高中数学人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积图文课件ppt

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新知课丨必备知识解读
知识点1 柱体、锥体、台体的表面积
知识点2 柱体、锥体、台体的体积
1 柱体、锥体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的母线长即圆柱的高.特别地，当一个棱柱为直棱柱时，侧棱长就是高.如图8.3-1所示.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.如图8.3-2所示.
（3）棱台（圆台）的高是指两个底面之间的距离.如图8.3-3所示.
2 柱体、锥体、台体的体积
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教材深挖 （深挖教材第117页第二个【思考】）柱、锥、台体体积公式之间的关系#1.1.1
例2-7 (2025·河北省邢台市期中)若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为( )
知识点3 球的表面积和体积
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知识点4 几何体体积的计算方法
3.分割法：在求一些不规则几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体，先分别求体积，再求和.
4.补形法：对一些不规则（或难求解）的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则（或易于求解）的几何体.常见情况如下. （1）将正四面体补成正方体，如图8.3-5.
（4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图8.3-8或图8.3-9.
（5）将三棱柱补成平行六面体，如图8.3-10.
（6）将台体补成锥体，如图8.3-11.
例4-12 ［教材改编P116 T3］在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
知识点5 几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球的半径.
1 常见的几何体与球的切、接问题的解决方案
（1）长方体（正方体）模型（如图8.3-12）
（2）直棱柱（圆柱）模型（如图8.3-13）
3 内切球半径的求解思路
例5-14 [教材改编P120 T5]
（1）若一球内切于正方体，则正方体的棱长与球的半径之比为_____.
（2）若一球与正方体的所有棱都相切，则正方体的棱长与球的半径之比为______.
（3）正方体的内切球和外接球的体积之比为________.
例5-15 正四面体的内切球、棱切球（与各条棱均相切的球）及外接球的半径之比为________.
题型1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1 圆柱、棱柱的表面积与体积
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（2）一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，则这个正方体和圆柱的体积的比值为( )
（3）底面是菱形的直棱柱，它的侧棱长是5，体对角线的长分别是9和15，则这个直棱柱的表面积是____________.
2 圆锥、棱锥的表面积与体积
求锥体的表面积与体积时的注意点1.求解棱锥的表面积和体积时，注意棱锥的四个基本量,即底面边长、高、斜高、侧棱长，并注意高、斜高、底面边心距所成的直角三角形的应用.2.求解圆锥的表面积和体积时，除应用“圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的弧长为圆锥的底面周长”求出母线长和底面半径外，还需注意“圆锥的轴截面是等腰三角形”的应用.
小明用一个如图8.3-28所示的圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水等级属于( )
A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨
3 圆台、棱台的表面积与体积
例18（1）已知一个圆台上底面的半径为2,下底面的半径为3,截得此圆台的圆锥的高为6,则此圆台的体积为_____.
计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积的比值为 ( )
求台体的表面积与体积时的注意点1.求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量（上下底面边长、高、斜高、侧棱长），并注意两个直角梯形（高、侧棱与上下底面外接圆半径所成的直角梯形,高、斜高与上下底面边心距所成的直角梯形）的应用.常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决问题．2.求解圆台的表面积和体积时，注意其轴截面是等腰梯形的应用.求圆台的表面积的关键在于求侧面积，“还台为锥”是解题的常用策略,利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要方法.
题型2 柱、锥、台侧面上的最短距离问题
（1）求绳长的最小值;
（2）求绳子最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离.
最短路线的求解思路求几何体侧面上两点间路线长的最小值是一种常见的问题，常利用侧面展开图转化为平面上两点间线段最短问题.求解时，注意图形特征，常构造直角三角形，利用勾股定理等知识解决问题，这正是将空间几何问题转化为平面几何问题的体现.
题型3 球的表面积与体积
例21（1）(2025·山东省淄博市期中)若圆锥的体积与球的体积相等，且圆锥的底面半径与球的直径相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为( )
（2）如图8.3-38所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别为5,12,13，当球与上底面三条棱都相切时，球心到下底面的距离为8，则球的体积为( )
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题型4 不规则几何体的表面积与体积
1 组合体的表面积与体积
例22 新情境 金属陀螺 (2025·江西省五市联考)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它是一种可以绕一个支点高速转动的刚体，种类很多，其中有一种金属陀螺（如图8.3-40（1）），它的形状可以看作上半部分为圆柱，下半部分为倒置的圆锥的组合体,如图8.3-40（2）.现知尖
2 割补法求几何体的体积
用割补法求几何体体积的基本策略求几何体的体积时，若不能直接套用体积公式，则可考虑使用割补法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体，“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体，再用公式求解.割补法是立体几何中求体积的一种常用的重要方法.
8.传统文化 鲁班锁 (2025·湖北省黄冈市期末)鲁班锁（也称孔明锁）起源于古代中国建筑的榫卯结构．这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙．鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装．如图
题型5 球的切、接问题
1 球与棱柱的切、接问题
（1）球与长方体或正方体的切、接问题
A.16B.36C.96D.216
母题 致经典·母题探究
长方体、正方体的外接球长方体、正方体是高中数学中两种常见的几何体，其外接球的考查也是热点.由于长方体和正方体的中心到顶点的距离相等，而球面上各点到球心的距离也相等，因此长方体和正方体的中心就是其外接球的球心，长方体和正方体的体对角线就是外接球的直径.熟知这一结论是解决长方体、正方体外接球问题的关键.
例26 (全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
子题1 (2025·陕西省西安中学期中)已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为___.
（2）球与三棱柱的切、接问题
2 球与棱锥（以三棱锥为主）的切、接问题
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3 球与圆柱或圆锥的切、接问题
（1）球与圆柱的切、接问题
例31（1）数学文化 圆柱容球(2025·湖南省名校联考)“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，他去世后，
（2）球与圆锥的切、接问题
例33 (2025·陕西省宝鸡市南山中学开学考试)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_ ____.
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4 球与台体的切、接问题
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5 球与组合体的切、接问题
例36 传统文化 印章(2025·北京市石景山区期末)我国有着丰富悠久的“印章文化”历史，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图8.3-56（1）是明清时期的一个金属印章摆件，可以看作由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，
如图8.3-56（2）．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
球与几何体的切、接问题的解题思路1.求解几何体外接球问题的关键在于确定球心的位置，而确定球心位置的依据有两个：一是根据球心到球面上各点的距离都等于球的半径；二是根据球心与截面圆圆心的连线垂直于截面.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
12.(2025·陕西省西安高新第一中学模拟)正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则该正四棱台与该球的体积之比为( )
例37 九章算术 墙角米堆(2025·湖南省长沙市望城区第一中学期末)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图8.3-57，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )
A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛
例38 九章算术 羡除(2025·辽宁省名校联盟月考)我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？”这里的“羡除”是指由三个等腰梯形和
图8.3-58
A.84B.66C.126D.105
名师点评 《九章算术》是中国古代数学的代表性著作之一，也是我国古代最重要的数学经典名著.从《九章算术》各章内容看，都是与生产、生活息息相关的知识和内容.本题来源于第五章“商功”，以生活、生产中谷物的储存问题，结合立体几何中的基础知识进行设问，其一传承了中华文化，其二考查了考生的应用意识与模型思想.可以让考生感受到我国古代数学的优秀传统——数学要关注生产、生活等社会问题，体现应用性，引导考生通过了解数学文化来体会数学知识方法在认识现实世界中的重要作用.另外，优秀文化的传承对创新能力的培养也将起到积极的作用.
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘空间几何体的表面积与体积是高考的必考点，既可以求简单几何体的表面积、体积，也可以通过设置生活实践情境考查表面积、体积；球的切、接问题是热点，也是难点，需要考生能够画出图形，结合图形判断并求解出球的半径.考查学生的空间想象能力和计算能力，试题以选择题、填空题为主，难度中等或困难.核心素养：直观想象（掌握空间几何体的结构特征，并画出草图）,数学运算（根据公式计算表面积、体积）.
考向1 空间几何体的表面积与体积
变式探源1.(2023· 新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____.
A.23B.24C.26D.27
考向2 球与空间几何体的切、接问题
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考虑到圆柱与球的对称性，不妨把圆柱与球的位置关系看成长方形与圆的位置关系，原问题等价于在边长分别为8与9的长方形内，放置两个半径最大的等圆，问：圆的半径是多少？
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【解析】对于A，截面示意图如图D 8.3-10，
3.(2025·辽宁省大连市期中)一个无盖的器皿是由一个棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成的（半球的底面在正方体的上底面上，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为( )
4.(2025·贵州省贵阳市期末)如图8.3-1是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是4和6，则该圆台的体积是( )
7.(2025·湖南省长沙市明德中学期末)一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为_ ____.
（1）求这种“笼具”的体积;
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,已知每平方米该材料的造价为8元,则共需多少元?
14.数学文化 祖暅原理[教材改编P121探究与发现](2025·河北省邯郸市大名县第一中学月考) 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅在解决球体体积时，提出了著名的祖暅原理： “幂势既同，则积不容异”，意思是“夹在两个