间几何体的外接球问题球是特殊的几何体,具有很多特殊的性质.空间几何体的外接球问题是高考的热点和难点.以考查学生的空间想象能力为主线,结合边角关系、位置关系、面积与体积的计算,从而达到培养学生直观想象的核心素养的要求.从教学实践中发现学生在研究空间几何体的外接球问题时常常因缺乏空间想象力而感到束手无策，其根本原因是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.以下结合教学实例,给出解空间几何体外接球问题的三种模型及其方法.模型一 墙角模型（三条棱两两垂直,不找球心的位置即可求出球半径） 图8-11图8-12   图8-13 模型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图8-14如图8-14,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上、下底面可以是任意三角形）.  2图8-15  图8-16   模型三 切瓜模型（正弦定理求大圆直径是通法） 图8-17  例8 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,求该正三棱锥的体积. 专题3 立体几何中的截面问题1 截面作图  【解析】如图8-18，直接连线即可得到截面．图8-18 图8-19 图8-20  图8-21  图8-22 名师点评 （1）作截面的三种常用方法：①直接法，截面的顶点在几何体的棱上；②平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；③相交法，延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.（2）作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．2 截面图形的形状及个数问题 DA.6个B.12个C.15个D.18个图8-23   . . 图8-24  图8-25 综上，满足条件的截面共有18个.3 截面中的计算问题 A 图8-26     2 图8-27    . . C 图8-28   一章一练·学思维知创新  √√图8-29     图8-30   图8-31    图8-32   尖子生 强基自招命题点1 面积问题  图8-33     图8-34    命题点2 体积问题  图8-35   例19 (2025·全国高中数学联赛上海赛区预赛)已知底面半径为3,高为4的圆锥内有一个内接圆柱，圆柱的上底面与圆锥的侧面所围成的小圆锥内有一个内切球，求内接圆柱与内切球的体积和的最大值.图8-36   命题点3 距离（长度）问题   图8-37   图8-38     图8-39  命题点4 空间角问题   图8-40 . .  图8-41   . .  图8-42