第8章立体几何初步8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积学案含解析

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8.3　简单几何体的表面积与体积8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51°51′．假如把建造金字塔的石块凿成均等的小块，平均每块重2.5吨，像一辆小汽车那样大．问题：(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？(2)如果在金字塔的表面涂上一层保护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？知识点1　棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．1．棱长都是3的三棱锥的表面积S为________．9eq \r(3)　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4×eq \f(\r(3),4)×32＝9eq \r(3)．]2．正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，则它的侧面积为________，表面积为________．6　6＋eq \f(\r(3),2)　[正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形，所以侧面积为3×1×2＝6；S表面积＝2×eq \f(1,2)×1×eq \f(\r(3),2)＋6＝6＋eq \f(\r(3),2)．]知识点2　棱柱、棱锥、棱台的体积1．一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh．2．一般地，如果棱锥的底面面积是S，高是h，那么该棱锥的体积V棱锥＝eq \f(1,3)Sh．3．如果棱台的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么这个棱台的体积V棱台＝eq \f(1,3)h(S′＋eq \r(S′S)＋S)．简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？[提示]　表面积变大了，而体积不变．3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　)A．6,22　　　B．3,22　　　C．6,11　　　D．3,11A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22．]4．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2)C．eq \f(\r(3),6) D．eq \f(\r(3),4)D　[由题意知，三棱锥B1­ABC的高h＝3，则V三棱锥B1­ABC＝eq \f(1,3)S△ABCh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4)．] 类型1　棱柱、棱锥、棱台的表面积【例1】　如图是一个搭建好的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1．当PO1＝2 m，PA1＝4 m时，求帐篷的表面积．[解]　连接O1A1，因为PO1＝2 m，PA1＝4 m，所以A1B1＝A1O1＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)(m)，取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1．所以A1Q＝eq \f(1,2)O1A1＝eq \r(3)，PQ＝eq \r(PA\o\al(2,1)－A1Q2)＝eq \r(13)(m)，设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，所以S1＝6×eq \f(1,2)A1B1·PQ＝6eq \r(39)(m2)，S2＝6A1B1·OO1＝48eq \r(3)(m2)，所以该帐篷的表面积为S1＋S2＝(6eq \r(39)＋48eq \r(3))(m2)．若把题目条件中“帐篷”改为“用某种材料制成条件中所示组合体形状的封闭容器”，表面积为多少？[解]　若为封闭容器，则表面积应在原来基础上加上底面面积．底面是边长为2eq \r(3)的正六边形，它可以分成6个全等的正三角形，所以底面积为6×eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(3))2＝18eq \r(3)(m2)．故容器的表面积为6eq \r(39)＋48eq \r(3)＋18eq \r(3)＝(6eq \r(39)＋66eq \r(3))(m2)．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.eq \o([跟进训练])1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)A．eq \f(3＋\r(3),4)a2　　　　 B．eq \f(3,4)a2C．eq \f(3＋\r(3),2)a2 D．eq \f(6＋\r(3),4)a2A　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq \f(\r(2),2)a，∴S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up12(2)＝eq \f(3＋\r(3),4)a2．]2．现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，则该直四棱柱的侧面积为________．160　[如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56．∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a2＋b2,4)＝eq \f(200＋56,4)＝64，∴AB＝8．∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160．] 类型2　棱柱、棱锥、棱台的体积【例2】　(对接教材P115例2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a．截面A1DB将正方体分成两部分，其体积分别为V1，V2，且V2＞V1．(1)求V1，V2以及V1∶V2；(2)求点A到平面A1BD的距离d．[解]　(1)截面将正方体化为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD，其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形，其面积S＝eq \f(1,2)×AB×AD＝eq \f(1,2)a2．底面ABD上的高为h＝AA1＝a．所以其体积V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)a2×a＝eq \f(1,6)a3．正方体的体积V＝a3，所以V2＝V－V1＝a3－eq \f(1,6)a3＝eq \f(5,6)a3，所以V1∶V2＝1∶5．(2)三棱锥A1­ABD与三棱锥A­A1BD是同一个几何体．在△A1BD中，A1B＝BD＝A1D＝eq \r(2)a，取BD的中点H，连接A1H，则A1H⊥BD，BH＝HD＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)a，所以A1H＝eq \r(A1B2－BH2)＝eq \r(\r(2)a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(6),2)a．其面积S2＝eq \f(1,2)BD·A1H＝eq \f(1,2)×eq \r(2)a×eq \f(\r(6),2)a＝eq \f(\r(3),2)a2．因为Veq \s\do7(A1­ABD)＝Veq \s\do7(A­A1BD)，即eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)S2·d，所以eq \f(1,6)a3＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)a2×d，解得d＝eq \f(\r(3),3)a，即点A到平面A1BD的距离为eq \f(\r(3),3)a．若本例中的正方体改为长方体，则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化？试证明你的结论．[解]　比值没发生变化，证明如下，不妨设在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝a，AD＝b，AA1＝c．截面将长方体分为两个几何体，其中较小部分是一个三棱锥A1­ABD，底面△ABD是两直角边分别为a，b的直角三角形，其面积S＝eq \f(1,2)×AB×AD＝eq \f(1,2)ab．底面ABD上的高h＝AA1＝c，所以其体积V1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×c＝eq \f(1,6)abc．长方体的体积V＝abc，所以V2＝V－V1＝a3－eq \f(1,6)a3＝eq \f(5,6)a3．所以V1∶V2＝1∶5，故比值没发生变化．求几何体体积的常用方法eq \o([跟进训练])3．在三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．[解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则Seq \s\do7(△A1B1C1)＝4S．∴VA1­ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh，VC­A1B1C1＝eq \f(1,3)Seq \s\do7(△A1B1C1)·h＝eq \f(4,3)Sh．又V台＝eq \f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq \f(7,3)Sh，∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(Sh,3)－eq \f(4Sh,3)＝eq \f(2,3)Sh，∴三棱锥A1­ABC，B­A1B1C与C­A1B1C1的体积比为1∶2∶4． 类型3　与正棱柱、正棱锥、正棱台有关的体积和表面积问题【例3】　一个正四棱锥的底面边长为3eq \r(2) cm，侧棱长为5 cm，则它的体积为________ cm3，表面积为________ cm2．24　18＋6eq \r(41)　[如图，∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为3eq \r(2) cm，∴S正方形ABCD＝18 cm2．连接AC，BD，交于点O，连接PO，则PO⊥底面ABCD，OC＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \r(2)＝3(cm)，又棱长PC＝5 cm，∴OP＝eq \r(52－32)＝4(cm)，∴VP­ABCD＝eq \f(1,3)×18×4＝24(cm3)．取BC边的中点E，连接PE，则PE为等腰三角形PBC的高，在Rt△PBE中，PE＝eq \r(PB2－BE2)＝eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(82),2)(cm)．S侧＝4×eq \f(1,2)×3eq \r(2)×eq \f(\r(82),2)＝6eq \r(41)(cm2)，S表＝(18＋6eq \r(41))(cm2)．]正棱锥的性质(1)正棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形，侧面等腰三角形底边上的高叫做棱锥的斜高；(2)从顶点向底面作垂线，垂足为底面(正多边形)的中心；(3)棱锥的底面及平行于底面的截面为相似的多边形．eq \o([跟进训练])4．正四棱台(由正棱锥截得的棱台叫做正棱台)的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，两底面之间的距离为2 cm，则该四棱台的侧面积为________．32eq \r(2) cm2　[如图，取上、下底面中心O1，O，B1C1和BC的中点E1，E．在直角梯形OEE1O1中，EE1为侧面等腰梯形的高，过E1作E1H垂直于OE，垂足为H，OO1＝2 cm，O1E1＝1 cm，OE＝3 cm，∴HE＝2 cm．在Rt△EHE1中，E1E＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)(cm)．∴S侧＝4×eq \f(1,2)×(2＋6)×2eq \r(2)＝32eq \r(2)(cm2)．]1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)A．48eq \r(6)　　　　B．64　　　　C．16　　　　D．96B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．]2．若正方体的棱长为eq \r(2)，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为(　　)A．eq \f(\r(2),3) B．2eq \r(3) C．eq \r(3) D．eq \f(\r(2),6)B　[所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为eq \f(\r(2),2)的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(12＋12),2)))eq \s\up12(2))＝1，所以，以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积S＝8×eq \f(1,2)×1×1×sin 60°＝2eq \r(3)．故选B．]3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．eq \f(1,6)　[利用三棱锥的体积公式直接求解．Veq \s\do7(D1­EDF)＝Veq \s\do7(F­DD1E)＝eq \f(1,3)Seq \s\do7(△D1DE)·AB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6)．]4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．18a2　[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq \f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq \f(1,9)a2×6＝eq \f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq \f(2,3)a2×27＝18a2．]5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P­ABC的体积V＝________．4　[三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝eq \f(1,3)S△PAC·PB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×4×3＝4．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积？(2)正棱柱、正棱锥、正棱台的表面积和体积有什么特点？学 习 任 务核 心 素 养1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．(重点)2．会求与棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．(难点、易错点)1．借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养．2．通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究，提升逻辑推理的素养．