第8章立体几何初步8.1第2课时圆柱圆锥圆台球与简单组合体的结构特征学案含解析

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第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球与简单组合体的结构特征如图，观察下列实物图．问题：(1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？(2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？(3)如何形成上述几何体的曲面？知识点1　圆柱的结构特征1．如图，在圆柱中任取不重合的两条母线，如AB，CD，它们有何关系？过它们的截面是怎样的图形？连接AC，AC还是母线吗？[提示]　ABCD，截面ABCD是矩形．AC不是母线．1．矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为________．16π cm2或9π cm2　[当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9 π cm2．]知识点2　圆锥的结构特征2．如图，在圆锥中任取不重合的两条母线，如AB，AD，它们之间有何关系？过它们的截面是怎样的图形？[提示]　AB与AD相交于点A，且AB＝AD．截面ABD是过顶点A的等腰三角形．3．以Rt△ABC任一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体就是棱锥，这句话对吗？[提示]　不对．必须以直角边所在直线为轴．若以斜边所在直线为轴，形成的几何体是同底面的两个圆锥组成的．2．圆锥的母线有(　　)A．1条　　　B．2条　　　C．3条　　　D．无数条D　[由圆锥的结构特征知圆锥的母线有无数条．]知识点3　圆台的结构特征3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)用平面去截圆柱，会得到一个圆柱和一个圆台． (　　)(2)用一个平面截圆锥，截得的两部分分别是圆锥和圆台． (　　)[答案]　(1)×　(2)×4．下列命题中，正确的是(　　)A．以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径A　[以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为轴，旋转一周所得的旋转体才是圆台，所以选项B不正确；圆锥仅有一个底面，所以选项C不正确；圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，所以选项D不正确．很明显选项A正确．]知识点4　球的结构特征4．球能否由圆面旋转而成？[提示]　能．圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．5．(多选题)下列说法正确的是(　　)A．球的半径是球面上任意一点与球心的连线B．球面上任意两点的连线是球的直径C．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面D．以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫做球AC　[A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故D错误．]6．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是________．(填序号)①　　　　②　　　　③　　　　④①　[根据定义，①形成的是圆台，②形成的是球，③形成的是圆柱，④形成的是圆锥．]知识点5　简单组合体的结构特征(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体．(2)简单组合体的构成有两种基本形式：简单组合体eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(由简单几何体拼接而成，,由简单几何体截去或挖去一部分而成.))7．如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把第一、第二排中相应的图形用线连起来．(1)　　　(2)　 　(3)　　(4)A　　　　B　　　　　C　　　　D[答案]　(1)—C　(2)—B　(3)—D　(4)—A 类型1　旋转体的结构特征【例1】　(1)下列说法不正确的是(　　)A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面(2)给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(　　)A．①②　　　B．②③　　　C．①③　　　D．②④(1)C　(2)D　[(1)由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．(2)由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．]简单旋转体判断问题的解题策略(1)准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．(2)解题时要注意两个明确：①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．eq \o([跟进训练])1．(多选题)下列说法正确的是(　　)A．圆柱的底面是圆面B．经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面C．圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交D．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体AB　[A正确，圆柱的底面是圆面；B正确，如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；C不正确，圆台的母线延长相交于一点；D不正确，夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．] 类型2　简单组合体的结构特征【例2】　(对接教材P103例2)如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？[解]　旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．旋转体形状的判定方法是什么？[提示]　(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．(3)要熟练掌握各类旋转体的结构特征．eq \o([跟进训练])2．如图所示的平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成．[解]　易知得到的组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台． 类型3　几何体的计算问题【例3】　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长．1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？[提示]　圆面．2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？[提示]　分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？[提示]　因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．[解]　设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm，过轴SO作截面，如图所示．则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm．所以eq \f(SA′,SA)＝eq \f(O′A′,OA)，所以eq \f(3,3＋l)＝eq \f(r,4r)＝eq \f(1,4)．解得l＝9(cm)，即圆台O′O的母线长为9 cm．把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3eq \r(10) cm”，则它的轴截面的面积是________．63 cm2　[画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝eq \r(AB2－BM2)＝9(cm)，所以S四边形ABCD＝eq \f(4＋10×9,2)＝63(cm2)．]1．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．2．与圆锥有关的截面问题的解决策略(1)画出圆锥的轴截面．(2)在轴截面中借助直角三角形或三角形的相似关系建立高、母线长、底面圆的半径长的等量关系，求解便可．eq \o([跟进训练])3．一圆锥的母线长为6 cm，底面半径为3 cm，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4 cm，则圆台的另一底面半径为________ cm．1　[作轴截面如图，则eq \f(r,3)＝eq \f(6－4,6)＝eq \f(1,3)，所以r＝1 cm．]1．圆柱的母线长为10，则其高等于(　　)A．5　　　　B．10　　　　C．20　　　　D．不确定B　[圆柱的母线长和高相等．]2．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)A．圆台　　　 B．球　　　 C．圆柱　　　 D．棱柱B　[截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．]3．如图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)A　[题图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中旋转轴旋转360°得到．]4．如图，蒙古包可以看作是由________和________构成的几何体．圆锥　圆柱　[上半部分为圆锥，下半部分为圆柱．]5．若一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm．10eq \r(3)　[如图是圆锥的轴截面，则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，∴AO＝10 cm，SO＝10eq \r(3) cm．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)圆柱、圆锥、圆台和球的几何特征各有哪些？(2)如何识别组合体的结构特征？(3)圆柱、圆锥、圆台的轴截面各是什么形状？学 习 任 务核 心 素 养1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3．认识简单组合体的结构特征，了解简单组合体的两种基本构成形式．(重点、易混点)通过学习有关旋转体的结构特征，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；柱体：圆柱和棱柱统称为柱体定义以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；锥体：棱锥和圆锥统称为锥体定义用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图示及相关概念轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体定义以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图示及相关概念球心：半圆的圆心叫做球的球心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径